Momento d'inerzia sfera: caccia all'errore
Evidentemente dev'esserci un qualche errore nel mio ragionamento, in quanto non mi viene 2/5 MR^2, quello che invece mi dovrebbe venire
mettiamo l'origine al centro della sfera, sia R il raggio della sfera, r il raggio della "fetta" che varia da 0 a R e x la proiezione di r sull'asse delle ascisse (cioè la distanza della fetta dal centro della sfera. x varia da -R a R.
$\int_{-R}^R x^2 dm=\int_{-R}^{R} x^2\sigma dV =\int_{-R}^R x^2 \sigma r^2\pi dx$. Usando il teorema di pitagora possiamo sostituire r^2 con R^2-x^2:
$I = \int_{-R}^R x^2\sigma (R^2-x^2)\pi dx$. Usandol questa formula dovrei trovarmi il momento di inerzia...e invece no. Dov'è l'errore?
mettiamo l'origine al centro della sfera, sia R il raggio della sfera, r il raggio della "fetta" che varia da 0 a R e x la proiezione di r sull'asse delle ascisse (cioè la distanza della fetta dal centro della sfera. x varia da -R a R.
$\int_{-R}^R x^2 dm=\int_{-R}^{R} x^2\sigma dV =\int_{-R}^R x^2 \sigma r^2\pi dx$. Usando il teorema di pitagora possiamo sostituire r^2 con R^2-x^2:
$I = \int_{-R}^R x^2\sigma (R^2-x^2)\pi dx$. Usandol questa formula dovrei trovarmi il momento di inerzia...e invece no. Dov'è l'errore?
Risposte
dovresti specificare almeno 2 cose se vuoi che qualcuno ti aiuti:
1) momento d'inerzia, rispetto a quale asse?
2) la sfera è piena o la massa è distribuita solo sulla sua superficie?
comunque dal mio punto di vista è un po' rischioso mettersi a fare integrali di volume in quel modo
1) momento d'inerzia, rispetto a quale asse?
2) la sfera è piena o la massa è distribuita solo sulla sua superficie?
comunque dal mio punto di vista è un po' rischioso mettersi a fare integrali di volume in quel modo
Vi ringrazio cmq, ci sono arrivato! praticamente ho sbagliato a non considerare che LA DISTANZA dall'asse di rotazione non è la stessa per tutti i punti della sfera (mi riferivo alla sfera piena).
Ora in verità sto provando a calcolarmi la sfera vuota, suddividendola in tanti "anelli" di spessore infinitesimo. Ciascun anello avrebbe momento d'inerzia
$dI = mr^2 = \sigma 2\pi r dx r^2 = 2\sigma \pi r^3 dx=2\sigma\pi r^2 r dx= 2\sigma \pi (R^2-x^2)\sqrt(R^2-x^2)dx$
Quindi si avrebbe
$I=\int_{-R}^R 2\sigma \pi (R^2-x^2)\sqrt(R^2-x^2)dx=\int_{-R}^R 2\sigma\pi(R^2-x^2)^{3/2}dx$.
Almeno concettualmente vi sembra corretto?
Ora in verità sto provando a calcolarmi la sfera vuota, suddividendola in tanti "anelli" di spessore infinitesimo. Ciascun anello avrebbe momento d'inerzia
$dI = mr^2 = \sigma 2\pi r dx r^2 = 2\sigma \pi r^3 dx=2\sigma\pi r^2 r dx= 2\sigma \pi (R^2-x^2)\sqrt(R^2-x^2)dx$
Quindi si avrebbe
$I=\int_{-R}^R 2\sigma \pi (R^2-x^2)\sqrt(R^2-x^2)dx=\int_{-R}^R 2\sigma\pi(R^2-x^2)^{3/2}dx$.
Almeno concettualmente vi sembra corretto?
Un pò di mwessaggi sono spariti! Come mai?
Ho capito dov'è l'errore...cmq mi riferivo alla sfera piena. L'errore era che ho supposto erroneamente che tutti i punti della sfera abbiano distanza pari a R. Ora ho risolto...
Stavo provando invece con la sfera cava, e sto avendo alcuni problemi...pensavo di integrare in questo modo
E' corretto, almeno in linea di principio? Grazie
Stavo provando invece con la sfera cava, e sto avendo alcuni problemi...pensavo di integrare in questo modo
[math]dI = 2\sigma\pi (R^2-x^2)^(3/2)dx [/math]
E' corretto, almeno in linea di principio? Grazie
eHIAL
ho risposto nell'altro topic, se vuoi puoi darci un'occhiata
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