Momento trasferito istantaneamente.
Ciao a tutti.
Vi riporto il testo di un problema che mi affligge da qualche giorno...
E' qualche giorno che ci penso ma la risposta continua a sfuggirmi. I primi due punti sono fortemente collegati. L'unica cosa è che non so come fare a ottenere due equazioni per risolvere. Per la prima parte ho pensato di ragionare così. Se calcolo il momento angolare rispetto ad un punto questo sarà dato dalla somma del momento angolare del centro di massa più il momento angolare della sbarra. Se metto la sbarretta sull'asse [tex]x[/tex] da [tex]0[/tex] a [tex]L[/tex] e penso l'impulso applicato in [tex]x=L[/tex] ho che il momento angolare rispetto all'origine vale (scrivo solo la componente non nulla)
[tex]P L = I \omega + M v_{cm} \frac{L}{2}[/tex]
dove [tex]\omega, I[/tex] sono rispettivamente la velocità angolare e il momento di inerzia rispetto al centro di massa e [tex]v_{cm}[/tex] è la velocità del centro di massa parallela a P (questa assunzione mi sembra ragionevole anche se non trovo il modo di giustificarla). Ora mi serve un'altra equazione...pensavo di ragionare sull'energia ma non riesco a capire quanta sia l'energia trasferita dalla percussione. Posso dire che vale semplicemente
[tex]E = \frac{P^2}{2M}= \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{cm}^2[/tex]
??
Grazie in anticipo...
Vi riporto il testo di un problema che mi affligge da qualche giorno...
Una segmento omogenea di massa M e lunghezza L è in quiete su un piano orizzontale liscio. Su un estremo della sbarretta è applicata una forza istantanea con impulso di modulo P perpendicolarmente al segmento e parallelamente al piano. Determinare all'istante immediatamente successivo alla percussione:
1) la velocità del centro di massa;
2) la velocità angolare della sbarretta;
3) la distanza dal centro di massa del centro istantaneo di rotazione.
E' qualche giorno che ci penso ma la risposta continua a sfuggirmi. I primi due punti sono fortemente collegati. L'unica cosa è che non so come fare a ottenere due equazioni per risolvere. Per la prima parte ho pensato di ragionare così. Se calcolo il momento angolare rispetto ad un punto questo sarà dato dalla somma del momento angolare del centro di massa più il momento angolare della sbarra. Se metto la sbarretta sull'asse [tex]x[/tex] da [tex]0[/tex] a [tex]L[/tex] e penso l'impulso applicato in [tex]x=L[/tex] ho che il momento angolare rispetto all'origine vale (scrivo solo la componente non nulla)
[tex]P L = I \omega + M v_{cm} \frac{L}{2}[/tex]
dove [tex]\omega, I[/tex] sono rispettivamente la velocità angolare e il momento di inerzia rispetto al centro di massa e [tex]v_{cm}[/tex] è la velocità del centro di massa parallela a P (questa assunzione mi sembra ragionevole anche se non trovo il modo di giustificarla). Ora mi serve un'altra equazione...pensavo di ragionare sull'energia ma non riesco a capire quanta sia l'energia trasferita dalla percussione. Posso dire che vale semplicemente
[tex]E = \frac{P^2}{2M}= \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{cm}^2[/tex]
??
Grazie in anticipo...
Risposte
Beh mi sembra piuttosto semplice.
Prendi le due equazioni cardinali.
LA prima ti dice $F_(EXT)=(dQ_(CM))/(dt)$, da cui integrando entrambi i membri rispetto al tempo ottieni il teorema dell'impulso per il centro di massa: $P= DeltaQ$. Quindi la velocità del tuo centro di massa, poichè v, e quindi P, all'inizio son 0, è data da $P=Q=mv_(CM)$, diretta quindi lungo l'impulso lungo la y, visto che è una relazione vettoriale...
Analogamente scrivi la 2a equazione cardinale nel CM ...prova
Prendi le due equazioni cardinali.
LA prima ti dice $F_(EXT)=(dQ_(CM))/(dt)$, da cui integrando entrambi i membri rispetto al tempo ottieni il teorema dell'impulso per il centro di massa: $P= DeltaQ$. Quindi la velocità del tuo centro di massa, poichè v, e quindi P, all'inizio son 0, è data da $P=Q=mv_(CM)$, diretta quindi lungo l'impulso lungo la y, visto che è una relazione vettoriale...
Analogamente scrivi la 2a equazione cardinale nel CM ...prova
Nel centro di massa l'equazione per le rotazioni sarebbe
[tex]\vec{M} = I \dot {\vec{\omega}}[/tex]
integrando
[tex]\int \vec{M} dt = \int \vec{r} \times \vec{F} dt = \frac{L}{2} \hat x \times (\int F dt )\hat y = \frac{PL}{2} \hat{z}[/tex]
e
[tex]\int I \dot {\vec{\omega}} dt = I \omega \hat{z}[/tex]
dunque
[tex]\omega = \frac{PL}{2I} = \frac{6 P}{M L}[/tex]
perchè
[tex]I = \frac{ML^2}{12}[/tex]
Così torna, anche i risultati numerici sono più ragionevoli che con il mio metodo. Ma inizialmente l'avevo scartato perchè mi sembrava troppo facile per essere vero...... Rimango comunque perplesso. Se volessi ragionare in termini di energia come potrei fare? Nel senso che non capisco come calcolare l'energia totale trasferita dalla forza istantanea e quindi vedere che si distribuisce sui due gradi di libertà...hai qualche idea?
E per il terzo punto? Su questo proprio buio totale...
[tex]\vec{M} = I \dot {\vec{\omega}}[/tex]
integrando
[tex]\int \vec{M} dt = \int \vec{r} \times \vec{F} dt = \frac{L}{2} \hat x \times (\int F dt )\hat y = \frac{PL}{2} \hat{z}[/tex]
e
[tex]\int I \dot {\vec{\omega}} dt = I \omega \hat{z}[/tex]
dunque
[tex]\omega = \frac{PL}{2I} = \frac{6 P}{M L}[/tex]
perchè
[tex]I = \frac{ML^2}{12}[/tex]
Così torna, anche i risultati numerici sono più ragionevoli che con il mio metodo. Ma inizialmente l'avevo scartato perchè mi sembrava troppo facile per essere vero...... Rimango comunque perplesso. Se volessi ragionare in termini di energia come potrei fare? Nel senso che non capisco come calcolare l'energia totale trasferita dalla forza istantanea e quindi vedere che si distribuisce sui due gradi di libertà...hai qualche idea?
E per il terzo punto? Su questo proprio buio totale...
MAanon è questione di troppo facile, la meccanica newtoniana è sempre quella di Fisica1 
Per quanto riguarda l'energia ti è difficile fare il conto usando quella, perchè dovresti conoscere F e calcoalre la variazione di energia cinetica come lavoro di questa...Un metodo potrebbe essere, visto che la forza è impulsiva, considerare la durata dell'urto come un infinitesimo dt, da cui e quindi la variazione dell'energia cinetica è data dal lavoro $overlineF*doverlines=overlineF*(doverlines)/(dt)dt$ per la regola di derivazione di funzioni composte, e quindi $=overlineFdt* (doverlines)/dt= P*v$, dove v qua è la velocità dell'estremo...ma non so se davvero questo ti porti a n qualche risultato, mi sembra he sto dicendo fesserie. In ogni caso è una complicazione inutile, la meccanica dei sistemi di punti e del corpo rigido ha come basi le equazioni cardinali.
L'ultimo punto mi sembra una domanda un po' strana, il centro di rotazione dipende dal sistema di riferimento, un po' come una ruota che gira se ti metti solidalmente al terreno allora la vedi ruotare ogni istante sul punto di contatto, se ti metti solidalmente al centro di massa della ruota il centro di rotazione è il centro di massa stesso...
Per quanto riguarda l'energia ti è difficile fare il conto usando quella, perchè dovresti conoscere F e calcoalre la variazione di energia cinetica come lavoro di questa...Un metodo potrebbe essere, visto che la forza è impulsiva, considerare la durata dell'urto come un infinitesimo dt, da cui e quindi la variazione dell'energia cinetica è data dal lavoro $overlineF*doverlines=overlineF*(doverlines)/(dt)dt$ per la regola di derivazione di funzioni composte, e quindi $=overlineFdt* (doverlines)/dt= P*v$, dove v qua è la velocità dell'estremo...ma non so se davvero questo ti porti a n qualche risultato, mi sembra he sto dicendo fesserie. In ogni caso è una complicazione inutile, la meccanica dei sistemi di punti e del corpo rigido ha come basi le equazioni cardinali.L'ultimo punto mi sembra una domanda un po' strana, il centro di rotazione dipende dal sistema di riferimento, un po' come una ruota che gira se ti metti solidalmente al terreno allora la vedi ruotare ogni istante sul punto di contatto, se ti metti solidalmente al centro di massa della ruota il centro di rotazione è il centro di massa stesso...
Piccola domandina..se la forza anzichè essere impulsiva fosse costante, come si risolverebbe il problema?
Bisognerebbe capire come agisce la forza...è sempre perpendicolare alla sbarretta o sempre lungo y...cambia a seconda dei casi.
Intendevo se fosse diretta sempre lungo y..ma ho svolto qualche calcolo e credo di aver risolto entrambi i casi, grazie 
Bè se fosse diretta sempre lungo y non credo che ci sia soluzione esprimibile in forma chiusa visto che ci riconduce ad un problema tipo pendolo visto che il momento della forza viene a dipendere dal seno dell'angolo di rotazione, però il centro di massa procede di moto uniformemente accelerato. Nell'altro caso non saprei così a occhio viene un delirio...
X il primo si, ho pensato alla stessa cosa..il secondo sto provando a utilizzare le equazioni di lagrange, e almeno l'impostazione sembra difficile ma non impossibile..però x ora ho messo il cervello in pausa, dopo 6 ore di università mi sembra giusto 
continuerò domani e nel caso ti farò sapere 
continuerò domani e nel caso ti farò sapere
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