Moti centrali

[marcodemarchi96]

ciao a tutti , trattando i moti centrali si arriva appunto in cui viene dimostrato che sia l'energia che il momento della quantità di moto sono conservativi secondo le seguenti uguaglianze :
$ E=1/2mv^2+1/2kr^2=1/2m(rcos(wt)+v/wsin(wt))^2+1/2k(-rwsin(wt)+vcos(wt))^2 $
sviluppando i calcoli dovrei ottenere nuovamente
$ 1/2mv^2+1/2kr^2 $
allo stesso modo per la quantità di moto:
$ L = m(r cosωt + v/w sinωt)×(−rωsinωt +v cosωt) = mr ×v $
ma i calcoli a me non tornano qualcuno riesce ad aiutarmi ?

[Studente Anonimo]

Se stai trattando l'oscillatore armonico in tre dimensioni, per quanto riguarda il vettore posizione:

$vecr(t)=vecr_0cos\omegat+vecv_0/\omegasin\omegat$

e per quanto riguarda il vettore velocità:

$vecv(t)=-\omegavecr_0sin\omegat+vecv_0cos\omegat$

essendo $[vecr(0)=vecr_0]$ la posizione iniziale e $[vecv(0)=vecv_0]$ la velocità iniziale. Quindi:

$r^2=(vecr_0cos\omegat+vecv_0/\omegasin\omegat)*(vecr_0cos\omegat+vecv_0/\omegasin\omegat)$

$v^2=(-\omegavecr_0sin\omegat+vecv_0cos\omegat)*(-\omegavecr_0sin\omegat+vecv_0cos\omegat)$

Se svolgi correttamente quei due prodotti scalari e sostituisci in $[E=1/2mv^2+1/2m\omega^2r^2]$ dovresti ottenere $[1/2mv_0^2+1/2m\omega^2r_0^2]$.

[marcodemarchi96]

grazie , ma il mio problema sta proprio nello svolgere i calcoli

[Studente Anonimo]

Poiché:

$r^2=(vecr_0cos\omegat+vecv_0/\omegasin\omegat)*(vecr_0cos\omegat+vecv_0/\omegasin\omegat)=$

$=[vecr_0*vecr_0]cos^2\omegat+[vecr_0*vecv_0](2cos\omegatsin\omegat)/\omega+[vecv_0*vecv_0](sin^2\omegat)/\omega^2=$

$=r_0^2cos^2\omegat+[vecr_0*vecv_0](2cos\omegatsin\omegat)/\omega+v_0^2(sin^2\omegat)/\omega^2$

l'energia potenziale vale:

$[E_p=1/2m\omega^2r^2] rarr [E_p=1/2m\omega^2r_0^2cos^2\omegat+[vecr_0*vecv_0]m\omegacos\omegatsin\omegat+1/2mv_0^2sin^2\omegat]$

Poiché:

$v^2=(-\omegavecr_0sin\omegat+vecv_0cos\omegat)*(-\omegavecr_0sin\omegat+vecv_0cos\omegat)=$

$=[vecr_0*vecr_0]\omega^2sin^2\omegat-[vecr_0*vecv_0]2\omegacos\omegatsin\omegat+[vecv_0*vecv_0]cos^2\omegat=$

$=r_0^2\omega^2sin^2\omegat-[vecr_0*vecv_0]2\omegacos\omegatsin\omegat+v_0^2cos^2\omegat$

l'energia cinetica vale:

$[E_c=1/2mv^2] rarr [E_c=1/2m\omega^2r_0^2sin^2\omegat-[vecr_0*vecv_0]m\omegacos\omegatsin\omegat+1/2mv_0^2cos^2\omegat]$

Ergo:

$[E=1/2mv^2+1/2m\omega^2r^2] rarr [E=1/2mv_0^2+1/2m\omega^2r_0^2]$

"dema96":
...allo stesso modo per la quantità di moto...

Premesso che si tratta del "momento della quantità di moto" o "momento angolare", dovrebbe essere ancora più semplice, a patto di scriverlo correttamente:

$vecL=(vecr_0cos\omegat+vecv_0/\omegasin\omegat)×(-m\omegavecr_0sin\omegat+mvecv_0cos\omegat)$

e ricordando che:

$[vecr_0×vecr_0=0] ^^ [vecv_0×vecv_0=0] ^^ [vecr_0×vecv_0=-vecv_0×vecr_0]$

[marcodemarchi96]

per il momento della quantità di moto :
$ L = m(r cosωt + v/w sinωt)×(−rωsinωt +v cosωt) = mr ×v $

$ -mr^2wcoswtsinwt+mrvcos^2wt-vrsin^2wt+v^2/wsinwtcoswt $
Da qui come mi riconduco alla formula ?

[Studente Anonimo]

Veramente:

$vecL=(vecr_0cos\omegat+vecv_0/\omegasin\omegat)×(-m\omegavecr_0sin\omegat+mvecv_0cos\omegat)$

Insomma, non puoi procedere senza utilizzare il formalismo corretto, $vecr_0$ e $vecv_0$ sono grandezze vettoriali. Sembra che tu non conosca il concetto di prodotto vettoriale. Sei sicuro di avere le conoscenze basilari per svolgere un esercizio come questo?

[marcodemarchi96]

Conosco il formalismo corretto solo che ci metto una vita a scriverlo nel sito

[Studente Anonimo]

Ok. In conclusione:

$vecL=(vecr_0cos\omegat+vecv_0/\omegasin\omegat)×(-m\omegavecr_0sin\omegat+mvecv_0cos\omegat)$

$vecL=-[vecr_0×vecr_0]m\omegacos\omegatsin\omegat+[vecr_0×vecv_0]mcos^2\omegat-[vecv_0×vecr_0]msin^2\omegat+[vecv_0×vecv_0]m/\omegacos\omegatsin\omegat$

$vecL=[vecr_0×vecv_0]mcos^2\omegat+[vecr_0×vecv_0]msin^2\omegat$

$vecL=[vecr_0×mvecv_0]$

valendo:

$[vecr_0×vecr_0=0] ^^ [vecv_0×vecv_0=0] ^^ [vecr_0×vecv_0=-vecv_0×vecr_0]$