Momento risultante e momento della risultante
Salve a tutti! Sono nuovo in questo forum quindi spero di operare in maniera corretta.
Nel studiare meccanica razionale, in particolare il capitolo sulla teoria dei momenti di vettori, mi è sorto il seguente dubbio:
Il momento risultante di un sistema di vettori è uguale al momento del risultante di tale sistema?
Cioè: se ho n vettori so per certo che se voglio calcolare il momento risultante di tale sistema di vettori rispetto ad un punto O (polo) devo fare la somma dei momenti dei singoli vettori rispetto ad O. Il punto é: ciò equivale a calcolare il risultante del sistema e poi fare il momento di tale vettore risultante rispetto ad O?
Intuitivamente mi verrebbe da dire di sì ma se poi penso al caso di coppia dei vettori questo non mi torna: il momento risultante è braccio moltiplicato vettore ma essendo il risultante zero poi il momento del risultante viene nullo...
Spero di essere stato chiaro,
Grazie in anticipo a chi risponderà
Andrew
Nel studiare meccanica razionale, in particolare il capitolo sulla teoria dei momenti di vettori, mi è sorto il seguente dubbio:
Il momento risultante di un sistema di vettori è uguale al momento del risultante di tale sistema?
Cioè: se ho n vettori so per certo che se voglio calcolare il momento risultante di tale sistema di vettori rispetto ad un punto O (polo) devo fare la somma dei momenti dei singoli vettori rispetto ad O. Il punto é: ciò equivale a calcolare il risultante del sistema e poi fare il momento di tale vettore risultante rispetto ad O?
Intuitivamente mi verrebbe da dire di sì ma se poi penso al caso di coppia dei vettori questo non mi torna: il momento risultante è braccio moltiplicato vettore ma essendo il risultante zero poi il momento del risultante viene nullo...
Spero di essere stato chiaro,
Grazie in anticipo a chi risponderà
Andrew
Risposte
"AndrewX":
Il momento risultante di un sistema di vettori è uguale al momento del risultante di tale sistema?
Sì, però quando calcoli il risultante di un insieme di forze devi anche applicarlo sulla retta giusta.
Il caso di una coppia di forze è un caso particolare, con risultante zero e retta di applicazione all'infinito (per così dire).
Pensa a due forze con direzioni opposte, e "quasi" uguali: più i moduli si avvicinano, più la retta di applicazione si allontana.
Grazie! Per “retta giusta” intendi l’asse centrale, vero?
Che cos'è l'asse centrale?
Da quanto emerge dal libro è L’asse rispetto al quale il momento del sistema di vettori ha modulo minimo.
Altrimenti come faccio ad individuare la “retta giusta”? È semplicemente data dal calcolo vettoriale del vettore risultante?
Altrimenti come faccio ad individuare la “retta giusta”? È semplicemente data dal calcolo vettoriale del vettore risultante?
"AndrewX":
Da quanto emerge dal libro è L’asse rispetto al quale il momento del sistema di vettori ha modulo minimo.
Non ricordo di aver studiato una cosa del genere. Ma immagino che ti avranno fornito anche un procedimento costruttivo.
"AndrewX":
Altrimenti come faccio ad individuare la “retta giusta”? È semplicemente data dal calcolo vettoriale del vettore risultante?
Se hai due forze complanari e non parallele, il risultante si applica sulla retta che passa per l'incrocio delle due rette di applicazione. Se sono parallele c'è un'altra costruzione che trovi dappertutto.
Poi, procedendo due alla volta trovi la retta finale.
Devo dire che non ho pensato cosa succede quando le rette sono sghembe... mi immagino che si riducano ad essere complanari con un trasporto parallelo di una delle due, la qual cosa fa nascere una coppia.
Ovviamente NO, il momento risultante non è pari al momento della risultante...questo semplicemente perché la risultante di un sistema di vettori applicati NON è un vettore applicato, quindi non ha senso calcolarne il momento.
Questo vale solo nelle condizioni del teorema di Varignon: Se un sistema di vettori applicato è concorrente in un punto O, allora il momento risultante è pari al momento della risultante del sistema applicata in O (come vedi, prima di calcolare il momento della risultante bisogna applicare la risultante in un qualche punto).
In tutti gli altri casi si fa uso del concetto di vettori equivalenti.
Nel caso più generico un sistema di vettori applicati è equivalente alla risultante applicata sull'asse centrale più un momento parallelo alla risultante stessa (l'asse centrale è parallelo alla risultante, si può dimostrare, quindi la risultante e tale momento formano una specie di "vite", la risultante avanza mentre il momento "ruota" ortogonalmente alla direzione di avanzamento della risultante, la "teoria delle viti/screw theory" https://en.wikipedia.org/wiki/Screw_theory si basa proprio su questo,ossia sul fatto che un campo di forze in sé non forma uno spazio vettoriale, perché le forze NON possono essere sommate come semplici vettori perché si perderebbe l'equivalenza, ecco quindi che si forma la coppia (F,M) tra un vettore e un momento detto "vite" che fa parte di uno spazio vettoriale e si può sommare liberamente secondo le normali regole del calcolo vettoriale,quindi la vite può essere vista come elemento fondamentale della meccanica, non la forza, concetti molto usati in robotica e meccanica applicata)
Questo vale solo nelle condizioni del teorema di Varignon: Se un sistema di vettori applicato è concorrente in un punto O, allora il momento risultante è pari al momento della risultante del sistema applicata in O (come vedi, prima di calcolare il momento della risultante bisogna applicare la risultante in un qualche punto).
In tutti gli altri casi si fa uso del concetto di vettori equivalenti.
Nel caso più generico un sistema di vettori applicati è equivalente alla risultante applicata sull'asse centrale più un momento parallelo alla risultante stessa (l'asse centrale è parallelo alla risultante, si può dimostrare, quindi la risultante e tale momento formano una specie di "vite", la risultante avanza mentre il momento "ruota" ortogonalmente alla direzione di avanzamento della risultante, la "teoria delle viti/screw theory" https://en.wikipedia.org/wiki/Screw_theory si basa proprio su questo,ossia sul fatto che un campo di forze in sé non forma uno spazio vettoriale, perché le forze NON possono essere sommate come semplici vettori perché si perderebbe l'equivalenza, ecco quindi che si forma la coppia (F,M) tra un vettore e un momento detto "vite" che fa parte di uno spazio vettoriale e si può sommare liberamente secondo le normali regole del calcolo vettoriale,quindi la vite può essere vista come elemento fondamentale della meccanica, non la forza, concetti molto usati in robotica e meccanica applicata)
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