Moto accelerato non uniforme?
Buon pomeriggio a tutti ^_^
Di recente, giocando ad un ruolo interpretativo, mi sono trovato ad improvvisare una specie di spara-palle in una scena tra il comico e il mortale. La mia mente contorta però da lì si è messa a ragionare sul meccanismo e da un paio di giorni mi accompagna come grattacapo dal quale non riesco ad uscire. Lo schema del meccanismo è approssimato così:
Nel quale voglio scoprire il rapporto tra la forza $ F(N) $ e la velocità $ V_(f)(m/s) $ di uscita della palla rossa dal meccanismo nell'istante $ t_1 (s) $
In breve, alle estremità di una corda non elastica di lunghezza $ l(m) $ viene applicata una forza $ F(N) $ equamente suddivisa, e al centro della corda è posizionata una palla (che per semplicità considero puntiforme e di massa $ m(Kg) $).
Il piano $ xy $ che passa per i due lati della corda che formano l'angolo $ alpha(gra) $ è parallelo al terreno.
- La forza F rimane costante e viene applicata istantaneamente a partire da $ t_0(s) $ (per semplicità)
- L'angolo $ alpha $ è pari a zero nell'istante $ t_0 $ e raggiungerà il valore $ alpha=180° $ a $ t_1(s) $
- Il tutto è come sospeso in aria, e non si considerano attriti (sempre per semplicità)
Quello che ho "capito" (e spero di non essermi sbagliato) è che:
-la forza trasmessa alla palla in una determinata posizione tra $ 0<=alpha<=180 $ ha direzione $Y_+$ ed è pari a
-l'accelerazione nello stesso istante è invece data da
-se ne deduce (spero) che nell'istante $ t_0 $ avremo la forza e l'accelerazione massime, e nell'istante $ t_1 $ la forza e l'accelerazione pari a zero, con un andamento da $ t_0 $ a $ t_1 $ che mi pare di aver capito essere sinusoidale discendente, in un grafico dove il tempo sta nell'ascissa e la variabile (forza o accelerazione) nella coordinata.
Detto questo, mi pare ovvio che non posso semplicemente calcolare la velocità di uscita nell'istante $ t_1 $ semplicemente calcolando l'accelerazione in quel momento (che è zero), anche perché $ t_1 $ non è conosciuto, perciò credo serva calcolare l'area della funzione che mette in rapporto accelerazione e tempo tramite un integrale, che però non riesco ad intuire. Suggerimenti?
Di recente, giocando ad un ruolo interpretativo, mi sono trovato ad improvvisare una specie di spara-palle in una scena tra il comico e il mortale. La mia mente contorta però da lì si è messa a ragionare sul meccanismo e da un paio di giorni mi accompagna come grattacapo dal quale non riesco ad uscire. Lo schema del meccanismo è approssimato così:
Nel quale voglio scoprire il rapporto tra la forza $ F(N) $ e la velocità $ V_(f)(m/s) $ di uscita della palla rossa dal meccanismo nell'istante $ t_1 (s) $
In breve, alle estremità di una corda non elastica di lunghezza $ l(m) $ viene applicata una forza $ F(N) $ equamente suddivisa, e al centro della corda è posizionata una palla (che per semplicità considero puntiforme e di massa $ m(Kg) $).
Il piano $ xy $ che passa per i due lati della corda che formano l'angolo $ alpha(gra) $ è parallelo al terreno.
- La forza F rimane costante e viene applicata istantaneamente a partire da $ t_0(s) $ (per semplicità)
- L'angolo $ alpha $ è pari a zero nell'istante $ t_0 $ e raggiungerà il valore $ alpha=180° $ a $ t_1(s) $
- Il tutto è come sospeso in aria, e non si considerano attriti (sempre per semplicità)
Quello che ho "capito" (e spero di non essermi sbagliato) è che:
-la forza trasmessa alla palla in una determinata posizione tra $ 0<=alpha<=180 $ ha direzione $Y_+$ ed è pari a
$ Q=F*cos^2(alpha/2) $
-l'accelerazione nello stesso istante è invece data da
$ a=Q/m $
-se ne deduce (spero) che nell'istante $ t_0 $ avremo la forza e l'accelerazione massime, e nell'istante $ t_1 $ la forza e l'accelerazione pari a zero, con un andamento da $ t_0 $ a $ t_1 $ che mi pare di aver capito essere sinusoidale discendente, in un grafico dove il tempo sta nell'ascissa e la variabile (forza o accelerazione) nella coordinata.
Detto questo, mi pare ovvio che non posso semplicemente calcolare la velocità di uscita nell'istante $ t_1 $ semplicemente calcolando l'accelerazione in quel momento (che è zero), anche perché $ t_1 $ non è conosciuto, perciò credo serva calcolare l'area della funzione che mette in rapporto accelerazione e tempo tramite un integrale, che però non riesco ad intuire. Suggerimenti?
Risposte
Vedo che la corda passa su carrucole montate su carrelli. Spero sia un lapsus, e che invece le carrucole siano fisse, se no, ti vuoi davvero complicare la vita...
Inoltre dici che all'inizio l'angolo $alpha$ è zero, ma questo non è possibile, vorrebbe dire che la corda ha una lunghezza infinita.
E comunque non c'è bisogno di nessun integrale... per passare dalla configurazione iniziale a quella a corda tesa gli estremi della corda si spostano di una certa quantità, la forza fa un certo lavoro, e questo va in energia cinetica della palla.
Inoltre dici che all'inizio l'angolo $alpha$ è zero, ma questo non è possibile, vorrebbe dire che la corda ha una lunghezza infinita.
E comunque non c'è bisogno di nessun integrale... per passare dalla configurazione iniziale a quella a corda tesa gli estremi della corda si spostano di una certa quantità, la forza fa un certo lavoro, e questo va in energia cinetica della palla.
La corda non passa su nessun carrello né carrucola, quelle sono rappresentazioni di vincoli meccanici.
$ alpha $ può benissimo essere zero, la corda ha una lunghezza finita, gli estremi si allontanano sull'asse x come fossero su binari, mentre la palla rossa si muove in direzione $ Y_+ $ .
La figura inizialmente è una "I" con la palla in basso e gli estremi coincidenti $ alpha=0° $ , che diventa una "V" durante il movimento formando un isoscele di angolo $ 0<=alpha<=180 $ , per finire come una linea orizzontale di lunghezza $ l $ all'istante $ t_1 $ ( $ alpha=180° $ ).
Scusatemi se il disegno è poco chiaro, l'ho buttato lì sul note in fretta
$ alpha $ può benissimo essere zero, la corda ha una lunghezza finita, gli estremi si allontanano sull'asse x come fossero su binari, mentre la palla rossa si muove in direzione $ Y_+ $ .
La figura inizialmente è una "I" con la palla in basso e gli estremi coincidenti $ alpha=0° $ , che diventa una "V" durante il movimento formando un isoscele di angolo $ 0<=alpha<=180 $ , per finire come una linea orizzontale di lunghezza $ l $ all'istante $ t_1 $ ( $ alpha=180° $ ).
Scusatemi se il disegno è poco chiaro, l'ho buttato lì sul note in fretta
Ma quelle formule da dove escono?
Hai uguagliato un'accelerazione ad una quantità che non ha unità di misura di un'accelerazione
Hai uguagliato un'accelerazione ad una quantità che non ha unità di misura di un'accelerazione
La prima formula viene dalla scomposizione di F, la seconda dalla classica
$F=m*a$
Assumendo $g=9.81$.
O almeno, questo è quanto ho pensato, cosa mi è sfuggito?
$F=m*a$
Assumendo $g=9.81$.
O almeno, questo è quanto ho pensato, cosa mi è sfuggito?
Controlla bene. Hai scritto che $ m a= F g $
Si, me ne ero accorto ma non riuscivo a risponderti né a vedere il post. È un rimasuglio del ragionamento iniziale in cui usavo "kg forza" invece dei Newton. Correggo subito
Se ti interessa calcolare la velocità con cui la massa procede dopo aver raggiunto la quota dei due carrelli ti basta applicare la conservazione dell'energia meccanica totale:
$2*F/2*L/2(1-sin (alpha/2))-mg L/2cos (alpha/2)=1/2mv^2$
da cui ricavi $v$
$2*F/2*L/2(1-sin (alpha/2))-mg L/2cos (alpha/2)=1/2mv^2$
da cui ricavi $v$
Così però la soluzione che mi viene in mente è quella di integrare su $d alpha$, visto che $alpha$ è variabile. Mi sembra strano perché ero convinto di dover arrivare ad una cosa tipo
Non vedo altre soluzioni, anche perché applicando la tua con $alpha=180$ che corrisponde alla corda tesa e alla palla che esce dal sistema, verrebbe fuori
(che preso fine a sè stesso avrebbe anche senso in $v=0$, visto che non ci sarebbero componenti delle due metà di F a spingere la palla)
Cosa mi sono perso quindi?
$v=a*t$ e di conseguenza $\int_(t_0)^(t_1) f(t) dt$
Non vedo altre soluzioni, anche perché applicando la tua con $alpha=180$ che corrisponde alla corda tesa e alla palla che esce dal sistema, verrebbe fuori
$(mv^2)/2=0$
(che preso fine a sè stesso avrebbe anche senso in $v=0$, visto che non ci sarebbero componenti delle due metà di F a spingere la palla)
Cosa mi sono perso quindi?
"BluesKid":
...
Cosa mi sono perso quindi?
Che usando l'equazione dell'energia che ho scritto con un $alpha$ iniziale pari a zero non viene quello che dici tu... (quella soluzione già presuppone che l'$alpha$ finale è 180°, l'$alpha$ che appare lì, da sostituire, è quello iniziale).
Quindi all'equazione che mi hai dato basterebbe inserire solo $alpha=0$ (quello iniziale) per ottenere la $V_f$ ?
Perché in questo caso non avrei capito molto
Nel senso del ragionamento s'intende
Perché in questo caso non avrei capito molto
Nel senso del ragionamento s'intende
Esattamente.
Ho semplicemente imposto che il lavoro fatto dalle forze $F/2$ e dalla forza gravitazionale (questo negativo ovviamente) sia pari alla variazione di energia cinetica (inizialmente nulla).
Ho semplicemente imposto che il lavoro fatto dalle forze $F/2$ e dalla forza gravitazionale (questo negativo ovviamente) sia pari alla variazione di energia cinetica (inizialmente nulla).
"BluesKid":
basterebbe inserire solo $alpha=0$ (quello iniziale)
Vedo che insisti sull'$alpha$ iniziale zero...
"mgrau":
[quote="BluesKid"]basterebbe inserire solo $ alpha=0 $ (quello iniziale)
Vedo che insisti sull'$ alpha $ iniziale zero...[/quote]
Perché inizialmente i due estremi della corda coincidono, ed $alpha=0$.
Immagina la corda come due bacchette rigide unite ad un estremo: visto che la corda è in trazione e non elastica, e che stiamo considerando la massa del corpo come puntiforme, il principio è lo stesso.
"Faussone":
Esattamente.
Ho semplicemente imposto che il lavoro fatto dalle forze $F/2$ e dalla forza gravitazionale (questo negativo ovviamente) sia pari alla variazione di energia cinetica (inizialmente nulla).
Ma la gravità è perpendicolare, non parallela. Il piano $xy$ in figura è parallelo al terreno. Ecco perché non riuscivo a capire l'uso del $g$ ^_^
"BluesKid":
[quote="mgrau"][quote="BluesKid"]basterebbe inserire solo $ alpha=0 $ (quello iniziale)
Vedo che insisti sull'$ alpha $ iniziale zero...[/quote]
Perché inizialmente i due estremi della corda coincidono, ed $alpha=0$.
[/quote]
Ah, ok. Ma allora quelli dove passa la corda sono proprio due carrelli... avevi detto di no...
"BluesKid":
Ma la gravità è perpendicolare, non parallela. Il piano $xy$ in figura è parallelo al terreno. Ecco perché non riuscivo a capire l'uso del $g$ ^_^
Allora basta buttare via il termine con $g$, ancora più semplice...
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