Moto Armonico
C'è questa formula:
$x(t) = A sin$( $(omega) * t + Phi$)
....che non ho compreso del tutto.
Se $omega$ è la velocità $(omega) * t$ è lo spazio percorso al tempo $t$.
Perchè viene considerato anche $A$ e si opera con il seno?
$x(t) = A sin$( $(omega) * t + Phi$)
....che non ho compreso del tutto.
Se $omega$ è la velocità $(omega) * t$ è lo spazio percorso al tempo $t$.
Perchè viene considerato anche $A$ e si opera con il seno?
Risposte
cosa è $A$ (il raggio?)? forse la formula si riferisce al caso in cui come istante iniziale si prende l' istante in cui il corpo passa per il centro dell' oscillazione?
"Bemipefe":
C'è questa formula:
$x(t) = A sin$( $(omega) * t + Phi$)
....che non ho compreso del tutto.
Se $omega$ è la velocità $(omega) * t$ è lo spazio percorso al tempo $t$.
Perchè viene considerato anche $A$ e si opera con il seno?
$A$ è l'ampiezza del moto (in realtà è la semiampiezza, in quanto la posizione assume valori da -A a +A, su questa questione terminologica c'è disparità fra i diversi testi) ed è necessaria perchè la funzione seno restituisce solo valori tra -1 e +1, $omega$ è la velocità angolare e dunque $omega*t$ è l'angolo percorso al tempo t (al quale eventualmente si aggiunge la fase iniziale $phi$), non lo spazio come dici tu!
si opera col seno proprio per la definizione di moto armonico, nel quale una forza si oppone allo spostamento. nel caso ad esempio della forza eleastica $F=-kx$ la legge di Newton diventa un'equazione differenziale di secondo grado $-kx=mddot x$, da cui $ddot x +(k/m) x=0$ il cui risultato è appunto $x=Asin(sqrt(k/m)t+phi)$ con $omega=sqrt(k/m)$
spero di essere stato chiaro
ciao
ma guarda che omega non è la velocità come la intendi tu!! è la pulsazione!!! quella è la soluzione della equazione differenziale
$(d^2x)/dt^2=F/m
dove F è una funzione di primo grado in x.
$(d^2x)/dt^2=F/m
dove F è una funzione di primo grado in x.
Il discorso sulle componenti ci ero arrivato....
....la pulsazione si misura in rad/s quindi altro non può essere che la velocità angolare del moto, ad esempio nel pendolo ho $x$ rad percorsi per un verso e poi per l'opposto, ma lo spazio (e per spazio intendevo quantità la quantità di angolo percorsa) puo essere diverso da $x$ rad se ogni secondo percorro meno di $x$ rad.
ES: se ho un angolo di 0,5 rad posso avere una velocità del pendolo di 0,25 rad / s, cioè in un secondo ne percorre metà.
Quindi non capisco perchè la chiamino pulsazione visto che in questo caso questa sarebbe di 0,5 rad / 2s , .....sempre che per pulsazione si intenda la velocità di percorrenza dell' "intero" spazio $A$.
Ritornando alla formula dicevo che....... se $omega$ è la velocità e $t$ è il tempo allora ad esempio posso stabilire che al tempo di 2 s con velocità $omega = 0,25$rad $/s$ avrò percorso uno spazio $x$($2$)$ = 0,5 $rad , cioè $A$.
e qui ripeto...... perchè fare il seno e moltiplicarlo per $A$ ?
....la pulsazione si misura in rad/s quindi altro non può essere che la velocità angolare del moto, ad esempio nel pendolo ho $x$ rad percorsi per un verso e poi per l'opposto, ma lo spazio (e per spazio intendevo quantità la quantità di angolo percorsa) puo essere diverso da $x$ rad se ogni secondo percorro meno di $x$ rad.
ES: se ho un angolo di 0,5 rad posso avere una velocità del pendolo di 0,25 rad / s, cioè in un secondo ne percorre metà.
Quindi non capisco perchè la chiamino pulsazione visto che in questo caso questa sarebbe di 0,5 rad / 2s , .....sempre che per pulsazione si intenda la velocità di percorrenza dell' "intero" spazio $A$.
Ritornando alla formula dicevo che....... se $omega$ è la velocità e $t$ è il tempo allora ad esempio posso stabilire che al tempo di 2 s con velocità $omega = 0,25$rad $/s$ avrò percorso uno spazio $x$($2$)$ = 0,5 $rad , cioè $A$.
e qui ripeto...... perchè fare il seno e moltiplicarlo per $A$ ?
Io ricordo veramente che la funzione $x=f(t)$ per il moto armonico semplice fosse descritta dal coseno e non dal seno.
Consideriamo ad esempio un corpo di massa m collegato a una molla di costante k e libero di oscillare.
Questo sistema costituisce un oscillatore meccanico.
Se la molla è ideale e non presenta nessuna costante di smorzamento possiamo affermare che l'energia meccanica non varia nel tempo.
Per cui possiamo scrivere:
$E=K+U=1/2mv^2+1/2kx^2$
$(dE)/(dt)=d(1/2mv^2+1/2kx^2)/(dt)=mv(dv)/(dt)+kx(dx)/(dt)=0$
sappiamo che $(dx)/(dt)=v$ quindi
$m(d^2x)/(dt^2)+kx$=0$
Otteniamo un'equazione lineare di secondo grado a coefficienti costanti la cui soluzione è
$x=Acos(\omegat+\phi)$
Consideriamo ad esempio un corpo di massa m collegato a una molla di costante k e libero di oscillare.
Questo sistema costituisce un oscillatore meccanico.
Se la molla è ideale e non presenta nessuna costante di smorzamento possiamo affermare che l'energia meccanica non varia nel tempo.
Per cui possiamo scrivere:
$E=K+U=1/2mv^2+1/2kx^2$
$(dE)/(dt)=d(1/2mv^2+1/2kx^2)/(dt)=mv(dv)/(dt)+kx(dx)/(dt)=0$
sappiamo che $(dx)/(dt)=v$ quindi
$m(d^2x)/(dt^2)+kx$=0$
Otteniamo un'equazione lineare di secondo grado a coefficienti costanti la cui soluzione è
$x=Acos(\omegat+\phi)$
Inoltre puoi ricavare facilmente questa formula sapendo che il moto armonico altro non è che la proiezione sull'asse orizzontale di un moto circolare uniforme.
Considera ad esempio corpo che si muove con velocità angolare costante su una circonferenza di raggio A.
La funzione che lega la posizione angolare al tempo è:
$\theta=\phi+\omegat$
dove $\phy$ è l'angolo rispetto all'asse x da cui si inizia a misurare il tempo.
La proiezione all'istante t del raggio vettore sull'asse x sarà:
$x=Acos(\omegat+\phi)$
che è proprio la funzione x=f(t) del moto armonico.
Considera ad esempio corpo che si muove con velocità angolare costante su una circonferenza di raggio A.
La funzione che lega la posizione angolare al tempo è:
$\theta=\phi+\omegat$
dove $\phy$ è l'angolo rispetto all'asse x da cui si inizia a misurare il tempo.
La proiezione all'istante t del raggio vettore sull'asse x sarà:
$x=Acos(\omegat+\phi)$
che è proprio la funzione x=f(t) del moto armonico.
se ci pensi Giuseppe il seno e il coseno sono funzioni l'una traslata dell'altra... ed entrambe le nostre due funzioni sono soluzioni di quella differenziale di secondo grado
infatti se utiliziamo la funzione col seno con fase 0, all'istante iniziale x sarà 0
mentre con il coseno all'istante iniziale x=+A, e con una fase opportuna le due funzioni saranno assolutamente equivalenti...
cambia solo il punto di riferimento insomma! a me sembra più razionale utilizzare il seno comunque, così da avere per il moto armonico una funzione dispari, che dia per angoli (intendo $omega t + phi$) opposti x opposte!
(spero solo tu sappia come si risolve l'equazione differenziale e non abbia preso il risultato per "dato dall'alto")
infatti se utiliziamo la funzione col seno con fase 0, all'istante iniziale x sarà 0
mentre con il coseno all'istante iniziale x=+A, e con una fase opportuna le due funzioni saranno assolutamente equivalenti...
cambia solo il punto di riferimento insomma! a me sembra più razionale utilizzare il seno comunque, così da avere per il moto armonico una funzione dispari, che dia per angoli (intendo $omega t + phi$) opposti x opposte!
(spero solo tu sappia come si risolve l'equazione differenziale e non abbia preso il risultato per "dato dall'alto")
Si queste equazioni differenziali le so risolvere. Basta considerare l'equazione caratteristica che è
$t^2+k/m=0$
quindi
$t=+-isqrt(k/m)$
la cui soluzione è
$x=c_(1)sinsqrt(k/m)t+c_(2)cossqrt(k/m)t$
imponendo le condizioni iniziali si trovano i valori delle costanti (una rusulta 0).
Sapendo poi che $\omega=sqrt(k/m)$ si arriva alla legge del moto armonico.
$t^2+k/m=0$
quindi
$t=+-isqrt(k/m)$
la cui soluzione è
$x=c_(1)sinsqrt(k/m)t+c_(2)cossqrt(k/m)t$
imponendo le condizioni iniziali si trovano i valori delle costanti (una rusulta 0).
Sapendo poi che $\omega=sqrt(k/m)$ si arriva alla legge del moto armonico.
Il moto armonico è uno dei miei argomenti preferiti, aggiungo qualcosina.
Consideriamo l'equazione del moto armonico:
$ddotx=-omega^2*x$
e consideriamo le funzioni:
$x(t)=A*sin(alpha*t)$
$x(t)=A*cos(alpha*t)$
Come è facilmente verificabile calcolando le derivate, entrambe le funzioni soddisfano l'equazione differenziale di cui sopra, in particolare per $alpha^2=omega^2$.
$omega$ è la pulsazione, cioè $(2*pi)/T$ dove $T$ è il periodo.
L'ampiezza $A$ come facilmente si può notare è indifferente.
Quindi entrambe le funzioni considerate soddisfano l'equazione differenziale del moto armonico, il cui integrale generale è appunto:
$x(t)= C_1*sin(omega*t) + C_2*cos(omega*t)$
Ora elaboriamo la funzione come segue:
$sqrt(C_1^2+C_2^2)*(C_1/(sqrt(C_1^2+C_2^2))*sin(omega*t)+C_2/(sqrt(C_1^2+C_2^2))*cos(omega*t))$
poniamo
$C_1/(sqrt(C_1^2+C_2^2))=cos(phi)$
$C_2/(sqrt(C_1^2+C_2^2))=sin(phi)$
ottenendo:
$sqrt(C_1^2+C_2^2)*(sin(omega*t)*cos(phi)+sin(phi)*cos(omega*t))$
ricordando la formula goniometrica $sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)$
si ottiene:
$sqrt(C_1^2+C_2^2)*sin(omega*t+phi)$
e ponendo infine
$sqrt(C_1^2+C_2^2)=A$
si ottiene la famosa formula:
$x(t)=A*sin(omega*t+phi)
dove $A$ e $phi$, essendo funzioni dei coefficienti $C_1$ e $C_2$ dell'equazione differenziale, dipendono solo dalle condizioni iniziali del sistema.
Spero di non aver detto cose banali... anche perchè ci ho messo mezz'ora per scriverle.
Fabio
Consideriamo l'equazione del moto armonico:
$ddotx=-omega^2*x$
e consideriamo le funzioni:
$x(t)=A*sin(alpha*t)$
$x(t)=A*cos(alpha*t)$
Come è facilmente verificabile calcolando le derivate, entrambe le funzioni soddisfano l'equazione differenziale di cui sopra, in particolare per $alpha^2=omega^2$.
$omega$ è la pulsazione, cioè $(2*pi)/T$ dove $T$ è il periodo.
L'ampiezza $A$ come facilmente si può notare è indifferente.
Quindi entrambe le funzioni considerate soddisfano l'equazione differenziale del moto armonico, il cui integrale generale è appunto:
$x(t)= C_1*sin(omega*t) + C_2*cos(omega*t)$
Ora elaboriamo la funzione come segue:
$sqrt(C_1^2+C_2^2)*(C_1/(sqrt(C_1^2+C_2^2))*sin(omega*t)+C_2/(sqrt(C_1^2+C_2^2))*cos(omega*t))$
poniamo
$C_1/(sqrt(C_1^2+C_2^2))=cos(phi)$
$C_2/(sqrt(C_1^2+C_2^2))=sin(phi)$
ottenendo:
$sqrt(C_1^2+C_2^2)*(sin(omega*t)*cos(phi)+sin(phi)*cos(omega*t))$
ricordando la formula goniometrica $sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)$
si ottiene:
$sqrt(C_1^2+C_2^2)*sin(omega*t+phi)$
e ponendo infine
$sqrt(C_1^2+C_2^2)=A$
si ottiene la famosa formula:
$x(t)=A*sin(omega*t+phi)
dove $A$ e $phi$, essendo funzioni dei coefficienti $C_1$ e $C_2$ dell'equazione differenziale, dipendono solo dalle condizioni iniziali del sistema.
Spero di non aver detto cose banali... anche perchè ci ho messo mezz'ora per scriverle.
Fabio
Grazie ragazzi! 
Tuttavia non ho molta familiarità con gli integrali e le equazioni differenziali...........
Apprezzo le varie dimostrazioni, ma io continuo a chiedermi per quale motivo non sia verò che in un dato momento $t$ la posizione $x(t)$ non sia data semplicemente da $omega*t$.
Perche ?
Il seno ha un significato geometrico oppure nasce dall'esigenza di calcolo ?
Tuttavia non ho molta familiarità con gli integrali e le equazioni differenziali...........
Apprezzo le varie dimostrazioni, ma io continuo a chiedermi per quale motivo non sia verò che in un dato momento $t$ la posizione $x(t)$ non sia data semplicemente da $omega*t$.
Perche ?
Il seno ha un significato geometrico oppure nasce dall'esigenza di calcolo ?
Ma scusa se mi permetto, ma secondo te può una funzione non periodica essere il modello di un fenomeno periodico?
Dunque mi pare di capire che il tuo problema sia $A$ e $phi$.
Bene, prendiamola in questo modo.
$phi$ come ti ho detto dipende dalle condizioni iniziali del sistema. Cioè, con un'opportuna scelta del sistema di riferimento cui l'equazione oraria è riferita, $phi$ sparisce, cioè si ha $phi=0$.
Un (quasi) analogo di $phi$ facilmente comprensibile si ritrova in cinematica, addirittura nell'equazione oraria del moto rettilineo uniforme.
$x(t)=v*t+x_0$ dove $x_0$ è lo spostamento iniziale.
Con un'opportuna scelta del sistema di riferimento si può porre $x_0=0$. Lo stesso è per $phi$.
Consideriamo ora $A$, poi ritorniamo su questo punto.
Ammettiamo ora che sia appunto $phi=0$, quindi l'equazione diventa $x(t)=A*sin(omega*t)$
La quantità $sin(omega*t)$ è la componente ondulatoria, che può assumere solo valori compresi nell'intervallo $[-1,1]$. Ma la funzione x(t) misura lo spostamento dell'oscillatore armonico dalla posizione di equilibrio. x(t) in sostanza, nel S.I., dà una misura in metri. E mica è detto che ogni oscillatore armonico debba necessariamente oscillare fra $[-1,1]$ metri!!!
Altrimenti appena un oscillatore sta per superare questa soglia cosa succede, interviene il Padreterno che lo blocca perchè viola le leggi della Fisica? No, a questo serve in sostanza $A$, a consentire tutte le possibili oscillazioni. Se $A=5$ l'oscillatore si muoverà fra $[-5,5]$ metri e così via.
Poniamo per semplicità A=1, quindi $x(t)=sin(omega*t+phi)$. Se consideri l'istante $t=0$, ottieni $x(t_0)=sin(phi)$ Ecco spiegata l'importanza di $phi$ e il suo collegamento con le condizioni iniziali. Ed ecco spiegata anche la differenza con la $x_0$ della cinematica. Se $x_0$ rappresenta una quantità lineare (ma sempre lo spostamento iniziale), $phi$ è l'arco il cui seno è lo spostamento iniziale $x(t_0)$. Cioè $phi=arcsinx(t_0).
Spero di essere stato chiaro.
Fabio
Bene, prendiamola in questo modo.
$phi$ come ti ho detto dipende dalle condizioni iniziali del sistema. Cioè, con un'opportuna scelta del sistema di riferimento cui l'equazione oraria è riferita, $phi$ sparisce, cioè si ha $phi=0$.
Un (quasi) analogo di $phi$ facilmente comprensibile si ritrova in cinematica, addirittura nell'equazione oraria del moto rettilineo uniforme.
$x(t)=v*t+x_0$ dove $x_0$ è lo spostamento iniziale.
Con un'opportuna scelta del sistema di riferimento si può porre $x_0=0$. Lo stesso è per $phi$.
Consideriamo ora $A$, poi ritorniamo su questo punto.
Ammettiamo ora che sia appunto $phi=0$, quindi l'equazione diventa $x(t)=A*sin(omega*t)$
La quantità $sin(omega*t)$ è la componente ondulatoria, che può assumere solo valori compresi nell'intervallo $[-1,1]$. Ma la funzione x(t) misura lo spostamento dell'oscillatore armonico dalla posizione di equilibrio. x(t) in sostanza, nel S.I., dà una misura in metri. E mica è detto che ogni oscillatore armonico debba necessariamente oscillare fra $[-1,1]$ metri!!!
Altrimenti appena un oscillatore sta per superare questa soglia cosa succede, interviene il Padreterno che lo blocca perchè viola le leggi della Fisica?
No, a questo serve in sostanza $A$, a consentire tutte le possibili oscillazioni. Se $A=5$ l'oscillatore si muoverà fra $[-5,5]$ metri e così via.Poniamo per semplicità A=1, quindi $x(t)=sin(omega*t+phi)$. Se consideri l'istante $t=0$, ottieni $x(t_0)=sin(phi)$ Ecco spiegata l'importanza di $phi$ e il suo collegamento con le condizioni iniziali. Ed ecco spiegata anche la differenza con la $x_0$ della cinematica. Se $x_0$ rappresenta una quantità lineare (ma sempre lo spostamento iniziale), $phi$ è l'arco il cui seno è lo spostamento iniziale $x(t_0)$. Cioè $phi=arcsinx(t_0).
Spero di essere stato chiaro.
Fabio
Spero di essere stato chiaro
Semplice e Penetrante!
Grazie!
Ma scusa se mi permetto, ma secondo te può una funzione non periodica essere il modello di un fenomeno periodico?
In effetti ci avevo penzato.
Avevo intuito che moltiplicare $A$ per valori compresi tra -1 e 1 era come ridurre la lunghezza totale A di $1/2$,$1/3$, $1/4$, a seconda del valore del seno, nei casi estremi -1 e 1 $A$ assumeva invece l'intero intervallo di oscillazione appunto $A$.
....che videvo dire..... era solo una mia teoria e non ciò creduto totalmente, ma ora che ho avuto la conferma.......
CIAO!
Bene ! ..... ora che ho capito meglio la descrizione del moto armonico, posso passare all'argomento che stavo studiando.
"la molla"
Innanzi tutto mi sembra di aver capito che la forza èlastica è espressa da :
$F= -kxu_x$
con le componenti .
-$k$ = kostante elastica
-$x$ = lunghezza dello spostamento
-$u_x$ = versore del vettore forza risultante da $k*x$
Ho capito bene?
Ora vorrei comprendere meglio, la natura delle formule enunciate dal libro:
$a = (F) / (m) = - (k) / (m) * x = omega^(2) x $
.....come fà ad arrivare a $omega^(2) x $ ? non c'è un minimo segno di passaggio......
certo poi mi dice che :
$omega = sqrt(k / m)$ ma è molto chiaro il legame e i passaggi per arrivare a tali conclusioni.
"la molla"
Innanzi tutto mi sembra di aver capito che la forza èlastica è espressa da :
$F= -kxu_x$
con le componenti .
-$k$ = kostante elastica
-$x$ = lunghezza dello spostamento
-$u_x$ = versore del vettore forza risultante da $k*x$
Ho capito bene?
Ora vorrei comprendere meglio, la natura delle formule enunciate dal libro:
$a = (F) / (m) = - (k) / (m) * x = omega^(2) x $
.....come fà ad arrivare a $omega^(2) x $ ? non c'è un minimo segno di passaggio......
certo poi mi dice che :
$omega = sqrt(k / m)$ ma è molto chiaro il legame e i passaggi per arrivare a tali conclusioni.
ma è molto chiaro il legame e i passaggi per arrivare a tali conclusioni.
...volevo dire che non è molto chiaro il legame e i passaggi per arrivare a tali conclusioni.
In generale in un moto armonico si ha $a=-\omega^2x$
Per cui $F=ma=kx=m\omega^2x; \omega=sqrt(k/m)$
Per cui $F=ma=kx=m\omega^2x; \omega=sqrt(k/m)$
Si ......giusto.......ma questo lo avevoscritto anche io.........
.....volevo sapere invece come arrivare a dire che in un moto armonico $a = - omega^2 * x$
.....volevo sapere invece come arrivare a dire che in un moto armonico $a = - omega^2 * x$
Ritrnando indietro sui motiarmonici ho visto che tutto viene ricavato derivando la formula base del moto:
$x$($t$)$=A*sin(omega * t + Phi)$
da quì si ricava la velocità e poi derivando ulteriormente l'accelerazione.
Solo che non hocapito perchè la derivata della formula sovrastante è :
$omega * A *cos(omega * t + Phi)$
...si ok $D sin$($x$) $= cos $($x$) ma $omega$ da dove spunta ?
$x$($t$)$=A*sin(omega * t + Phi)$
da quì si ricava la velocità e poi derivando ulteriormente l'accelerazione.
Solo che non hocapito perchè la derivata della formula sovrastante è :
$omega * A *cos(omega * t + Phi)$
...si ok $D sin$($x$) $= cos $($x$) ma $omega$ da dove spunta ?
$d/{dt}sin(at)=acos(at)$
E' la formula generale di derivazione di una funzione composta.
Se $y=f(g(x))$ allora $y'=f'(g(x))*g'(x)$
Quindi $y=Asin(\omegat); y'=Acos(\omegat)*D(\omegat); =\omegaAcos(\omegat)$
Se $y=f(g(x))$ allora $y'=f'(g(x))*g'(x)$
Quindi $y=Asin(\omegat); y'=Acos(\omegat)*D(\omegat); =\omegaAcos(\omegat)$
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