Moti relativi e Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Buongiorno a tutti, sono nuovo di qui e mi son iscritto per confrontarmi su questioni fisiche/matematiche che vorrei capire meglio. Detto questo vorrei chiedere subito un parere in merito all'impostazione di un problema di fisica. Si consideri un punto in movimento con velocità costante \( v_p \) lungo una certa direzione e verso in uno spazio tridimensionale riempito di un gas ideale. Se volessi sapere qual'è la velocità quadratica media delle particelle che si allontanano dal punto in questione (quindi le particelle che hanno stessa direzione e verso del punto e velocità superiore a \(v_p\) ), è corretto impostare il seguente integrale:
\( \langle v^2 \rangle = \frac {1}{2}\ \int_{v_p} ^\infty (v-v_p)^2 f(v)\ \text{d}v \)
dove \( f(v) \) è la funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann per un sistema tridimensionale?
Ringrazio anticipatamente.
\( \langle v^2 \rangle = \frac {1}{2}\ \int_{v_p} ^\infty (v-v_p)^2 f(v)\ \text{d}v \)
dove \( f(v) \) è la funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann per un sistema tridimensionale?
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
A parte il fattore $1/2$, quella che hai scritto è il valore atteso della quantità $(v-v_p)^2$ delle particelle con velocità $v$ maggiore di $v_p$ .
Grazie MisterK, per la risposta! Mi hai fatto notare un paio di cose in merito all'enunciato. Quello che sto cercando, e non ho specificato nella premessa, è la velocità quadratica media "relativa" (al punto in movimento) del gas che si allontana dal punto in moto. In più, sul termine a sinistra, avrei dovuto mettere un pedice sulla "v" (altrimenti sembra la classica velocità quadratica media). Per quanto riguarda il fattore \( \frac{1}{2}\ \) l'ho aggiunto perché presumo che solo metà delle particelle con velocità maggiori di \( v_p\) si stiano allontanando dal punto, mentre l'altra metà lo sta "inseguendo".
Detto questo mi piacerebbe capire se ha senso quel che ho scritto. La distribuzione di Maxwell-Boltzmann mi intriga ma penso sia anche abbastanza delicata da gestire e vorrei capirne di più.
Detto questo mi piacerebbe capire se ha senso quel che ho scritto. La distribuzione di Maxwell-Boltzmann mi intriga ma penso sia anche abbastanza delicata da gestire e vorrei capirne di più.
Sì, ha senso. Qui sotto trovi delle dispense ben fatte sulla distribuzione.
http://www2.mater.unimib.it/utenti/montalenti/pdf/struttura.pdf
http://www2.mater.unimib.it/utenti/montalenti/pdf/struttura.pdf
Grazie MisterK, per la conferma e le dispense! Me le guarderò con calma.
Buongiorno, dato che in questo forum ho trovato persone cortesi e preparate che mi han dato dei riscontri, vorrei osare di più esponendo una delle questioni fisiche che vorrei approfondire. Tutto ciò a distanza di tempo per motivi di tempo che ahimè, sempre meno, ho a disposizione. Il mio obiettivo è calcolare la velocità risultante (media e quadratica media) relativa di una particella (o punto immaginario) p che viaggia con una velocità $\vec v_0$ lungo una certa direzione all'interno di un gas ideale (per semplicità costituito da particelle con la stessa massa m).
La mia idea è di scomporre il problema per le particelle con "verso concorde" e quelle con "verso discorde" che possono interagire con p. Quelle con "verso concorde" sono le particelle "dietro" a p, abbastanza veloci lungo la componente delle direzione di p, per poterla raggiungere e per simmetria le "discordi" sono quelle abbastanza lente da poter essere raggiunte da p lungo la stessa direzione.
Poniamo che p si muova lungo x e pongo $\alpha$ e $\beta$ come gli angoli per individuare le altre direzioni delle particelle del gas, imposto:
v($\alpha$, $\beta$) = $\frac{v_0} {cos(\alpha)cos(\beta)}$
come la velocità minima per la quale vi possa essere interazione con p. Considero quindi le probabilità discordi e concordi per una data direzione come:
$P_d(\alpha, \beta)=1/2 \int_{-v(\alpha, \beta)}^{oo} f(v) dv $
$P_c(\alpha, \beta)=1/2 \int_{v(\alpha, \beta)}^{oo} f(v) dv $
dove $\f(v)$ è la distribuzione di Maxwell-Boltzmann.
Questo per quanto riguarda le probabilità per ogni specifica direzione. A questo punto considero le velocità da pesare divise sempre per discordi e concordi come:
$v_d(\alpha, \beta)= cos(\alpha)cos(\beta) \int_{v(\alpha, \beta)}^{oo} (v-v(\alpha, \beta)) v^2 f(v) dv $
$v_c(\alpha, \beta)= cos(\alpha)cos(\beta) \int_{-v(\alpha, \beta)}^{oo} (v-v(\alpha, \beta)) v^2 f(v) dv $
Detto ciò la velocità risultante in questo punto p in movimento dovrebbe essere data dalla soluzione del seguente integrale doppio:
$V_r= 4 \int_0^{\pi/2} int_0^{\pi/2} P_c(\alpha, \beta) v_c (\alpha, \beta) - P_d (\alpha, \beta) v_d (\alpha, \beta) d\alpha d\beta$
è da qualche tempo che non ho più seguito questo problema e scrivendo questo messaggio non ho riguardato gli appunti e riesaminato tutto con calma, quindi, al di là del fatto che potrebbe essere sbagliato tutto dal principio, mi aspetto che almeno qualche cosa sia comunque errata. Ho tentato di calcolare l'integrale scrivendo qualche programma in Octave senza ottenere esiti convincenti. Magari ci sono metodi meno complicati per ottenere il risultato e già confezionati. La speranza mia è di avere un qualche tipo di confronto con qualcuno su questo forum, ringrazio quindi chiunque volesse ragionare su questo problema.
La mia idea è di scomporre il problema per le particelle con "verso concorde" e quelle con "verso discorde" che possono interagire con p. Quelle con "verso concorde" sono le particelle "dietro" a p, abbastanza veloci lungo la componente delle direzione di p, per poterla raggiungere e per simmetria le "discordi" sono quelle abbastanza lente da poter essere raggiunte da p lungo la stessa direzione.
Poniamo che p si muova lungo x e pongo $\alpha$ e $\beta$ come gli angoli per individuare le altre direzioni delle particelle del gas, imposto:
v($\alpha$, $\beta$) = $\frac{v_0} {cos(\alpha)cos(\beta)}$
come la velocità minima per la quale vi possa essere interazione con p. Considero quindi le probabilità discordi e concordi per una data direzione come:
$P_d(\alpha, \beta)=1/2 \int_{-v(\alpha, \beta)}^{oo} f(v) dv $
$P_c(\alpha, \beta)=1/2 \int_{v(\alpha, \beta)}^{oo} f(v) dv $
dove $\f(v)$ è la distribuzione di Maxwell-Boltzmann.
Questo per quanto riguarda le probabilità per ogni specifica direzione. A questo punto considero le velocità da pesare divise sempre per discordi e concordi come:
$v_d(\alpha, \beta)= cos(\alpha)cos(\beta) \int_{v(\alpha, \beta)}^{oo} (v-v(\alpha, \beta)) v^2 f(v) dv $
$v_c(\alpha, \beta)= cos(\alpha)cos(\beta) \int_{-v(\alpha, \beta)}^{oo} (v-v(\alpha, \beta)) v^2 f(v) dv $
Detto ciò la velocità risultante in questo punto p in movimento dovrebbe essere data dalla soluzione del seguente integrale doppio:
$V_r= 4 \int_0^{\pi/2} int_0^{\pi/2} P_c(\alpha, \beta) v_c (\alpha, \beta) - P_d (\alpha, \beta) v_d (\alpha, \beta) d\alpha d\beta$
è da qualche tempo che non ho più seguito questo problema e scrivendo questo messaggio non ho riguardato gli appunti e riesaminato tutto con calma, quindi, al di là del fatto che potrebbe essere sbagliato tutto dal principio, mi aspetto che almeno qualche cosa sia comunque errata. Ho tentato di calcolare l'integrale scrivendo qualche programma in Octave senza ottenere esiti convincenti. Magari ci sono metodi meno complicati per ottenere il risultato e già confezionati. La speranza mia è di avere un qualche tipo di confronto con qualcuno su questo forum, ringrazio quindi chiunque volesse ragionare su questo problema.
mmm... forse ci sono dei termini \( v^2 \) di troppo... A parte questo, nessuno ha qualche osservazione?
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