Momento d'inerzia sfera cava
Ciao, amici!
Il mio testo di fisica (universitario) riporta varie formule per il calcolo del momento d'inerzia di vari solidi omogenei, ma non ne dà (purtroppo, dato che mi piace capire le cose e non accettare che "è così"...) alcuna dimostrazione. Con un po' di calcolo integrale e qualche ricerca su Internet sono riuscito a fornire a me stesso molte dimostrazioni di queste formule, ma non riesco a dimostrare che, per una sfera cava con una massa definita, di spessore idealmente uguale a 0, $I=2/3MR^2$.
L'integrazione di $\int \rhor^2V'(r)dr$, dove $\rho$ è la massa volumica, non mi funziona perché, se $\rho=M/V$, con V=0 c'è qualche problemino...
Grazie $+oo$ a tutti quanti vorranno aiutarmi!
Davide
Il mio testo di fisica (universitario) riporta varie formule per il calcolo del momento d'inerzia di vari solidi omogenei, ma non ne dà (purtroppo, dato che mi piace capire le cose e non accettare che "è così"...) alcuna dimostrazione. Con un po' di calcolo integrale e qualche ricerca su Internet sono riuscito a fornire a me stesso molte dimostrazioni di queste formule, ma non riesco a dimostrare che, per una sfera cava con una massa definita, di spessore idealmente uguale a 0, $I=2/3MR^2$.
L'integrazione di $\int \rhor^2V'(r)dr$, dove $\rho$ è la massa volumica, non mi funziona perché, se $\rho=M/V$, con V=0 c'è qualche problemino...
Grazie $+oo$ a tutti quanti vorranno aiutarmi!
Davide
Risposte
questo esercizio lo puoi trovare svolto sul mazzoldi nigro voci fisica uno.Comunque quando dici che consideri la massa volumica sbagli perchè in realtà devi considerare la massa per unità di superfice.Per calcolare l'integrale ti devi ricordare l'elemento d'area in coordinate sferiche
Grazie $+oo$, baldo89! Direi che $I=\int_{0}^{R} M/A r^2 A'(r)dr= \int_{0}^{R} M/(4\pi R^2) r^2·8\pi r dr=2/3MR^2$... Giusto?
Grazie di tutto!!!
Davide
Grazie di tutto!!!
Davide
in casi come questo si possono usare armi più semplici di un integrale, sfruttando la simmetria di un corpo del genere (superficie sferica). E' però necessaria un'introduzione piccola.
Se consideri un punto materiale di massa m riferito ad una terna x,y,z, tu hai che il prodotto della massa e del quadrato della distanza rispetto all'origine, che chiamo $J_0$ è uguale alla metà della somma dei momenti di inerzia del punto rispetto ai tre assi; cioè $J_0=(J_x+J_y+J_z)/2$. Lo verifichi facilmente da solo ed altrettanto facilmente lo estendi ad un sistema di punti (ed al caso continuo).
Questo ti fa capire che per un corpo per il quale i tre momenti di inerzia sono uguali (per esempio la sfera), ed uguali ad un qualunque momento di inerzia rispetto ad una retta passante per O, che chiamo genericamente $J_r$, avrai che $J_0=3/2*J_r$. Quindi $J_r=2/3*J_0$.
Con questa premessa semplice ma necessaria, vedi che in un caso come questo in cui calcoli facilmente $J_0=M*R^2$, ottieni la soluzione senza altri calcoli complicati.
Se consideri un punto materiale di massa m riferito ad una terna x,y,z, tu hai che il prodotto della massa e del quadrato della distanza rispetto all'origine, che chiamo $J_0$ è uguale alla metà della somma dei momenti di inerzia del punto rispetto ai tre assi; cioè $J_0=(J_x+J_y+J_z)/2$. Lo verifichi facilmente da solo ed altrettanto facilmente lo estendi ad un sistema di punti (ed al caso continuo).
Questo ti fa capire che per un corpo per il quale i tre momenti di inerzia sono uguali (per esempio la sfera), ed uguali ad un qualunque momento di inerzia rispetto ad una retta passante per O, che chiamo genericamente $J_r$, avrai che $J_0=3/2*J_r$. Quindi $J_r=2/3*J_0$.
Con questa premessa semplice ma necessaria, vedi che in un caso come questo in cui calcoli facilmente $J_0=M*R^2$, ottieni la soluzione senza altri calcoli complicati.
Grazie anche a te, kinder! Metodo brillante e veloce per trovare il momento d'inerzia...
Metodo intelligentissimo quello pubblicato sul mazzoldi...solo una domanda...la quantità
come faccio a sapere che $M/A A'$ non rappresenti la MASSA INFINITESIMA di forma PUNTIFORME, e non invece un anello di spessore infinitesimo? Se così fosse, bisognerebbe integrare più volte, prima per formare un "anello", poi integrare gli "anelli" per formare tutta la superficie sferica...eppure viene corretto...
come faccio a sapere che $M/A A'$ non rappresenti la MASSA INFINITESIMA di forma PUNTIFORME, e non invece un anello di spessore infinitesimo? Se così fosse, bisognerebbe integrare più volte, prima per formare un "anello", poi integrare gli "anelli" per formare tutta la superficie sferica...eppure viene corretto...
il motivo per cui non lo ritengo un libro adatto ad un primo anno di ingegneria: tutti questi risultati si ottengono con integrali multipli, ma se uno non li fa prima ad analisi non credo ci capisca granchè (ed è solo tempo perso farli a fisica).
il procedimento formale sarebbe questo: visto che la densità è definita solo sulla superficie, si calcola l'integrale di superficie (denoto con $sigma = M/S$ la densità superficiale)
$ int int_M r^2 dm = int int_S r^2 sigma dS$
parametrizzando la sfera in coordinate sferiche otteniamo che il differenziale dS è dato da $R^2 sin(phi) d phi d theta$ (i calcoli sono piuttosto lunghi, quindi non li riporto). l'integrale diventa:
$ sigma int_0^pi int_0^(2pi) R^2 sin^2 phi R^2 sin phi d phi d theta = sigma R^4 2 pi int_0^pi sin^2 phi sin phi d phi $
risolvendo l'ultimo integrale e sostituendo $sigma = M/S = M/(4 pi R^2)$ si ottiene il risultato noto.
credo che sul mazzoldi nigro voci si usino le coordinate cilindriche, ma la sostanza non cambia
edit: corretta prima riga di integrali
il procedimento formale sarebbe questo: visto che la densità è definita solo sulla superficie, si calcola l'integrale di superficie (denoto con $sigma = M/S$ la densità superficiale)
$ int int_M r^2 dm = int int_S r^2 sigma dS$
parametrizzando la sfera in coordinate sferiche otteniamo che il differenziale dS è dato da $R^2 sin(phi) d phi d theta$ (i calcoli sono piuttosto lunghi, quindi non li riporto). l'integrale diventa:
$ sigma int_0^pi int_0^(2pi) R^2 sin^2 phi R^2 sin phi d phi d theta = sigma R^4 2 pi int_0^pi sin^2 phi sin phi d phi $
risolvendo l'ultimo integrale e sostituendo $sigma = M/S = M/(4 pi R^2)$ si ottiene il risultato noto.
credo che sul mazzoldi nigro voci si usino le coordinate cilindriche, ma la sostanza non cambia
edit: corretta prima riga di integrali
Non ho capito molto il ragionamento di Enr 87...Stavo pensando un altra cosa.
Se suddividiamo la sfera cava in tanti "anellini", ciascuno di loro avra momento d'Inerzia $dI= mr^2$, con r la distanza dall'asse. Quindi pensavo di fare una cosa del genere
$\int x^2 dm =\int x^2 \sigma 2\pi r dx = \int_{-R}^R x^2\sigma 2\pi \sqrt(R^2-x^2)dx$
Cosa c'è che non va in questo ragionamento?
Se suddividiamo la sfera cava in tanti "anellini", ciascuno di loro avra momento d'Inerzia $dI= mr^2$, con r la distanza dall'asse. Quindi pensavo di fare una cosa del genere
$\int x^2 dm =\int x^2 \sigma 2\pi r dx = \int_{-R}^R x^2\sigma 2\pi \sqrt(R^2-x^2)dx$
Cosa c'è che non va in questo ragionamento?
ti ripeto, non ci perdo neanche tempo (non per cattiveria, ma non ne vale assolutamente la pena) perchè ci sono metodi standard che studierai in qualche corso di analisi che ti permettono di arrivare a quei risultati. al momento ti sembrano integrali fatti ad hoc, ma non lo sono.
incidentalmente, se la densità fosse una generica funzione dello spazio - il che è ragionevole - molto probabilmente andresti in casino in quel modo
incidentalmente, se la densità fosse una generica funzione dello spazio - il che è ragionevole - molto probabilmente andresti in casino in quel modo
Vorrei riportare breveenovmente il metodo usato dal Mazzoldi e pubblicato da Davide Genova.
$I = \int r^2dm =\int \sigma r^2 dAdr = \int M_{"tot"}/A_{"tot"} r^2 dAdr =\int_0^R M/(4\pi R^2)8\pi R r^2 dr$
Fin qui tutto chiaro. Quello che non capisco di questo metodo è PERCHE INTEGRARE DA O a R? Ponendo l'origine del sistema di riferimento al centro della sfera, l'integrazione dovrebbe essere da -R a R...r rappresenta la distanza dell'elemento di massa infinitesimo dall'asse passante per il centro della sfera no?
Integrano da 0 a r NON ci troviamo solo "un quarto" di sfera?
$I = \int r^2dm =\int \sigma r^2 dAdr = \int M_{"tot"}/A_{"tot"} r^2 dAdr =\int_0^R M/(4\pi R^2)8\pi R r^2 dr$
Fin qui tutto chiaro. Quello che non capisco di questo metodo è PERCHE INTEGRARE DA O a R? Ponendo l'origine del sistema di riferimento al centro della sfera, l'integrazione dovrebbe essere da -R a R...r rappresenta la distanza dell'elemento di massa infinitesimo dall'asse passante per il centro della sfera no?
Integrano da 0 a r NON ci troviamo solo "un quarto" di sfera?
Si integra $\int_{0}^{R} M_{"tot"}/A_{"tot"}r^2(dA)/(dr)dr$ (credo che ti sia dimenticato di scrivere dr sotto a dA, perché si ha che dA=A'(r)dr), da 0 a R, perché stai considerando la massa presente ad ogni distanza r dal centro, presente su ogni coppia di "anelli di spessore infinitesimo" da cui puoi immaginare che la sfera sia composta. Spero di non aver detto stupidate. Le tue domande portano spunti di riflessione interessanti e spero che anche altri più esperti di me (ho fatto il classico e studio queste cose per dieltto) contribuiscano con una risposta. Ciao!
"enr87":
il motivo per cui non lo ritengo un libro adatto ad un primo anno di ingegneria: tutti questi risultati si ottengono con integrali multipli, ma se uno non li fa prima ad analisi non credo ci capisca granchè (ed è solo tempo perso farli a fisica).
il procedimento formale sarebbe questo: visto che la densità è definita solo sulla superficie, si calcola l'integrale di superficie (denoto con $sigma = M/S$ la densità superficiale)
$ int int_M r^2 dm = int int_S r^2 sigma dS$
parametrizzando la sfera in coordinate sferiche otteniamo che il differenziale dS è dato da $R^2 sin(phi) d phi d theta$ (i calcoli sono piuttosto lunghi, quindi non li riporto). l'integrale diventa:
$ sigma int_0^pi int_0^(2pi) R^2 sin^2 phi R^2 sin phi d phi d theta = sigma R^4 2 pi int_0^pi sin^2 phi sin phi d phi $
risolvendo l'ultimo integrale e sostituendo $sigma = M/S = M/(4 pi R^2)$ si ottiene il risultato noto.
credo che sul mazzoldi nigro voci si usino le coordinate cilindriche, ma la sostanza non cambia
edit: corretta prima riga di integrali
Per una sfera piena: integrale triplo con argomento
[R^2*sin^2(φ)] * [R^2*sin(φ)] dr dφ dθ
mi potrebbe spiegare da dove esce fuori il sin^2(φ) nella prima parentesi quadra?
Il resto mi è tutto abbastanza chiaro, è un cambiamento di variabili da coordinate cartesiane a quelle polari.
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