Moto Armonico, dove sbaglio?
Buondì a tutti,
Penso di avere qualche problema con il moto armonico. Intendiamoci, ho studiato bene (con tutti i limiti del caso) la teoria, conosco bene (sempre per il livello del mio corso) tutti gli aspetti dell'oscillatore armonico. Ho fatto tutti seguendo passo passo il Mencuccini-Silvestrini, e non ho problemi ad esporre tutto oralmente.
Il problema mi si presenta quando devo fare gli esercizi. Questo che sto postando, non è nemmeno un problema sul pendolo o sull'oscillatore, ma è semplicemente un problema sul moto armonico, eppure non mi viene.
Determinare l'equazione del moto armonico sapendo che
$T=4,4$
$x(0)=0,28 m=x_0$
$v(0)=-2.5 m/s=v_0$
Ho tutti i dati per poter determinare il moto, partiamo dall'equazione generale del moto armonico:
$x(t)=Csin(\omegat+\varphi)=Ccos(\omegat+\varphi+\pi/2)$
utilizziamo la formula con il seno.
$v(t)=C\omegacos(\omegat+\varphi)$
Dal periodo mi ricavo la pulsazione: $\omega=1,43 s^-1$
Conosco le condizioni iniziali, quindi:
$Csin(\varphi)=x_0$
$C\omegacos(\varphi)=v_0$
Facendo il rapporto ottengo: $tan\varphi=(x_0\omega)/v_0$
$varphi=arctan((0,28*1,43)/(-2,5))=-0,158rad$
$C=x_0/sin\varphi=0,28/sin(-0,158)=-1,77m$
Innanzitutto l'ampiezza è negativa, non so se questo è un problema.
Comunque i valori dell'ampiezza $C$ e della fase iniziale $\varphi$ non sono nemmeno lontanamente vicini a quelli del libro. dove è che sbaglio?
Penso di avere qualche problema con il moto armonico. Intendiamoci, ho studiato bene (con tutti i limiti del caso) la teoria, conosco bene (sempre per il livello del mio corso) tutti gli aspetti dell'oscillatore armonico. Ho fatto tutti seguendo passo passo il Mencuccini-Silvestrini, e non ho problemi ad esporre tutto oralmente.
Il problema mi si presenta quando devo fare gli esercizi. Questo che sto postando, non è nemmeno un problema sul pendolo o sull'oscillatore, ma è semplicemente un problema sul moto armonico, eppure non mi viene.
Determinare l'equazione del moto armonico sapendo che
$T=4,4$
$x(0)=0,28 m=x_0$
$v(0)=-2.5 m/s=v_0$
Ho tutti i dati per poter determinare il moto, partiamo dall'equazione generale del moto armonico:
$x(t)=Csin(\omegat+\varphi)=Ccos(\omegat+\varphi+\pi/2)$
utilizziamo la formula con il seno.
$v(t)=C\omegacos(\omegat+\varphi)$
Dal periodo mi ricavo la pulsazione: $\omega=1,43 s^-1$
Conosco le condizioni iniziali, quindi:
$Csin(\varphi)=x_0$
$C\omegacos(\varphi)=v_0$
Facendo il rapporto ottengo: $tan\varphi=(x_0\omega)/v_0$
$varphi=arctan((0,28*1,43)/(-2,5))=-0,158rad$
$C=x_0/sin\varphi=0,28/sin(-0,158)=-1,77m$
Innanzitutto l'ampiezza è negativa, non so se questo è un problema.
Comunque i valori dell'ampiezza $C$ e della fase iniziale $\varphi$ non sono nemmeno lontanamente vicini a quelli del libro. dove è che sbaglio?
Risposte
Allora partiamo dall'inizio, le equazioni del moto sono
\[x(t)=A\sin{(\omega t+\phi)}\hspace{2 cm}v(t)=\omega A\cos{(\omega t+\phi)}\]
Sappiamo che dalle costanti \(A\) e \(\phi\) si ricavano le condizioni iniziali e viceversa
\[x_{0}=A\sin{\phi}\hspace{1 cm}v_{0}=\omega A\cos{\phi}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}A^{2}=x^{2}_{0}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}\hspace{1 cm}\tan{\phi}=\frac{x_{0}}{v_{0}}\omega\]
Per la pulsazione invece abbiamo
\[T=\frac{2\pi}{\omega}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\omega=\frac{2\pi}{T}\]
Quindi
\[\omega=1.43\ s^{-1}\hspace{1 cm}\phi=-0.16\ rad\hspace{1 cm}A=1.77\ m\]
ovvero ancora
\[x(t)=1.77\sin{(1.43 t-0.16)}\hspace{2 cm}v(t)=2.53\cos{(1.43 t-0.16)}\]
\[x(t)=A\sin{(\omega t+\phi)}\hspace{2 cm}v(t)=\omega A\cos{(\omega t+\phi)}\]
Sappiamo che dalle costanti \(A\) e \(\phi\) si ricavano le condizioni iniziali e viceversa
\[x_{0}=A\sin{\phi}\hspace{1 cm}v_{0}=\omega A\cos{\phi}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}A^{2}=x^{2}_{0}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}\hspace{1 cm}\tan{\phi}=\frac{x_{0}}{v_{0}}\omega\]
Per la pulsazione invece abbiamo
\[T=\frac{2\pi}{\omega}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\omega=\frac{2\pi}{T}\]
Quindi
\[\omega=1.43\ s^{-1}\hspace{1 cm}\phi=-0.16\ rad\hspace{1 cm}A=1.77\ m\]
ovvero ancora
\[x(t)=1.77\sin{(1.43 t-0.16)}\hspace{2 cm}v(t)=2.53\cos{(1.43 t-0.16)}\]
Ok, alla fine vengono dei risultati molto simili, l'ampiegga è la stessa, ma cambiata di segno, mentre $\varphi$ è praticamente uguale.
Mi chiedo allora perchè a me l'ampiezza venga positiva e a te negativa, cosa c'è di sbagliato nella mia risoluzione?
E soprattutto, per non so quale strano motivo il mazzoldi considera $Asin\varphi=0,14m$ cioè la metà del valore considerato da noi, ad alla fine dà come risultato $x(t)=1,77sin(1,43t+2,98)$ errore del libro?
Mi chiedo allora perchè a me l'ampiezza venga positiva e a te negativa, cosa c'è di sbagliato nella mia risoluzione?
E soprattutto, per non so quale strano motivo il mazzoldi considera $Asin\varphi=0,14m$ cioè la metà del valore considerato da noi, ad alla fine dà come risultato $x(t)=1,77sin(1,43t+2,98)$ errore del libro?
Allora l'ampiezza non può essere negativa. La fase iniziale è uguale io ho solo arrotondato. Si credo sia un'errore del libro, anche perchè se dovessi considerare metà del valore (che hai nei dati) cambierebbe anche l'ampiezza del moto \(A=1.75\ m\).
Grazie per l'aiuto.
Però continuo a chiedermi cosa ci sia di sbagliato nei calcoli che ho fatto. Alla fine cosa cambia se $\varphi$ me lo calcolo dalla'arcotangente e non usando gli altri metodi?
Però continuo a chiedermi cosa ci sia di sbagliato nei calcoli che ho fatto. Alla fine cosa cambia se $\varphi$ me lo calcolo dalla'arcotangente e non usando gli altri metodi?
Mi pare che i tuoi risultati tornino:
$1.77sin(1.43t+2.98)=1.77sin(pi-(1.43t+2.98))=1.77sin(0.16-1.43t)=-1.77sin(1.43t-0.16)$
$1.77sin(1.43t+2.98)=1.77sin(pi-(1.43t+2.98))=1.77sin(0.16-1.43t)=-1.77sin(1.43t-0.16)$
aaa
Ma secondo il ragionamento fatto da Chiaraotta, il mio calcolo risulta corretto ed uguale a quello del mazzoldi. Mentre il tuo ha il segno invertito nella parentesi. dove è il problema?
Lascia stare quello che ho scritto io sono fuso in sti giorni 
. L'ampiezza la si è calcolata da una radice quadrata, quindi
\[A=\pm\sqrt{...}\]
siccome \(\sin{\phi}<0\) e \(x_{0}=A\sin{\phi}>0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}A<0\)
Quindi \(A\) la devi prendere con segno negativo.
Dopodichè utilizzi semplicemente le proprietà della funzione seno e degli angoli come ti ha fatto vedere chiaraotta.
. L'ampiezza la si è calcolata da una radice quadrata, quindi \[A=\pm\sqrt{...}\]
siccome \(\sin{\phi}<0\) e \(x_{0}=A\sin{\phi}>0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}A<0\)
Quindi \(A\) la devi prendere con segno negativo.
Dopodichè utilizzi semplicemente le proprietà della funzione seno e degli angoli come ti ha fatto vedere chiaraotta.
Ahahah, figurati, dovessi mettere uno smile triste per ogni errore algebrico fatto su forum, dovrei aprire un thread funereo ogni settimana, con il conteggio aggiornato di smile tristi !!!
Grazie mille ad entrambi
Grazie mille ad entrambi
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