Moto armonico e forza di gravità
Salve a tutti, scusate ma non ho idea di come riportare le formule perchè non ho ancora dimestichezza con tutti questi tasti 
Avrei bisogno di aiuto per risolvere il probl. n. 40 del Mazzoldi, nel quale mi sono incagliata 
Si tratta di un sistema costituito da una massa m1= 0,02 su piano orizzontale liscio collegata ad un vincolo fisso C tramite una molla di cost K= 5 e L a riposo = 0.10 ( a dx ) e da un filo inestensibile ad una massa m2 = 0,07 che pende da piano tramite una carrucola, quindi soggetta a Fpeso.
All'istante t=0 la massa m1 è tenuta in quiete con la molla compressa di una quantità d= 0.02 .
Chiede di determinare : la pulsazione del moto armonico compiuto dal sistema ; lo spostamento max di A rispetto al vincolo C ; i valori max e min della Tensione del filo. ( non riporto le unità di misura per semplicità ma sono quelle standard )
Omega l'ho trovato ( ci sono i suggerimenti ) ma lo spostamento ho provato e riprovato a calcolarlo e viene diverso dalla soluzione e non riesco a capire quale errore sto commettendo...forse sulle condizioni iniziali ? ... dopodichè mi sono arresa 
Grazie a chi volesse aiutarmi
Avrei bisogno di aiuto per risolvere il probl. n. 40 del Mazzoldi, nel quale mi sono incagliata Si tratta di un sistema costituito da una massa m1= 0,02 su piano orizzontale liscio collegata ad un vincolo fisso C tramite una molla di cost K= 5 e L a riposo = 0.10 ( a dx ) e da un filo inestensibile ad una massa m2 = 0,07 che pende da piano tramite una carrucola, quindi soggetta a Fpeso.All'istante t=0 la massa m1 è tenuta in quiete con la molla compressa di una quantità d= 0.02 .
Chiede di determinare : la pulsazione del moto armonico compiuto dal sistema ; lo spostamento max di A rispetto al vincolo C ; i valori max e min della Tensione del filo. ( non riporto le unità di misura per semplicità ma sono quelle standard )
Omega l'ho trovato ( ci sono i suggerimenti )
ma lo spostamento ho provato e riprovato a calcolarlo e viene diverso dalla soluzione e non riesco a capire quale errore sto commettendo...forse sulle condizioni iniziali ? ... dopodichè mi sono arresa Grazie a chi volesse aiutarmi
Risposte
Per trovare lo spostamento massimo puoi fare così:
l'energia iniziale del sistema è quella elastica della molla più quella potenziale della massa appesa; se scegli come quota di riferimento quella iniziale, questa la puoi mettere a zero, quella della molla è $E= 1/2k(2*10^-2)^2$
se chiami x lo spostamento per raggiungere il punto di massima estensione, qui l'energia del sistema è, come prima, energia elastica (il nuovo allungamento della molla ora è $x - 2 cm$), $1/2k(x - 2*10^-2)^2$, e energia potenziale, che è diminuita di $m_2g*x$. Dato che le energie iniziali e finali sono le stesse, ricavi x (lo spostamento massimo rispetto a C è x + 8cm)
l'energia iniziale del sistema è quella elastica della molla più quella potenziale della massa appesa; se scegli come quota di riferimento quella iniziale, questa la puoi mettere a zero, quella della molla è $E= 1/2k(2*10^-2)^2$
se chiami x lo spostamento per raggiungere il punto di massima estensione, qui l'energia del sistema è, come prima, energia elastica (il nuovo allungamento della molla ora è $x - 2 cm$), $1/2k(x - 2*10^-2)^2$, e energia potenziale, che è diminuita di $m_2g*x$. Dato che le energie iniziali e finali sono le stesse, ricavi x (lo spostamento massimo rispetto a C è x + 8cm)
Perfetto, grazie mille. Vorrei però capire come fare ad arrivare al risultato seguendo il suggerimento che da il testo , dicendo di posizionare l'origine degli assi in l di riposo ( quindi 0,02 sarebbe in negativo ) e considerando x come somma di un moto armonico Asen(wt + f ) e m2g/k. ricavando A e f dalle cond iniziali ( ovviamente il risult richiesto sarà x + 10 questa volta.) In questo modo non c'è verso..non ci riesco
"paolaing":
Vorrei però capire come fare ad arrivare al risultato seguendo il suggerimento che da il testo , dicendo di posizionare l'origine degli assi in l di riposo ( quindi 0,02 sarebbe in negativo ) e considerando x come somma di un moto armonico Asen(wt + f ) e m2g/k. ricavando A e f dalle cond iniziali
Se ho capito bene, $(m_2g)/k$ è l'allungamento in condizioni statiche, a cui si sovrappone l'oscillazione dovuta alla molla. Però non mi è chiaro come ricavare A da qui.
Se usi il sistema di riferimento del testo, le equazioni che descrivono il moto sono
Per la massa 1
$-kx+T=m_1ddotx$
Per la massa 2
$m_2g-T=m_2ddotx$ da cui ricavi
$(m_1+m_2)ddotx+kx-m_2g=0$
Si dimostra molto facilmente che queste equazioni differenziali sono SEMPRE la somma di 2 soluzioni, una generale e una particolare:
Soluzione generale: $x=Acos(omegat+phi)$ (ma potresti usare il seno, il $phi$ differira' di $90^o$ rispetto alla soluzione con il coseno)
Vale sempre $omega^2=k/(m_1+m_2)$
Soluzione particolare: $barx=[m_2g]/k$
Quindi avrai che $x(t)=Acos(omegat+phi)+[m_2g]/k$
La ricerca di A e $phi$ si basa sulle condizioni iniziali, che nel tuo caso, con il sistema di riferimento scelto, si riducono a
$x(0)=-0.02$
$dotx(0)=0$
Per la massa 1
$-kx+T=m_1ddotx$
Per la massa 2
$m_2g-T=m_2ddotx$ da cui ricavi
$(m_1+m_2)ddotx+kx-m_2g=0$
Si dimostra molto facilmente che queste equazioni differenziali sono SEMPRE la somma di 2 soluzioni, una generale e una particolare:
Soluzione generale: $x=Acos(omegat+phi)$ (ma potresti usare il seno, il $phi$ differira' di $90^o$ rispetto alla soluzione con il coseno)
Vale sempre $omega^2=k/(m_1+m_2)$
Soluzione particolare: $barx=[m_2g]/k$
Quindi avrai che $x(t)=Acos(omegat+phi)+[m_2g]/k$
La ricerca di A e $phi$ si basa sulle condizioni iniziali, che nel tuo caso, con il sistema di riferimento scelto, si riducono a
$x(0)=-0.02$
$dotx(0)=0$
è quello che ho fatto perchè il suggerimento è praticamente la soluzione solo che da sin(wt + f ).... ma non c'è verso ..non viene
Eh, e come pensi che possiamo aiutarti se non ci dici "cosa viene"???
dunque...il risultato deve essre 0,39, come confermato dal metodo energetico suggerito gentilmente da mgrau. se uso il metodo col moto armonico, sostiuendo i dati m2g/k = 0,137 ( con m2 = 0,07kg e k =5 ) con X(x°) = -0,02 ottengo:
-0,02 = A cosf + 0,137
Acosf = -0,139
A=-0139/cosf
derivando ho v = -Awsin (wt + f ) v(0) =0 0 = -Awsinf
sostiutendo A ottengo:
-0,139x7,44tangf = 0 da cui f=0
A= -0,139 al quale se sommo 0,10 ottengo 0,23 e non 0.39....inoltre non capisco il segno -
Comunque i dati sono m1=0,02 kg m2 = 0,07 kg k=5 da cui w=7,44 e compress iniziale di 0,02 m ...se hai voglia di provare per capire dove sbaglio e dove continuo a sbagliare !! grazie
Abbi pazienza ma ho una certa età
-0,02 = A cosf + 0,137
Acosf = -0,139
A=-0139/cosf
derivando ho v = -Awsin (wt + f ) v(0) =0 0 = -Awsinf
sostiutendo A ottengo:
-0,139x7,44tangf = 0 da cui f=0
A= -0,139 al quale se sommo 0,10 ottengo 0,23 e non 0.39....inoltre non capisco il segno -
Comunque i dati sono m1=0,02 kg m2 = 0,07 kg k=5 da cui w=7,44 e compress iniziale di 0,02 m ...se hai voglia di provare per capire dove sbaglio e dove continuo a sbagliare !!
grazie Abbi pazienza ma ho una certa età
Non si capisce nulla se non usi l'editor.
Comunque dalla prima $A=-0.02-0.137=-0.157$.
Il massimo si ha a velocita nulla, cioe quando $-omegaAsin(omegat)=0$ che risolta da' $omegat=0$ (posizione iniziale) e $omegat=pi$ (prima fermata, massima estensione, che e' il valore che cerchi).
Quindi $-0.157cospi+0.137=0.157+0.137=0.29$, a cui devi sommare 0.1 e quindi ottieni 0.39
Comunque dalla prima $A=-0.02-0.137=-0.157$.
Il massimo si ha a velocita nulla, cioe quando $-omegaAsin(omegat)=0$ che risolta da' $omegat=0$ (posizione iniziale) e $omegat=pi$ (prima fermata, massima estensione, che e' il valore che cerchi).
Quindi $-0.157cospi+0.137=0.157+0.137=0.29$, a cui devi sommare 0.1 e quindi ottieni 0.39
@paolaing: per scrivere le formule puoi cominciare col mettere un simbolo di dollaro "$" all'inizio ed alla fine dell'espressione che vuoi formulare. Ad esempio, se digiti:
con l'accorgimento che ti ho detto, leggerai:
Per vedere come gli altri scrivono le formule prova da digitare CITA sul messaggio di qualcun altro.
cos((2 pi x)/lambda-omega t + phi_0)
con l'accorgimento che ti ho detto, leggerai:
$cos((2 pi x)/lambda-omega t + phi_0)$.
Per vedere come gli altri scrivono le formule prova da digitare CITA sul messaggio di qualcun altro.
Grazie Pallit...proverò ad imparare anche a mettere i simboli corretti ma mi si sta fondendo il cervello ! ...Vedi presentazione...
Grazie Professorkappa....ho sbagliato al primo giro facendo 0,02+0,137 = 0,139.... e me lo sono continuato a portare dietro in tutti i tentativi Sono un pò "fusa" ...ora sono alle prese con un'equazione differenziale che sono riuscita a risolvere per tentativi e ho trovato il risultato richiesto ( l'ultima l'ho risolta circa 35 anni fa ), ma mi resta il mistero di come passare da un'accelerazione fornita in funzione di x alla velocità in funzione di x. Io sono riuscita a trovare x(t) ma i conti stanno diventando troppo lunghi. Grazie a tutti per la disponibilità.
...Vedi presentazione...Grazie Professorkappa....ho sbagliato al primo giro facendo 0,02+0,137 = 0,139.... e me lo sono continuato a portare dietro in tutti i tentativi
Sono un pò "fusa" ...ora sono alle prese con un'equazione differenziale che sono riuscita a risolvere per tentativi e ho trovato il risultato richiesto ( l'ultima l'ho risolta circa 35 anni fa ), ma mi resta il mistero di come passare da un'accelerazione fornita in funzione di x alla velocità in funzione di x. Io sono riuscita a trovare x(t) ma i conti stanno diventando troppo lunghi. Grazie a tutti per la disponibilità.
Scusa ma anche io ho un'età...Non capisco tanto.
L'equazione differenziale l'ho risolta io, quale altra equaz. diff. stai cercando di risolvere?
E perchè, e come cerchi v(x)?
L'equazione differenziale l'ho risolta io, quale altra equaz. diff. stai cercando di risolvere?
E perchè, e come cerchi v(x)?
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