Moti rotazionali
Ciao, amici!
Stavo cercando di risolvere due esercizi su moti rotazionali, ma i risultati che trovo non coincidono con quelli che fornisce il mio libro...
a) Il primo riguarda una sfera piena omogenea che rotola senza slittare su un piano orizzontale ad una velocità di traslazione (uguale a quella tangenziale, quindi, direi) $v_i$=4.50 m/s e quindi sale su una rampa che forma un angolo $\theta=25.0°$ con l'orizzontale, di cui bisogna calcolare la velocità dopo che ha percorso 3.00 m=d sulla rampa.
Non mi sembrerebbe difficile applicare il principio di conservazione dell'energia per cui direi che, essendo l'energia cinetica della sfera piena
$K=1/2mv^2+1/2I\omega^2=1/2mv^2+1/2·2/5mr^2(v/r)^2=7/10mv^2$
si ha che
$E_i=K_i= 7/10mv_i^2=E_f=K_f+U_f=7/10mv_f^2+mgh=7/10mv_f^2+mgdsin\theta$
quindi direi che
$v_f=sqrt(v_i^2-10/7gdsin\theta)~=sqrt((4.50m/s)^2-10/7·9.81m/s^2·3.00m·sin25.0°)~=1.58m/s$
Mentre il libro dà come risultato 3.79 m/s...
b) Il secondo riguarda una matita che si inclina cadendo sul tavolo, ma rimanendo ferma sul punto di appoggio, di cui bisogna calcolare la velocità angolare quando arriva a $\theta=30°$ dalla verticale, considerandola idealmente un'asta uniforme ai fini del calcolo del momento d'inerzia.
Anche qua, tenendo conto della conservazione dell'energia e trascurando l'attrito, direi che, dato che il centro di massa è a L/2:
$U_i=mgL/2=U_f+K_f= mg L/2cos\theta+1/2mv^2+1/2I\omega^2=mg L/2cos\theta+1/2m(\omegaL/2)^2+1/2·1/12mL^2\omega^2$
e quindi mi pare che $\omega=((3g(1-cos\theta))/L)^(1/2)$. Il libro fornisce come risultato 4.09 rad/s senza lasciare nulla di incognito, che direi che potrebbe funzionare con una stima della lunghezza della matita $\hat L=0.236 m$, neanche inverosimile...
Che cosa ne pensate?
Ciao a tutti e grazie di cuore!
Davide
Stavo cercando di risolvere due esercizi su moti rotazionali, ma i risultati che trovo non coincidono con quelli che fornisce il mio libro...
a) Il primo riguarda una sfera piena omogenea che rotola senza slittare su un piano orizzontale ad una velocità di traslazione (uguale a quella tangenziale, quindi, direi) $v_i$=4.50 m/s e quindi sale su una rampa che forma un angolo $\theta=25.0°$ con l'orizzontale, di cui bisogna calcolare la velocità dopo che ha percorso 3.00 m=d sulla rampa.
Non mi sembrerebbe difficile applicare il principio di conservazione dell'energia per cui direi che, essendo l'energia cinetica della sfera piena
$K=1/2mv^2+1/2I\omega^2=1/2mv^2+1/2·2/5mr^2(v/r)^2=7/10mv^2$
si ha che
$E_i=K_i= 7/10mv_i^2=E_f=K_f+U_f=7/10mv_f^2+mgh=7/10mv_f^2+mgdsin\theta$
quindi direi che
$v_f=sqrt(v_i^2-10/7gdsin\theta)~=sqrt((4.50m/s)^2-10/7·9.81m/s^2·3.00m·sin25.0°)~=1.58m/s$
Mentre il libro dà come risultato 3.79 m/s...
b) Il secondo riguarda una matita che si inclina cadendo sul tavolo, ma rimanendo ferma sul punto di appoggio, di cui bisogna calcolare la velocità angolare quando arriva a $\theta=30°$ dalla verticale, considerandola idealmente un'asta uniforme ai fini del calcolo del momento d'inerzia.
Anche qua, tenendo conto della conservazione dell'energia e trascurando l'attrito, direi che, dato che il centro di massa è a L/2:
$U_i=mgL/2=U_f+K_f= mg L/2cos\theta+1/2mv^2+1/2I\omega^2=mg L/2cos\theta+1/2m(\omegaL/2)^2+1/2·1/12mL^2\omega^2$
e quindi mi pare che $\omega=((3g(1-cos\theta))/L)^(1/2)$. Il libro fornisce come risultato 4.09 rad/s senza lasciare nulla di incognito, che direi che potrebbe funzionare con una stima della lunghezza della matita $\hat L=0.236 m$, neanche inverosimile...
Che cosa ne pensate?
Ciao a tutti e grazie di cuore!
Davide
Risposte
Per la parte b credo di aver sbagliato a considerare il momento d'inerzia perché $1/12ML^2$ è quello di un'asta ideale che ruoti attorno al proprio centro di massa, mentre qua mi sembra più appropriato considerate la matita un'asta ideale che ruoti intorno ad un estremo, quindi di $I=1/3ML^2$, per cui si avrebbe, direi
$\omega=(g(1-cos\theta)/(7/12L))^(1/2)$, che funzionerebbe con un $\hat L=0.135 m$, più appropriato, direi, per la lunghezza di una matita...
$\omega=(g(1-cos\theta)/(7/12L))^(1/2)$, che funzionerebbe con un $\hat L=0.135 m$, più appropriato, direi, per la lunghezza di una matita...
Il primo problema mi pare corretto, ed il risultato che ottieni mi sembra corretto il tuo, piuttosto che quello riportato.
Per il secondo il risultato è:
$omega=sqrt(3g(1-cos theta)/(L)$
Nota che o scrivi l'energia cinetica come $1/2 I omega^2$ con $I$ calcolato rispetto all'asse di rotazione, oppure come $1/2I_c omega^2 + 1/2 m v_c^2$ cioè l'energia cinetica del centro di massa più quella osservata dal centro di massa, con $I_c$ rispetto al centro di massa. Il risultato è lo stesso ovviamente.
Per il secondo il risultato è:
$omega=sqrt(3g(1-cos theta)/(L)$
Nota che o scrivi l'energia cinetica come $1/2 I omega^2$ con $I$ calcolato rispetto all'asse di rotazione, oppure come $1/2I_c omega^2 + 1/2 m v_c^2$ cioè l'energia cinetica del centro di massa più quella osservata dal centro di massa, con $I_c$ rispetto al centro di massa. Il risultato è lo stesso ovviamente.
Grazie $+oo$!!! Direi che avevo calcolato giusto all'inizio, allora, considerando la rotazione dal punto di vista del centro di massa, poi. rivedendo e considerando la stima della lunghezza della matita eccessiva, ho pasticciato tutto...
Grazie ancora!!!
Grazie ancora!!!
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