Moto armonico del pendolo
Salve, vorrei una spiegazione riguardo il passaggio dall'equazione differenziale del moto armonico alla legge oraria del moto armonico.
Prendendo in considerazione il caso del pendolo semplice in cui ho (nella situazione descritta dalla foto) $a_t=-gsin\theta\rightarrow L(d^2\theta)/(dt^2)=-gsin\theta\rightarrow (d^2\theta)/(dt^2)=-g/Lsin\theta$
1) innanzitutto vorrei capire perché opta per questa uguaglianza $-g/L=\omega^2$ e poi
2) perché $(d^2\theta)/(dt^2)+\omega^2\theta=0\rightarrow \theta=\theta_0sin(\omegat+\phi)$ con ampiezza $\theta_0$ dipendente dalla condizione iniziale del moto
È un piccolo ripasso prima di studiare il pendolo composto per il corpo rigido che adotta le stesse eguaglianze per quanto riguarda il passaggio da equazione differenziale alla legge oraria e volevo aver chiaro questo punto.
Grazie
Prendendo in considerazione il caso del pendolo semplice in cui ho (nella situazione descritta dalla foto) $a_t=-gsin\theta\rightarrow L(d^2\theta)/(dt^2)=-gsin\theta\rightarrow (d^2\theta)/(dt^2)=-g/Lsin\theta$
1) innanzitutto vorrei capire perché opta per questa uguaglianza $-g/L=\omega^2$ e poi
2) perché $(d^2\theta)/(dt^2)+\omega^2\theta=0\rightarrow \theta=\theta_0sin(\omegat+\phi)$ con ampiezza $\theta_0$ dipendente dalla condizione iniziale del moto
È un piccolo ripasso prima di studiare il pendolo composto per il corpo rigido che adotta le stesse eguaglianze per quanto riguarda il passaggio da equazione differenziale alla legge oraria e volevo aver chiaro questo punto.
Grazie
Risposte
Al limite $[g/L=omega^2]$, semplicemente per arrivare alla nota equazione $[ddottheta+omega^2theta=0]$ dell'oscillatore armonico. Inoltre, $[theta=theta_0sen(omegat+phi)]$ è l'integrale generale dell'equazione medesima.
In che senso "al limite"? No perché ho notato che anche nel pendolo composto effettua un'uguaglianza simile: $(d^2\theta)/(dt^2)+(mgh)/(I_z)\theta=0\rightarrow (mgh)/(I_z)=\omega^2$. Vorrei capire cosa porta a questa uguaglianza
Mi stavo riferendo al fatto che avevi scritto $[-g/L=omega^2]$. In generale, quando la grandezza fisica $[theta]$ in esame soddisfa l'equazione differenziale del moto armonico, si cerca di arrivare all'equazione $[ddottheta+omega^2theta=0]$. Ovviamente, la posizione $[omega^2=...]$ dipende dai parametri fisici che caratterizzano il problema.
Cioè quindi vorresti dirmi che quelle uguaglianze sono state fatte solo per arrivare all'equazione differenziale del moto armonico?
Certo. Chiaramente, dato che la pulsazione $[omega]$ è legata alla frequenza dalla relazione $[omega=2pif]$, dalla posizione $[omega^2=...]$ puoi anche identificare i parametri fisici dai quali dipende la frequenza delle oscillazioni.
Ok, grazie
"robe92":
Salve, vorrei una spiegazione riguardo il passaggio dall'equazione differenziale del moto armonico alla legge oraria del moto armonico.
Prendendo in considerazione il caso del pendolo semplice in cui ho (nella situazione descritta dalla foto) $a_t=-gsin\theta\rightarrow L(d^2\theta)/(dt^2)=-gsin\theta\rightarrow (d^2\theta)/(dt^2)=-g/Lsin\theta$
1) innanzitutto vorrei capire perché opta per questa uguaglianza $-g/L=\omega^2$ e poi
2) perché $(d^2\theta)/(dt^2)+\omega^2\theta=0\rightarrow \theta=\theta_0sin(\omegat+\phi)$ con ampiezza $\theta_0$ dipendente dalla condizione iniziale del moto
IN appoggio a speculor , aggiungo per robe : prendi l'equazione finale che hai scritto : $ \theta=\theta_0sin(\omegat+\phi)$
Derivala una volta rispetto al tempo , per ricavare $(d\theta)/(dt) $
Deriva ancora questa rispetto al tempo , per ricavare $(d^2\theta)/(dt^2)$ . Che cosa ottieni ?
Ottengo $(d^2\theta)/(dt^2)=-\omega^2\theta_0sin(\omegat+\phi)$, quindi?
@navigatore
Ho dato per scontato che robe92 conoscesse il concetto di equazione differenziale. Evidentemente non avrei dovuto farlo.
Ho dato per scontato che robe92 conoscesse il concetto di equazione differenziale. Evidentemente non avrei dovuto farlo.
Poi
E quindi , prendi il secondo membro e passalo al primo . Poi sostituisci al posto di $\theta_0sin(\omegat+\phi)$ la quantità $\theta$ : ottieni proprio l'eq differenziale del moto .
Mai dar nulla per scontato ...
"robe92":
Ottengo $(d^2\theta)/(dt^2)=-\omega^2\theta_0sin(\omegat+\phi)$, quindi?
E quindi , prendi il secondo membro e passalo al primo . Poi sostituisci al posto di $\theta_0sin(\omegat+\phi)$ la quantità $\theta$ : ottieni proprio l'eq differenziale del moto .
Mai dar nulla per scontato ...
Ecco infatti, grazie navigatore, ho appena cominciato lo studio delle equazioni differenziali in Analisi 2 e sono alle prime armi.. Il prossimo step è capire la risoluzione dell'equazione differenziale del moto armonico, è un mio arcano che vorrei svelare al più presto 
Salve anche io sto studiando il pendolo semplice e ho alcuni dubbi, le scrivo qui visto che c' è gia una discussione aperta:
allora nel punto $P$ le forze agienti sul moto portano a scrivere questa relazione $m*g +T_F=m*a$ poi questa equazione viene scomposta lungo la traiettoria ottenendo $R_T= -m*gsen\theta=m*a_T$ e poi $R_N=T_F-m*g*cos\theta=m*a_N$ mi chiedo perchè viene introdotta l' accelerazione tangente $a_T$ e quella normale $a_N$ ???? perchè la traiettoria è un arco di circonferenza????
allora nel punto $P$ le forze agienti sul moto portano a scrivere questa relazione $m*g +T_F=m*a$ poi questa equazione viene scomposta lungo la traiettoria ottenendo $R_T= -m*gsen\theta=m*a_T$ e poi $R_N=T_F-m*g*cos\theta=m*a_N$ mi chiedo perchè viene introdotta l' accelerazione tangente $a_T$ e quella normale $a_N$ ???? perchè la traiettoria è un arco di circonferenza????
"Merlino":
Salve anche io sto studiando il pendolo semplice e ho alcuni dubbi, le scrivo qui visto che c' è gia una discussione aperta:
allora nel punto $P$ le forze agienti sul moto portano a scrivere questa relazione $m*g +T_F=m*a$ poi questa equazione viene scomposta lungo la traiettoria ottenendo $R_T= -m*gsen\theta=m*a_T$ e poi $R_N=T_F-m*g*cos\theta=m*a_N$ mi chiedo perchè viene introdotta l' accelerazione tangente $a_T$ e quella normale $a_N$ ???? perchè la traiettoria è un arco di circonferenza????
Le forze agenti in P non portano a scrivere la prima relazione che hai scritto, Merlino. Devi prima scomporre la forza peso nelle due direzioni, e poi puoi scrivere due relazioni. Quella che ti serve, per ricavare la legge del moto del pendolo nell'ipotesi di piccole oscillazioni (eq differenziale del moto armonico, in cui fai l'ipotesi che per piccoli angoli si possa sostituire l'angolo $\theta$ a $sen\theta$ ), è l'equazione nella direzione della tangente. L'altra ti può servire per calcolare la tensione nel filo. Guardati bene i passaggi iniziali di robe92, e ti rendi conto del perchè ti serve l'accelerazione tangenziale. Anche su Wikipedia la descrizione del "pendolo semplice" è buona.
Che altro potrebbe essere la traiettoria, se non un arco di circonferenza, visto che la lunghezza del filo è costante?
Ok la forza peso che agisce sul punto $P$ scomposta nelle due direzioni porta a scrivere le due relazioni...quindi solo la forza peso...e la tensione $T_F$, viene presa in considerazione?????
"Merlino":
Ok la forza peso che agisce sul punto $P$ scomposta nelle due direzioni porta a scrivere le due relazioni...quindi solo la forza peso...e la tensione $T_F$, viene presa in considerazione?????
La tensione nel filo non occorre per analizzare il moto del pendolo semplice. Se vuoi, te la calcoli considerando le forze agenti sullla massa pendolare , proiettate sulla direzione del filo, e scrivendo la condizione di equilibrio.
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