Momento inerzia sfera

[Sk_Anonymous]

Consideriamo una sfera di raggio R, ogni retta per G è asse giroscopico. Fissata $R Gamma (G, xi, eta, zeta)$, la distanza di un generico punto della sfera da $zeta$ è $delta= xi^2+eta^2$ ora....per motivi di simmetria (dice il libro) si ha che $j_xi=int_C xi^2+eta^2 dC=2/3int_C xi^2+eta^2+zeta^2 dC=2/3int_C rho^2 dC$. Dividendo la sfera in gusci concentrici di volume $dC=4 pi rho^2drho$ si ha:

$j_xi=8/3piint_0^R rho^4 drho=4/3piR^3*2/5R^2$

Il problema è che questi motivi di simmetria per i quali

$int_C xi^2+eta^2 dC=2/3int_C xi^2+eta^2+zeta^2 dC$

mi sfuggono....mi dareste una mano?

grazie

ciao

[giuseppe87x]

Non riesco a capire la notazione. Potresti dire cosa indicano i vari simboli?

[Sk_Anonymous]

allora...$xi$ $eta$ $zeta$ sono le coordinate di un generico punto P appartenente a una sfera di raggio R rispetto a una terna $RGamma$ avente origine nel baricento G della sfera (il quale coincide con il centro della sfera) e assi mutuamente ortogonali $xi$ $eta$ $zeta$.
C rappresenta il volume della sfera mentre $rho^2$ essendo uguale a $xi^2+eta^2+zeta^2$ non è altro che la distanza al quadrato del generico punto della sfera dall'origine di $RGamma$.
$j_xi$ è il momento centrale d'inerzia della sfera rispetto all'asse $xi$....si ha $j_xi=int_Cdelta^2dC$ dove $delta^2$ è la distanza al quadrato del volumetto dC (puntiforme occupante P) dall'asse $xi$...ecco questi motivi di simmetria per i quali

$int_C xi^2+eta^2 dC=2/3int_C xi^2+eta^2+zeta^2 dC$

quali sono?

grazie

ciao

[Sk_Anonymous]

Si ha:
$I_(xi)=int_C(eta^2+zeta^2)dC$
$I_(eta)=int_C(zeta^2+xi^2)dC$
$I_(zeta)=int_C(xi^2+eta^2)dC$
Sommando:
(1) $I_(xi)+I_(eta)+I_(zeta)=2*int_C(xi^2+eta^2+zeta^2)dC$
Per evidenti ragioni di simmetria e' $I_(xi)=I_(eta)=I_(zeta)$ e quindi la (1) diventa:
$3*I_(xi)=2*int_Crho^2dC $ da cui $I_(xi)=2/3*int_Crho^2dC $=...
Ciao

[Sk_Anonymous]

vero....grazie 1000

ciao