Momento forza magnetica su filo conduttore
Ciao, amici! Da trattazioni che trovo sia sul mio libro sia in rete (come questa a p. 8-8) e che direi un po' sbrigative sono stato tentato di pensare che la forza magnetica \(I\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}\) agente su un filo conduttore rettilineo percorso da una corrente di intensità $I$ e immerso in un campo magnetico uniforme \(\mathbf{B}\) fosse tale che il suo momento, che direi esprimibile come \[\boldsymbol{\tau}= \int_0^L \mathbf{x}(t) \times \bigg( \frac{I}{L} \boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B}\bigg) dt \]dove $L$ è la lunghezza del filo e \(\mathbf{x}:[0,L]\to\mathbb{R}^3\) una sua parametrizzazione, si potesse calcolare come se fosse concentrata tutta nel punto medio del filo \(\mathbf{x}(L/2)\).
Non è così, vero?
Se invece è così, come si può dimostrare? L'unica cosa che mi è chiara è che \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}(0)+ t\boldsymbol{\ell}\), \(t\in [0,L]\) (e \(\mathbf{x}'(t)= \boldsymbol{\ell}\)).
$\infty$ grazie per ogni risposta!
Non è così, vero?
Se invece è così, come si può dimostrare? L'unica cosa che mi è chiara è che \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}(0)+ t\boldsymbol{\ell}\), \(t\in [0,L]\) (e \(\mathbf{x}'(t)= \boldsymbol{\ell}\)).
$\infty$ grazie per ogni risposta!
Risposte
"DavideGenova":
... Da trattazioni ... che direi un po' sbrigative sono stato tentato di pensare che la forza magnetica \(I\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}\) agente su un filo conduttore rettilineo percorso da una corrente di intensità $I$ e immerso in un campo magnetico uniforme \(\mathbf{B}\) fosse tale che il suo momento, ... si potesse calcolare come se fosse concentrata tutta nel punto medio del filo. Non è così, vero?
Nel caso di un filo rettilineo è invece proprio vero, e anche se sarebbe facile dimostrarlo, basta ricordare le due classiche condizioni di riducibilità per due sistemi di vettori applicati, ovvero: uguali risultanti ed uguali momenti risultanti rispetto ad un polo (e quindi a ogni polo), per evitare di perdere tempo nel farlo.
Interessante sarebbe invece andare ad analizzare dimostrando ed estendendo la classica relazione per il momento agente su un circuito percorso da corrente, planare o non planare che sia, immerso in un campo magnetico $\vec B$ uniforme (o non)
$\vec M=\vec \mu \times \vec B$
a partire proprio dalla forza di Lorentz, via integrazione sull'intero perimetro del circuito
$\vec M=I\oint \vec r \times (d\vec l \times \vec B)$
o solo su una sua parte, al fine di generalizzare il concetto di momento magnetico $\vec \mu$ anche al caso di circuito o conduttore non planare e per farlo direi che il metodo più semplice sia proprio quello da te indicato, ovvero andare a parametrizzare la curva con una $s(t)$ con $t\in [0,1]$ ; in questo modo il precedente integrale (grazie all'uguaglianza $d \vec l= \vec \dot s dt$) potrebbe essere riscritto come
$\vec M=I\oint \vec s \times (\vec \dot{s} \times \vec B)dt$
che in presenza di campo $\vec B$ uniforme porterebbe a
$\vec M=\frac{I}{2} \int_{0}^{1} (\vec s \times \vec \dot{s})dt \times \vec B $
per poi definire più in generale il momento di dipolo magnetico come
$\vec \mu=\frac{I}{2} \int_{0}^{1} (\vec s \times \vec \dot{s})dt = \frac{I}{2} \oint \vec r \times d\vec l $
che si riduce, nel caso di circuito planare, alla classica espressione
$\vec \mu= IS \ \hat n$
ma per farlo ci vuole del tempo ... e purtroppo non ne ho più tanto da "perdere" ormai.
"RenzoDF":Mai sentito di queste condizioni: potresti mica illustrarmele, con una dimostrazione od un link ad una dimostrazione, e spiegarmi come si applicano a questo caso?
Nel caso di un filo rettilineo è invece proprio vero, e anche se sarebbe facile dimostrarlo, basta ricordare le due classiche condizioni di riducibilità per due sistemi di vettori applicati, ovvero: uguali risultanti ed uguali momenti risultanti rispetto ad un polo (e quindi a ogni polo)
$\infty$ grazie ancora!
Vedi per esempio http://www.albertostrumia.it/libri/didattica/Meccanica/01_capitolo1.pdf a pagina 36 del testo (29 del pdf).
In questo caso si applica alle forze di Lorentz $d\vec F$ applicate agli elementi infinitesimi $d\vec l$ del conduttore, forze che sono vettorialmente tutte uguali per un filo rettilineo in un campo uniforme.
Sostanzialmente puoi pensare ad un equivalente gravitazionale su un'asta; dov'è che puoi pensare applicata la forza peso?
In questo caso si applica alle forze di Lorentz $d\vec F$ applicate agli elementi infinitesimi $d\vec l$ del conduttore, forze che sono vettorialmente tutte uguali per un filo rettilineo in un campo uniforme.
Sostanzialmente puoi pensare ad un equivalente gravitazionale su un'asta; dov'è che puoi pensare applicata la forza peso?
Si può in effetti dimostrare anche con un semplicissimo calcolo diretto che il momento è lo stesso di quello che sarebbe dovuto alla forza risultante applicata nel punto medio del filo notando che\[\boldsymbol{\tau}= \int_0^L \mathbf{x}(t) \times \left( \frac{I}{L}\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B}\right) dt= \int_0^L \left(\mathbf{x}(0)+\frac{t}{L}\boldsymbol{\ell} \right) \times \left( \frac{I}{L}\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B}\right) dt\]\[=\int_0^1 \left(\mathbf{x}(0)+s\boldsymbol{\ell} \right) \times( I\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B}) \,ds=\left( \int_0^1 \mathbf{x}(0)+s\boldsymbol{\ell} \,ds\right)\times( I\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B})=\left(\mathbf{x}(0)+\frac{1}{2}\boldsymbol{\ell} \right) \times( I\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B}) \]quod erat demonstrandum. Tuttavia trovo estremamente interessante il teorema di riducibilità che citi, su cui apro un apposito post perché non ci ho capito granché.
$\infty$ grazie ancora!
"RenzoDF":Mmh... perdonami, ma non mi è ancora chiaro come si usi il teorema di sopra per vedere, usando la notazione che hai usato tu, che (scelto un polo unico per calcolare il momento per ognuno dei lati della spira) vale, per ogni lato \(\vec{l}\) della spira, che il momento è lo stesso di quello che sarebbe dovuto alla forza risultante \(I \vec{l} \times \vec{ B}\) applicata nel punto medio \(\vec{s}(\frac{1}{2})\) del lato: \[ I\int_0^1 \vec{s} \times (\vec{ \dot{s}} \times \vec{ B})dt=\vec{s}\bigg(\frac{1}{2}\bigg) \times (I \vec{l} \times \vec{ B})\]Saresti così gentile da illustrarmi più esplicitamente la cosa che, anche se ho risolto, trovo molto interessante?
In questo caso si applica alle forze di Lorentz $d\vec F$ applicate agli elementi infinitesimi $d\vec l$ del conduttore, forze che sono vettorialmente tutte uguali per un filo rettilineo in un campo uniforme.
$\infty$ grazie ancora!
"DavideGenova":
... non mi è ancora chiaro come si usi il teorema di sopra per vedere, usando la notazione che hai usato tu, ... che il momento è lo stesso di quello che sarebbe dovuto alla forza risultante \(I \vec{l} \times \vec{ B}\) applicata nel punto medio
Come al solito non sono riuscito a spiegarmi; nella mia risposta intendevo sottolineare che mentre per la tua richiesta iniziale è sufficiente ricordare il teorema di riducibilità, per andare invece ad estendere la soluzione del problema ad una più generica geometria del circuito (al fine di superare l'impossibilità di semplificazione relativa al conduttore rettilineo), si poteva seguire la strada della parametrizzazione al fine di definire un momento di dipolo magnetico attraverso una relazione più generale della classica $\vec \mu= IS \ \hat n$.
Grazie ancora, Renzo! Quanto al teorema di riducibilità, credo di aver capito quali passaggi non dimostrati si sottintendano nella dispensa che hai linkato... Se tu e chi altri passi di qua e abbia capito la dimostrazione della dispensa vuole dare un'occhiata alla mia idea qui gliene sarei $\infty$-mente grato...
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