Momento e Tensore d'inerzia
Salve a tutti, fino all'anno scorso( nell'esame di Fisica 1) nei problemi del corpo rigido, usavo sempre il momento di inerzia calcolato rispetto, in genere, al centro di massa. Adesso invece( in Fisica 2) abbiamo introdotto il tensore di inerzia il quale mi ha confuso parecchio le idee riguardo questa proprietà dei corpi rigidi.
Ho capito come si arriva a costruire questo tensore, che gli elementi sulla diagonale sono i momenti di inerzia rispetto agli assi x,y,z e che si può scegliere un sistema fatto da assi principali, ma perchè complicarsi la vita quando c'è già il semplice momento di inerzia?
Più precisamente, non ho capito perchè nei problemi devo usare il tensore di inerzia e non il momento di inerzia come facevo in fisica1.
Grazi per le eventuali risposte, spero di essere stat chiaro riguardo il dubbio che ho.
Ho capito come si arriva a costruire questo tensore, che gli elementi sulla diagonale sono i momenti di inerzia rispetto agli assi x,y,z e che si può scegliere un sistema fatto da assi principali, ma perchè complicarsi la vita quando c'è già il semplice momento di inerzia?
Più precisamente, non ho capito perchè nei problemi devo usare il tensore di inerzia e non il momento di inerzia come facevo in fisica1.
Grazi per le eventuali risposte, spero di essere stat chiaro riguardo il dubbio che ho.
Risposte
Perdonami,ma cosa vuol dire un solo momento d'inerzia?
Se hai un oggetto nello spazio tridimensionale euclideo potrai scegliere di ruotarlo attorno ad infiniti assi di rotazione.E per ogni asse che scegli il corpo ruotera' più o meno facilmente.
Il tensore di inerzia racchiude le informazioni geometriche del tuo corpo rispetto alle rotazioni possibili rispetto agli assi che hai fissato.Se scegli assi privilegiati il tensore avrà una forma diagonale.
Probabilmente avrai usato un solo momento di inerzia per via della simmetria del problema.infatti
$vec L= I vec omega $ e se $omega $ è diretto come $ vec e_3$ e il tensore $I $ è diagonale (assi principali di inerzia ) allora ti interessa solo $I_{zz} $cioè il problema è disaccoppiato.
Se hai un oggetto nello spazio tridimensionale euclideo potrai scegliere di ruotarlo attorno ad infiniti assi di rotazione.E per ogni asse che scegli il corpo ruotera' più o meno facilmente.
Il tensore di inerzia racchiude le informazioni geometriche del tuo corpo rispetto alle rotazioni possibili rispetto agli assi che hai fissato.Se scegli assi privilegiati il tensore avrà una forma diagonale.
Probabilmente avrai usato un solo momento di inerzia per via della simmetria del problema.infatti
$vec L= I vec omega $ e se $omega $ è diretto come $ vec e_3$ e il tensore $I $ è diagonale (assi principali di inerzia ) allora ti interessa solo $I_{zz} $cioè il problema è disaccoppiato.
Scusate se mi intrometto... @Brufus, ti ho mandato un messaggio privato: non l'hai visto?
Dovresti trovarlo qui: https://www.matematicamente.it/forum/uc ... lder=inbox
Dovresti trovarlo qui: https://www.matematicamente.it/forum/uc ... lder=inbox
@Ale112
Ciao Ale 112. I tuoi dubbi meritano ancora qualche chiarimento.
Quando hai a che fare con un corpo rigido che esegue un moto rotatorio rispetto a un asse "fisso nello spazio assoluto" ( la parte tra virgolette significa che si tratta di definizioni convenzionali), il quale può attraversare o meno il corpo, ti basta il solo momento di inerzia del corpo rispetto a tale asse; le velocità dei punti del corpo sono tutte parallele al piano perpendicolare all'asse dato; e poi la situazione è da esaminare caso per caso, per risolvere problemi ed esercizi.
Ma quando hai a che fare con un corpo rigido che ha soltanto un "punto fisso" , e quindi ruota rispetto a questo, la cosa non è cosí semplice, dal punto di vista fisico e matematico. Peggio ancora se il corpo rigido è libero: pensa per esempio a un corpo rigido scagliato nello spazio, libero da vincoli.
Ci vengon in aiuto le due equazioni cardinali della dinamica. LA prima dice che il CM del corpo si muove come se tutte le forze applicate al corpo fossero concentrate nel CM stesso; quindi si tratta di determinare il moto di un punto, soggetto a una forza, che è il risultante di tutte le forze a cui il corpo è soggetto, applicate idealmente nel CM stesso. E questo lo sappiamo fare abbastanza bene.
Ecco perchè ci si concentra, poi, sul moto del corpo rispetto a un punto fisso, che generalmente si assume coincidente col CM del corpo: perché ? Perché la parte traslatoria del moto l'abbiamo risolta prima, col moto del CM.
Ora ci viene in aiuto la seconda equazione cardinale della dinamica , per la quale il momento delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un certo polo , è uguale alla variazione nel tempo del momento angolare del corpo determinato rispetto allo stesso polo. Da qui, si arriva alle equazioni di Eulero, che avrai modo di conoscere. Nelle equazioni di Eulero giocano un ruolo importante le caratteristiche di inerzia del corpo. Allora si fa cosí ( ma si potrebbe fare anche in atra maniera...questa è la via più semplice) : si prende come origine di un sistema di coordinate solidali col corpo rigido il suo CM, e si fissano al corpo tre assi cartesiani, coincidenti con gli assi principali di inerzia del corpo. Questa terna si chiama terna centrale di inerzia , avrai modo di studiarla in meccanica razionale. Se il corpo rigido ruota rispetto a uno dei tre assi centrali, che si chiamano anche "assi liberi" di rotazione, il momento angolare del corpo rispetto a quell'asse è un vettore parallelo al vettore $vecomega$ , altrimenti questo parallelismo non sussiste. Non credo di aver esaurito tutti i tuoi dubbi, se hai domande falle pure. Per ora, ti raccomando di dare un'occhiata a questi due link :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8417404
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p950879
in modo particolare, alla risposta di Navigatore; lui sí che era bravo, mica come noi ...
e guarda anche i link messi all'interno delle discussioni. Guarda pure questi :
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... rigido.pdf
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/three.pdf
Ho capito come si arriva a costruire questo tensore, che gli elementi sulla diagonale sono i momenti di inerzia rispetto agli assi x,y,z e che si può scegliere un sistema fatto da assi principali, ma perchè complicarsi la vita quando c'è già il semplice momento di inerzia?
Più precisamente, non ho capito perchè nei problemi devo usare il tensore di inerzia e non il momento di inerzia come facevo in fisica1.
Ciao Ale 112. I tuoi dubbi meritano ancora qualche chiarimento.
Quando hai a che fare con un corpo rigido che esegue un moto rotatorio rispetto a un asse "fisso nello spazio assoluto" ( la parte tra virgolette significa che si tratta di definizioni convenzionali), il quale può attraversare o meno il corpo, ti basta il solo momento di inerzia del corpo rispetto a tale asse; le velocità dei punti del corpo sono tutte parallele al piano perpendicolare all'asse dato; e poi la situazione è da esaminare caso per caso, per risolvere problemi ed esercizi.
Ma quando hai a che fare con un corpo rigido che ha soltanto un "punto fisso" , e quindi ruota rispetto a questo, la cosa non è cosí semplice, dal punto di vista fisico e matematico. Peggio ancora se il corpo rigido è libero: pensa per esempio a un corpo rigido scagliato nello spazio, libero da vincoli.
Ci vengon in aiuto le due equazioni cardinali della dinamica. LA prima dice che il CM del corpo si muove come se tutte le forze applicate al corpo fossero concentrate nel CM stesso; quindi si tratta di determinare il moto di un punto, soggetto a una forza, che è il risultante di tutte le forze a cui il corpo è soggetto, applicate idealmente nel CM stesso. E questo lo sappiamo fare abbastanza bene.
Ecco perchè ci si concentra, poi, sul moto del corpo rispetto a un punto fisso, che generalmente si assume coincidente col CM del corpo: perché ? Perché la parte traslatoria del moto l'abbiamo risolta prima, col moto del CM.
Ora ci viene in aiuto la seconda equazione cardinale della dinamica , per la quale il momento delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un certo polo , è uguale alla variazione nel tempo del momento angolare del corpo determinato rispetto allo stesso polo. Da qui, si arriva alle equazioni di Eulero, che avrai modo di conoscere. Nelle equazioni di Eulero giocano un ruolo importante le caratteristiche di inerzia del corpo. Allora si fa cosí ( ma si potrebbe fare anche in atra maniera...questa è la via più semplice) : si prende come origine di un sistema di coordinate solidali col corpo rigido il suo CM, e si fissano al corpo tre assi cartesiani, coincidenti con gli assi principali di inerzia del corpo. Questa terna si chiama terna centrale di inerzia , avrai modo di studiarla in meccanica razionale. Se il corpo rigido ruota rispetto a uno dei tre assi centrali, che si chiamano anche "assi liberi" di rotazione, il momento angolare del corpo rispetto a quell'asse è un vettore parallelo al vettore $vecomega$ , altrimenti questo parallelismo non sussiste. Non credo di aver esaurito tutti i tuoi dubbi, se hai domande falle pure. Per ora, ti raccomando di dare un'occhiata a questi due link :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8417404
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p950879
in modo particolare, alla risposta di Navigatore; lui sí che era bravo, mica come noi ...
e guarda anche i link messi all'interno delle discussioni. Guarda pure questi :
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... rigido.pdf
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/three.pdf
Se il corpo rigido ruota rispetto a uno dei tre assi centrali, che si chiamano anche "assi liberi" di rotazione, il momento angolare del corpo rispetto a quell'asse è un vettore parallelo al vettore ω⃗ , altrimenti questo parallelismo non sussiste
Era quello che intendevo quando ho scritto che il problema è disaccoppiato.
@Brufus...
ma non leggi mai i messaggi privati?
https://www.matematicamente.it/forum/ucp.php?i=pm&folder=inbox
ma non leggi mai i messaggi privati?
https://www.matematicamente.it/forum/ucp.php?i=pm&folder=inbox
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