Moto armonico semplice: velocità e accelerazione massime
Qui il testo del problema:
Un punto che si muove di moto armonico, con periodo $T=4.4 s$, si trova al tempo $t_0=0$ nella posizione $x_0=0.28 m $ con velocità $v_0= -2.5 m/s$. Scrivere l'equazione del moto e calcolare i valori massimi della velocità e dell'accelerazione.
L'equazione del moto sarà nella forma $x=A sin(\omega t + \varphi)$, con $A=$ ampiezza e $\varphi=$ fase.
La pulsazione la calcolo come $\omega=(2\pi)/T= 1.43 (rad)/s$, l'ampiezza come $A=sqrt(x_0^2 + (v_0^2)/\omega^2)= 1.77 m$ e la fase come $tg\varphi= x_0*\omega/v_0,$ da cui $\varphi=-9.099°*2\pi/360=0.16 rad$. Al libro però risultano $2.98 rad$(nella risoluzione prende un $x_0= 0.14$, ma comunque non torna).
La velocità è massima nell'origine e nulla agli estremi, al contrario dell'accelerazione, quindi ho pensato di porre $x=0$, calcolarmi il tempo, derivare l'equazione del moto per avere l'equazione che mi da la velocità e sostituirci t, ma non avendo $\varphi$ non posso farlo per ora. Dovrebbe venire un'equazione del tipo $v=\omega*A cos (\omega t)$. Il libro la trova semplicemente come $v=\omega*A$, si può sempre trovare così la velocità massima? Perché?
Un punto che si muove di moto armonico, con periodo $T=4.4 s$, si trova al tempo $t_0=0$ nella posizione $x_0=0.28 m $ con velocità $v_0= -2.5 m/s$. Scrivere l'equazione del moto e calcolare i valori massimi della velocità e dell'accelerazione.
L'equazione del moto sarà nella forma $x=A sin(\omega t + \varphi)$, con $A=$ ampiezza e $\varphi=$ fase.
La pulsazione la calcolo come $\omega=(2\pi)/T= 1.43 (rad)/s$, l'ampiezza come $A=sqrt(x_0^2 + (v_0^2)/\omega^2)= 1.77 m$ e la fase come $tg\varphi= x_0*\omega/v_0,$ da cui $\varphi=-9.099°*2\pi/360=0.16 rad$. Al libro però risultano $2.98 rad$(nella risoluzione prende un $x_0= 0.14$, ma comunque non torna).
La velocità è massima nell'origine e nulla agli estremi, al contrario dell'accelerazione, quindi ho pensato di porre $x=0$, calcolarmi il tempo, derivare l'equazione del moto per avere l'equazione che mi da la velocità e sostituirci t, ma non avendo $\varphi$ non posso farlo per ora. Dovrebbe venire un'equazione del tipo $v=\omega*A cos (\omega t)$. Il libro la trova semplicemente come $v=\omega*A$, si può sempre trovare così la velocità massima? Perché?
Risposte
Se
$x(t)=A sin(omega t + phi)$,
allora
$v(t)= dot x(t)=A omega cos(omega t + phi)$.
Poiché il massimo di $cos(omega t + phi)$ è $1$, il massimo di $v(t)=A omega cos(omega t + phi)$ è $A omega$.
$x(t)=A sin(omega t + phi)$,
allora
$v(t)= dot x(t)=A omega cos(omega t + phi)$.
Poiché il massimo di $cos(omega t + phi)$ è $1$, il massimo di $v(t)=A omega cos(omega t + phi)$ è $A omega$.
Uhm.. effettivamente era abbastanza semplice, grazie mille. Qualche idea invece sul calcolo della fase?
Per la fase, guarda che
$phi=arctan((2*pi*x_0)/(T*v_0))=arctan(-(2*pi*0.28)/(4.4*2.5))~=-0.159 \ rad$,
ma
$(-0.159+ pi) \ rad ~=2.983 \ rad$.
$phi=arctan((2*pi*x_0)/(T*v_0))=arctan(-(2*pi*0.28)/(4.4*2.5))~=-0.159 \ rad$,
ma
$(-0.159+ pi) \ rad ~=2.983 \ rad$.
vero, avrei dovuto farci caso 
Grazie per l'aiuto.
Grazie per l'aiuto.
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