Moto accelerato calcolo forza di gravità

[_Matteo_C1]

Ciao ragazzi sono chiuso su questo problema:
Per calcolare l'accelerazione di gravità g si prendono due palle identiche poste a due altezze differenti $\Deltax_1$ la più bassa e $\Deltax_2$ la più alta. Le si lascia cadere nello stesso istante e le due toccano il suolo con una differenza di tempo $T=\Deltat_2-\Deltat_1$. Non si conoscono nè $\Deltat_2$ nè $\Deltat_1$. Scrivere l'equazione per $g$ delle grandezze $T$, $Deltax_2$ e $Deltax_1$.

Io ho pensato:
Le due palle partono nello stesso istante, perciò percorrono in un intervallo $\Deltat_1$ un tratto $\Deltax_1$. Tuttavia mentre dopo di questo la prima palla è gia ferma nel suolo, la seconda deve ancora percorrere un tratto $\Deltax_2 -\Deltax_1$ impiegandoci un intervallo di tempo $T$(fin qui è corretto?). Quindi posso impostare l'equazione, tenendo conto però che a quel punto la palla aveva già una velocità acquisita durante il tratto $\Deltax_1$:
$Deltax_2-Deltax_1 = (gT^2)/2+V_f1T$ (1)

Ora come posso proseguire? Presumo devo eliminare in qualche modo la velocità dall'equazione in modo da avere poi una equazione con le sole variabili $g$,$T$, $Deltax_2$ e $Deltax_1$ giusto? Come posso fare?

[Faussone]

"_Matteo_C":Ciao ragazzi sono chiuso su questo problema:
Per calcolare l'accelerazione di gravità g si prendono due palle identiche poste a due altezze differenti $\Deltax_1$ la più bassa e $\Deltax_2$ la più alta. Le si lascia cadere nello stesso istante e le due toccano il suolo con una differenza di tempo $T=\Deltat_2-\Deltat_1$. Non si conoscono nè $\Deltat_2$ nè $\Deltat_1$. Scrivere l'equazione per $g$ delle grandezze $T$, $Deltax_2$ e $Deltax_1$.

Io ho pensato:
Le due palle partono nello stesso istante, perciò percorrono in un intervallo $\Deltat_1$ un tratto $\Deltax_1$. Tuttavia mentre dopo di questo la prima palla è gia ferma nel suolo, la seconda deve ancora percorrere un tratto $\Deltax_2 -\Deltax_1$ impiegandoci un intervallo di tempo $T$(fin qui è corretto?). Quindi posso impostare l'equazione, tenendo conto però che a quel punto la palla aveva già una velocità acquisita durante il tratto $\Deltax_1$:
$Deltax_2-Deltax_1 = (gT^2)/2+V_f1T$ (1)

Ora come posso proseguire? Presumo devo eliminare in qualche modo la velocità dall'equazione in modo da avere poi una equazione con le sole variabili $g$,$T$, $Deltax_2$ e $Deltax_1$ giusto? Come posso fare?

Io procederei così (non ti metto le equazioni però, prova a completarlo da te).

Scrivo l'equazione che lega lo spazio percorso, l'accelerazione di gravità e il tempo impiegato per la prima pallina;
scrivo la medesima equazione per la seconda pallina.
So che il tempo impiegato dalla seconda pallina è ($\Delta t_1 + T $) quindi elimino $Delta t_2$ dalla seconda equazione.
Ho un sistema di due equazioni nelle incognite $g$ e $\Delta t_1$ che posso risolvere e ricavare pertanto $g$.

[_Matteo_C1]

Ciao Faussone! ho provato a fare come dici, però alla fine mi viene un'equazione nella quale non riesco ad esplicitare la $g$, ossia:
$\{(\Deltax_1=(g\Deltat_1^2)/2),(\Deltax_2=(g\Deltat_2^2)/2):}$

$\Deltat_2=\Deltat_1+T$

$\{(larr),(\Deltax_2=(g(\Deltat_1+T)^2)/(2)=(g\Deltat_1^2)/2+(gT^2)/2+g\Deltat_1T):}$

$\{(\Deltat_1=sqrt((2\Deltax_1)/g)),(\Deltax_2=\Deltax_1+(gT^2)/2 +gTsqrt((2\Deltax_1)/(g))):}$

$\{(larr),(\Deltax_2=\Deltax_1+(gT^2)/2 +gTsqrt((2\Deltax_1)/(g))):}$

Ora dunque dovrei elevare alla seconda sia a sinistra che a destra, lasciando da sola la radice quadrata così da eliminarla.

$[\Deltax_2-\Deltax_1 -(gT^2)/2]^2=[gTsqrt((2\Deltax_1)/2)]^2$

$\Deltax_2^2+\Deltax_1^2-2\Deltax_1\Deltax_2 +(g^2T^4)/4 -gT^2\Deltax_2+gT^2\Deltax_1=+2gT^2\Deltax_1$

Ora come faccio a esplicitare la $g$?
Ho provato in diversi modi ma non ci riesco..
Non c'è un modo più veloce per risolvere il problema, magari solo col ragionamento?

[MaMo2]

Quella che hai ricavato è una equazione di secondo grado che devi risolvere rispetto a g.
Ti consiglio però, invece di quadrare entrambi i membri, di fare la sostituzione $sqrt(g) = z$ e risolvere l'equazione ottenuta.

[_Matteo_C1]

Grazie MaMo non ci avevo pensato
Il problema l'ho tratto dal libro Light and Matter (di Benjamin Crowell,ed è online gratis), ho controllato il risultato ed è giusto. Tuttavia ho ancora un dubbio: essendo un'equazione di secondo grado in g, mi vengono due risultati:

$g=2(\Deltax_1+\Deltax_2+-2sqrt(\Deltax_1\Deltax_2))/T^2$
Perchè è corretto solamente questo:
$g=2(\Deltax_1+\Deltax_2-2sqrt(\Deltax_1\Deltax_2))/T^2$?

[MaMo2]

Perchè, prima di elevare al quadrato, devi porre la condizione $Deltax_2-Deltax_1-(gT^2)/2>0$.

[_Matteo_C1]

Grazie MaMo,ma io non ho più elevato tutto alla seconda in quel passaggio, come da te suggerito, ho invece elevato alla seconda nel momento in cui ho rimesso $g$ al suo posto, cioè dopo aver trovato le soluzioni di $z$.
Ossia:
$z=(-sqrt(2\Deltax_1)+-sqrt(2\Deltax_2))/T$
$z=sqrtg$
Quindi:
$sqrt(g)=(-sqrt(2\Deltax_1)+-sqrt(2\Deltax_2))/T$
Ed ora elevo:
$g=[(-sqrt(2\Deltax_1)+-sqrt(2\Deltax_2))/T]^2$
ecco le soluzioni:
$g_1=[(-sqrt(2\Deltax_1)+sqrt(2\Deltax_2))/T]^2$
$g_2=[(-sqrt(2\Deltax_1)-sqrt(2\Deltax_2))/T]^2$

Ora come mai una è corretta e l'altra no?
Dai che forse ce la facciamo a risolverlo (anzi, a farmelo capire!!)

[MaMo2]

"_Matteo_C":...
Quindi:
$sqrt(g)=(-sqrt(2\Deltax_1)+-sqrt(2\Deltax_2))/T$
...
Dai che forse ce la facciamo a risolverlo (anzi, a farmelo capire!!)

A questo punto devi escludere la soluzione negativa!

[_Matteo_C1]

Hai ragione che sbadato...!! Grazie MaMo mi hai aiutato