Momento inerzia triangolo rispetto asse perpendicolare al suo piano
Salve a tutti, ho un triangolo equilatero formato da 3 sbarrette omogenee le quali sono tutte e 3 di massa $m$ e lunghezza $L$.
Devo calcolare il momento di inerzia del corpo rispetto a un asse perpendicolare al piano su cui giace il triangolo e passante per un suo vertice.
L'unica cosa che mi è venuto in mente è stato utilizzare il teorema di Steiner e dire che l'inerzia della parte di corpo parallela all'asse è data dal suo momento di inerzia rispetto al centro ( di massa ) e la distanza che c'è tra esso e il vertice opposto che giace sopra il nostro asse
$1/12mL^2+m(L(cos(theta/2))^2$
dove $theta=pi/3$
che mi da $I_1=5/6mL^2$
Per quel che riguarda le sbarrette oblique, basta calcolare il contributo dato da una di essere e raddoppiarlo data la simmetria.
Allora $I_2= 2int_(0)^(L)lambdax^2dx = 2/3mL^2$ dove $lambda=m/L$
sommando il tutto ottengo $3/2mL^2$
( che spero sia il risultato giusto
)
Ora, ho provato a "giocare" con il teorema di Steiner, il che mi porta ad ottenere un altro risultato e qui mi piacerebbe sapere cosa sbaglio o in questo procedimento o nel precedente dati i risultati diversi.
Ottengo $I_1=5/6mL^2$ sempre allo stesso modo mentre per i lati obbliqui decido di utilizzarlo "punto per punto", nel senso che decido di calcolare il momento di inerzia del singolo punto e farne la somma totale ( spero che un immagine valga più di mille parole
)
quindi in formule
$I_2 = 2[int_(0)^(Lsin(theta/2))lambdax^2dx + int_(0)^(Lsin(theta/2))lambdax^2dx]$
Che mi porta ad avere $I_2=2/3mL^2((3sqrt(3)+1)/8)$ che sommato ad $I_1$ è certamente diverso dal risultato precedente.
Grazie mille a chi mi aiuterà
EDIT penso che l'errore sia nel fatto che ho inserito il $sin(theta/2)$ e il $cos(theta/2)$ negli estremi di integrazione quando invece andrebbero all'interno dell'integrale, non elimino la discussione per sapere almeno se il risultato e i ragionamenti sono giusti
Devo calcolare il momento di inerzia del corpo rispetto a un asse perpendicolare al piano su cui giace il triangolo e passante per un suo vertice.
L'unica cosa che mi è venuto in mente è stato utilizzare il teorema di Steiner e dire che l'inerzia della parte di corpo parallela all'asse è data dal suo momento di inerzia rispetto al centro ( di massa ) e la distanza che c'è tra esso e il vertice opposto che giace sopra il nostro asse
$1/12mL^2+m(L(cos(theta/2))^2$
dove $theta=pi/3$
che mi da $I_1=5/6mL^2$
Per quel che riguarda le sbarrette oblique, basta calcolare il contributo dato da una di essere e raddoppiarlo data la simmetria.
Allora $I_2= 2int_(0)^(L)lambdax^2dx = 2/3mL^2$ dove $lambda=m/L$
sommando il tutto ottengo $3/2mL^2$
( che spero sia il risultato giusto
)Ora, ho provato a "giocare" con il teorema di Steiner, il che mi porta ad ottenere un altro risultato e qui mi piacerebbe sapere cosa sbaglio o in questo procedimento o nel precedente dati i risultati diversi.
Ottengo $I_1=5/6mL^2$ sempre allo stesso modo mentre per i lati obbliqui decido di utilizzarlo "punto per punto", nel senso che decido di calcolare il momento di inerzia del singolo punto e farne la somma totale ( spero che un immagine valga più di mille parole
)
quindi in formule
$I_2 = 2[int_(0)^(Lsin(theta/2))lambdax^2dx + int_(0)^(Lsin(theta/2))lambdax^2dx]$
Che mi porta ad avere $I_2=2/3mL^2((3sqrt(3)+1)/8)$ che sommato ad $I_1$ è certamente diverso dal risultato precedente.
Grazie mille a chi mi aiuterà
EDIT penso che l'errore sia nel fatto che ho inserito il $sin(theta/2)$ e il $cos(theta/2)$ negli estremi di integrazione quando invece andrebbero all'interno dell'integrale, non elimino la discussione per sapere almeno se il risultato e i ragionamenti sono giusti
Risposte
Il risultrato e' giusto, ma mi pare strano che ti venga perche l'angolo e' $pi/6$ e non $pi/3$
Per la base del triangolo: $ML^2/12+ML^2cos(pi/6)=1/12ML^2+ML^2*3/4=5/6ML^2$
per le barrette oblique, $I=2*[ML^2]/3=2/3ML^2$
Somma totale : $(5/6+4/6)ML^2=3/2ML^2$
Per il resto dell'esercizio, non capisco bene cosa hai in mente di fare
Per la base del triangolo: $ML^2/12+ML^2cos(pi/6)=1/12ML^2+ML^2*3/4=5/6ML^2$
per le barrette oblique, $I=2*[ML^2]/3=2/3ML^2$
Somma totale : $(5/6+4/6)ML^2=3/2ML^2$
Per il resto dell'esercizio, non capisco bene cosa hai in mente di fare
Ah, ho capito.
La soluzione e' facile: entrambi i punti sono a distanza generica x. L'elemento dm e' dunque $dm=lambda dx$
Quindi per una barretta
$I=intdmL^2=int lambda dx*x^2$ integrato tra 0 e L
L'angolo, nel calcolo delle barrette oblique, non c'entra nulla: determina solo la lunghezza della base.
La soluzione e' facile: entrambi i punti sono a distanza generica x. L'elemento dm e' dunque $dm=lambda dx$
Quindi per una barretta
$I=intdmL^2=int lambda dx*x^2$ integrato tra 0 e L
L'angolo, nel calcolo delle barrette oblique, non c'entra nulla: determina solo la lunghezza della base.
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