Moto carica in campo uniforme

[studente_studente]

Ciao a tutti, avrei bisogno di un chiarimento riguardo un passaggio nel paragrafo del moto di una carica in un campo elettrico uniforme che non mi permette di finire il capitolo. Il libro calcola il potenziale:

\(V_A-V_B = \overrightarrow{E} \cdot \int_{A}^{B} d \overrightarrow{s}= \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{r{}_{A,B} }= E(z_B-z_A);\)

>Domanda: perchè viene \(E(z_B-z_A)\)? Non so, non capisco come fa. Dove sono x e y?!

da cui deduciamo che

\(V_A=-Ez_A +costante\) e \(V_B=-Ez_B +costante\)

>Domanda: ma come fa a scrivere queste due formule? Io credo faccia così ma nemmeno troppo:
\(V_A-V_B = Ez_B- Ez_A; V_A +Ez_A=V_B+Ez_B; \) quindi sia prima che dopo non varia allora:
\(V_A+Ez_A=costante; V_A=-Ez_A+costante;\) lo stesso vale per \(V_B\)
E' questo che fa?

Poi scrive d.d.p. tra un punto A e un punto B a valle distante $h$ è $Eh$, se il punto B è a monte è $-Eh$.
>Domanda: potete spiegarmi questa frase?

Grazie mille per l'aiuto

[donald_zeka]

Sia $vec(u)_z$ il versore dell'asse z al quale assumiamo che il campo elettrico in questione è parallelo ed equiverso, inoltre tale campo elettrico è presente solo lungo l'asse z quindi si ha : $vec(E)=(0,0,E)$. Siano A e B due punti nello spazio, dalla definizione di ddp tra A e B si ha:

$V_a-V_b=int_(A)^(B)vec(E)*dvec(s)$

Essendo $vec(E)$ uniforme si può portare fuori dal segno di integrale:

$V_a-V_b=vec(E)*int_(A)^(B)dvec(s)=vec(E)*vec(r)_(AB)$

Essendo $vec(r)_(AB)$ un vettore spostamento che va da A a B e che ha componenti $vec(r)_(AB)=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$

Operando il prodotto scalare si ha:

$vec(E)*vec(r)_(AB)=(0,0,E)*(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)=E(z_B-z_A)$

Come dovresti sapere, il potenziale è definito a meno di una costante, per definire il potenziale in un punto A bisogna prendere un punto di riferimento a cui assegnare un potenziale costante, prendiamo l'origine O=(0,0,0) come riferimento e assegnamoli un potenziale $V_O=costante$, dalla definizione si ha:

$V_A-V_O=int_(A)^(O)vec(E)*dvec(s)=vec(E)int_(A)^(O)dvec(s)=vec(E)*vec(r)_(AO)$

Essendo $vec(r)_(AO)$ un vettore spostamento da A verso O e quindi ha componenti : $(x_O-x_A,y_O-y_A,z_O-z_A)$ ed essendo $O=(0,0,0)$ e $vec(E)=(0,0,E)$ si ha:

$V_A-V_O=vec(E)*vec(r)_(AO)=(0,0,E_z)*(-x_a,-y_A,-z_A)=-Ez_A$

[studente_studente]

"Vulplasir":Sia $vec(u)_z$ il versore dell'asse z al quale assumiamo che il campo elettrico in questione è parallelo ed equiverso, inoltre tale campo elettrico è presente solo lungo l'asse z

Ma questo lo dici tu.. nel senso, noi assumiamo che il campo elettrico sia lungo l'asse z. Potrei fare lo stesso ragionamento se assumessi tutto lungo asse x e y no?

"Vulplasir": Come dovresti sapere, il potenziale è definito a meno di una costante, per definire il potenziale in un punto A bisogna prendere un punto di riferimento a cui assegnare un potenziale costante, prendiamo l'origine O=(0,0,0) come riferimento e assegnamoli un potenziale $V_O=costante$, dalla definizione si ha:
$V_A-V_O=int_(A)^(O)vec(E)*dvec(s)=vec(E)int_(A)^(O)dvec(s)=vec(E)*vec(r)_(AO)$
Essendo $vec(r)_(AO)$ un vettore spostamento da A verso O e quindi ha componenti : $(x_O-x_A,y_O-y_A,z_O-z_A)$ ed essendo $O=(0,0,0)$ e $vec(E)=(0,0,E)$ si ha:
$V_A-V_O=vec(E)*vec(r)_(AO)=(0,0,E_z)*(-x_a,-y_A,-z_A)=-Ez_A$

Ho capito, non ci avevo pensato.. Quindi il "ragionamento" che ho fatto io è sbagliato?

[donald_zeka]

Si certo, si suppone noi che il campo sia parallelo all'asse z, ma chiamarlo z, x oppure y non ha alcuna importanza ed è del tutto arbitrario (di solito si preferisce chiamarlo z perchè in questo tipo di esempio in cui E è iniforme, il campo elettrico è analogo al campo gravitazionale vicino alla terra e quindi il ragionamento del potenziale è analogo, e quindi si mette z perchè l'asse z fa pensare a una quota in altezza, per rendere l'analogia col campo gravitazionale).

Si anche il tuo ragionamento potrebbe andare bene, ma ti manca un particolare: se si ha:

$V_a+Ez_A=V_b+Ez_B$

Per dire che $V_a+Ez_a=cost$ bisogna prima dire che $V_a+Ez_A=V_b+Ez_B$ vale per qualsiasi coppia di punti A e B.

[studente_studente]

"Vulplasir": (di solito si preferisce chiamarlo z perchè in questo tipo di esempio in cui E è iniforme, il campo elettrico è analogo al campo gravitazionale vicino alla terra e quindi il ragionamento del potenziale è analogo, e quindi si mette z perchè l'asse z fa pensare a una quota in altezza, per rendere l'analogia col campo gravitazionale).

Aaah ecco spiegato il motivo, beh non era scritto da nessuna parte e nessuno me lo aveva detto.. e io non ci arrivavo
Grazie mille per i tuoi chiarimenti e disponibilità