Momento meccanico + cerniera
Salve. 
Vorrei considerare un asta incernierata ad un estremo.
Su questa siano applicate due forze uguali ed opposte, con braccio differente.
L'equilibrio traslazionale risulterà soddisfatto. Quindi le reazioni Rx e Ry della cerniera saranno nulle.
Tuttavia la rotazione dell'asta avverrà attorno alla cerniera, e non attorno al baricentro. Quindi la cerniera deve sortire un qualche effetto! Quale?
Grazie.
Vorrei considerare un asta incernierata ad un estremo.
Su questa siano applicate due forze uguali ed opposte, con braccio differente.
L'equilibrio traslazionale risulterà soddisfatto. Quindi le reazioni Rx e Ry della cerniera saranno nulle.
Tuttavia la rotazione dell'asta avverrà attorno alla cerniera, e non attorno al baricentro. Quindi la cerniera deve sortire un qualche effetto! Quale?
Grazie.
Risposte
Non penso di aver capito bene il problema, potresti postare un'immagine?
Certamente.
Come vedi le due forze sono uguali ed opposte. Quindi potremmo concludere che Rx=0 (reazione orizzontale della cerniera).
Tuttavia, come dicevo, l'asta è vincolata a ruotare attorno alla cerniera, quindi dovrà pur scambiare una qualche interazione con questa.
Stavo riflettendo sul fatto che il modello di "cerniera" così come viene insegnato nei corsi di fisica/meccanica applicata non sembra rispettare la realtà. Anzi parrebbe un modello molto approssimato.
Infatti in una cerniera REALE, seppure le forze applicate nell'esempio sono uguali ed opposte, queste forniranno un momento rispetto il baricentro. Allora l'asta tenderebbe a ruotare attorno a G (trascuriamo il peso). L'asta inizia a ruotare attorno al baricentro, finché il suo estremo inferiore percepisce la presenza della cerniera (sto ipotizzando la presenza di "gioco" tra asta e cerniera). A questo punto la cerniera blocca l'estremo inferiore, e questo permette all'asta di ruotare attorno ad essa. Quindi c'è appena stata un'interazione. Parrebbe perciò che Rx=0 è un'affermazione superficiale che non tiene conto di quanto affermato (ovvero non contempla le inevitabili interazioni asta-cerniera). Possibile che le mie considerazioni siano già incluse nel modello di "cerniera"? In tal caso, qualunque valutazione di "resistenza della cerniera" applicata a questo modello non terrebbe conto delle forze effettivamente scambiate e sarebbe quanto meno "non realistico".
Come vedi le due forze sono uguali ed opposte. Quindi potremmo concludere che Rx=0 (reazione orizzontale della cerniera).
Tuttavia, come dicevo, l'asta è vincolata a ruotare attorno alla cerniera, quindi dovrà pur scambiare una qualche interazione con questa.
Stavo riflettendo sul fatto che il modello di "cerniera" così come viene insegnato nei corsi di fisica/meccanica applicata non sembra rispettare la realtà. Anzi parrebbe un modello molto approssimato.
Infatti in una cerniera REALE, seppure le forze applicate nell'esempio sono uguali ed opposte, queste forniranno un momento rispetto il baricentro. Allora l'asta tenderebbe a ruotare attorno a G (trascuriamo il peso). L'asta inizia a ruotare attorno al baricentro, finché il suo estremo inferiore percepisce la presenza della cerniera (sto ipotizzando la presenza di "gioco" tra asta e cerniera). A questo punto la cerniera blocca l'estremo inferiore, e questo permette all'asta di ruotare attorno ad essa. Quindi c'è appena stata un'interazione. Parrebbe perciò che Rx=0 è un'affermazione superficiale che non tiene conto di quanto affermato (ovvero non contempla le inevitabili interazioni asta-cerniera). Possibile che le mie considerazioni siano già incluse nel modello di "cerniera"? In tal caso, qualunque valutazione di "resistenza della cerniera" applicata a questo modello non terrebbe conto delle forze effettivamente scambiate e sarebbe quanto meno "non realistico".
La cerniera esercita una reazione Rx e Ry sulla sbarra, che insieme alle due forze applicate in accordo con la seconda legge della dinamica, determinano il moto del centro di massa della sbarra. Infatti le due forze applicate, benché uguali e opposte, hanno braccio differente, pertanto determinano un momento risultante non nullo rispetto alla cerniera e quindi la sbarra ruota attorno alla cerniera, non capisco quali siano i tuoi dubbi e non capisco da quali ragionamenti deduci che Rx=0, cosa non vera.
"Vulplasir":
La cerniera esercita una reazione Rx e Ry sulla sbarra, che insieme alle due forze applicate in accordo con la seconda legge della dinamica, determinano il moto del centro di massa della sbarra. Infatti le due forze applicate, benché uguali e opposte, hanno braccio differente, pertanto determinano un momento risultante non nullo rispetto alla cerniera e quindi la sbarra ruota attorno alla cerniera, non capisco quali siano i tuoi dubbi e non capisco da quali ragionamenti deduci che Rx=0, cosa non vera.
Rx=0 non è vero?
Perché se è così allora potrebbe essere questo il punto. Sto facendo mille mila esercizi (in accordo con le soluzioni) dove in un sistema come questo, sommando le forze in gioco ottengo una risultante nulla e affermo che Rx= 0 (anche Ry=0 visto che trascuriamo il peso).
F - F + Rx = 0
Rx=0
Potresti in caso fornirmi una spiegazione più dettagliata di come si comporta realmente la cerniera per determinare la rotazione dell'asta attorno a se stessa? Io vedo solo che la cerniera blocca l'estremo inferiore... gli dice "tu resti qui", e quindi tutta l'asta ruota attorno a tale estremo (ossia attorno alla cerniera). Infatti non mi ritrovo con l'affermazione Rx=0, perché un'interazione tra asta e cerniera deve pur starci. Magari un'illustrazione potrebbe aiutarmi...
Il punto è che NON si può sapere a priori quanto vale la reazione vincolare di un certo vincolo, esso può assumere qualsiasi valore, anche elevatissimo, perchè deve fare in modo appunto che il sistema sia "vincolato" su di esso... se no non si chiamerebbe vincolo.
In questo problema tu hai inizialmente una sbarra, su di lei agisce la forza peso (nota) le due forze uguale e contrarie applicate (note) e le reazioni Rx e Ry del vincolo (non note e non si possono sapere a priori quanto valgono). Come si fa a determinarle? Si cerca di applicare le equazioni della dinamica in modo che tali reazioni non compiano alcun ruolo nell'equazione. In questo caso la prima cosa da fare è notare che le reazioni della cerniera hanno momento nullo rispetto alla cerniera stessa, pertanto la cosa piu furba da fare è applicare la seconda eq. cardinale nella cerniera, in questo modo si determina il moto di rotazione della sbarra attorno alla cerniera conoscendo tutte le forze che lo determinano (infatti le forze che hanno momento non-nullo rispetto alla cerniera sono la forza peso e le due forze uguali e contrarie applicate, tutte e tre già note). Una volta determinato il moto di rotazione della sbarra attorno alla cerniera, si possono determinare le reazioni della cerniera, infatti in ogni istante il centro di massa della sbarra avrà una certa accelerazione $a_x$ e una accelerazione $a_y$, entrambe note dato che dipendono dalla rotazione della sbarra, che per quanto già detto tale moto di rotazione è determinato solo dalle forze note. Si può quindi applicare lungo ogni asse la seconda legge della dinamica:
$ma_x=F_x+R_x$
$ma_y=F_y+R_y$
Dove Fx e Fy sono la risultante lungo l'asse x e y delle forze note (ossia la forza peso e le due forze applicate) mentre Rx e Ry sono le reazioni vincolari della cerniera che in questo modo vengono determinate in ogni istantw.
In questo problema tu hai inizialmente una sbarra, su di lei agisce la forza peso (nota) le due forze uguale e contrarie applicate (note) e le reazioni Rx e Ry del vincolo (non note e non si possono sapere a priori quanto valgono). Come si fa a determinarle? Si cerca di applicare le equazioni della dinamica in modo che tali reazioni non compiano alcun ruolo nell'equazione. In questo caso la prima cosa da fare è notare che le reazioni della cerniera hanno momento nullo rispetto alla cerniera stessa, pertanto la cosa piu furba da fare è applicare la seconda eq. cardinale nella cerniera, in questo modo si determina il moto di rotazione della sbarra attorno alla cerniera conoscendo tutte le forze che lo determinano (infatti le forze che hanno momento non-nullo rispetto alla cerniera sono la forza peso e le due forze uguali e contrarie applicate, tutte e tre già note). Una volta determinato il moto di rotazione della sbarra attorno alla cerniera, si possono determinare le reazioni della cerniera, infatti in ogni istante il centro di massa della sbarra avrà una certa accelerazione $a_x$ e una accelerazione $a_y$, entrambe note dato che dipendono dalla rotazione della sbarra, che per quanto già detto tale moto di rotazione è determinato solo dalle forze note. Si può quindi applicare lungo ogni asse la seconda legge della dinamica:
$ma_x=F_x+R_x$
$ma_y=F_y+R_y$
Dove Fx e Fy sono la risultante lungo l'asse x e y delle forze note (ossia la forza peso e le due forze applicate) mentre Rx e Ry sono le reazioni vincolari della cerniera che in questo modo vengono determinate in ogni istantw.
Bene, nel mio esempio abbiamo la risultante delle forze orizzontali F e F pari a zero. Quindi Rx dovrebbe essere nullo, giusto? Lo stesso per Ry, perche' avevo detto di trascurare il peso. Ma otteniamo una asta che ruota attorno alla cerniera, seppure la cerniera pare non fornire reazione alcuna. Questo non e' un paradosso? Perche' l'asta ruoti attorno alla cerniera occorre che PERCEPISCA la cerniera, altrimenti ruotera' attorno al baricentro come un corpo libero nello spazio. Quindi non e' sbagliato dire che Rx e Ry sono nulli?
Si che è sbagliato, perchè dai per scontato che la sbarra sia ferma. Nel momento iniziale le due forze, avendo braccio diverso, determinano un momento M rispetto alla cerniera che la fa ruotare con una accelerazione angolare iniziale $alpha$, pertanto, all'istante iniziale il centro di massa della sbarra ha una accelerazione lungo l'asse x pari a $a_x=alphar$ con r la distanza del centro di massa dalla cerniera. Quindi applicando la legge di newton lungo l'asse x abbiamo:
$ma_x=R_x$
Quindi Rx non è nulla.
$ma_x=R_x$
Quindi Rx non è nulla.
Ottimo, quindi nel momento in cui l'asta ruota attorno alla cerniera, affermare che Rx e Ry siano nulle è sbagliato. Adesso ci siamo.
Però una cosa, nel caso dell'equilibrio?
Fornisco di seguito un'altra immagine. Vogliamo studiare l'equilibrio.
Risulta che Rx= 1N
I momenti rispetto la cerniera si equilibrano.
Però secondo me stiamo omettendo un dettaglio. L'asta (senza peso) finché non percepisce la cerniera è a tutti gli effetti un CORPO LIBERO. Quindi le due forze forniscono un momento attorno al baricentro diverso da zero. Significa che l'asta tenterà di ruotare attorno a G, e nel farlo "toccherà" la cerniera. A questo punto la cerniera dovrebbe esplicare una reazione tale da impedire all'estremo dell'asta di continuare a ruotare attorno a G. Che reazione esercita la cerniera per far si che questo sia vero? Noi abbiamo affermato che Rx=1 N, ma non abbiamo tenuto conto di quanto appena detto. Abbiamo solo fatto il conto di Rx tale da impedire la traslazione. Non manca un pezzo?
Però una cosa, nel caso dell'equilibrio?
Fornisco di seguito un'altra immagine. Vogliamo studiare l'equilibrio.
Risulta che Rx= 1N
I momenti rispetto la cerniera si equilibrano.
Però secondo me stiamo omettendo un dettaglio. L'asta (senza peso) finché non percepisce la cerniera è a tutti gli effetti un CORPO LIBERO. Quindi le due forze forniscono un momento attorno al baricentro diverso da zero. Significa che l'asta tenterà di ruotare attorno a G, e nel farlo "toccherà" la cerniera. A questo punto la cerniera dovrebbe esplicare una reazione tale da impedire all'estremo dell'asta di continuare a ruotare attorno a G. Che reazione esercita la cerniera per far si che questo sia vero? Noi abbiamo affermato che Rx=1 N, ma non abbiamo tenuto conto di quanto appena detto. Abbiamo solo fatto il conto di Rx tale da impedire la traslazione. Non manca un pezzo?
Condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo rigido sia in equilibrio è che:
1) Ad un certo istante il corpo sia con velocità nulla e la somma di tutte le forze agenti su di esso sia nulla.
2) Ad un certo istante il corpo non ruoti e la somma di tutti i momenti meccanici agenti su di esso, calcolati rispetto a un qualunque polo fisso, sia nulla.
Come vedi, il punto 2) ti garantisce che è sufficiente che la somma totale dei momenti sia nulla rispetto a un qualunque punto fisso affinché il corpo sia in equilibrio. Nel tuo caso, vedi che la somma dei momenti rispetto alla cerniera è nulla sempre, e quindi hai verificato il punto 2) delle condizioni dette sopra, andando al punto 1) ti trovi Rx=1N e quindi ha verificato anche la prima condizione, Pertanto il corpo è in equilibrio. Infatti la somma delle forze è sempre nulla, e se provi a calcolare i momenti rispetto a qualunque altro punto, noterai che la somma dei momenti è sempre nulla.
1) Ad un certo istante il corpo sia con velocità nulla e la somma di tutte le forze agenti su di esso sia nulla.
2) Ad un certo istante il corpo non ruoti e la somma di tutti i momenti meccanici agenti su di esso, calcolati rispetto a un qualunque polo fisso, sia nulla.
Come vedi, il punto 2) ti garantisce che è sufficiente che la somma totale dei momenti sia nulla rispetto a un qualunque punto fisso affinché il corpo sia in equilibrio. Nel tuo caso, vedi che la somma dei momenti rispetto alla cerniera è nulla sempre, e quindi hai verificato il punto 2) delle condizioni dette sopra, andando al punto 1) ti trovi Rx=1N e quindi ha verificato anche la prima condizione, Pertanto il corpo è in equilibrio. Infatti la somma delle forze è sempre nulla, e se provi a calcolare i momenti rispetto a qualunque altro punto, noterai che la somma dei momenti è sempre nulla.
Ok. Per ora è chiaro. Grazie davvero Vulpasir! Un abbraccio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo