Momento d'inerzia [Fisica Matematica]

[sici_90]

Ciao a tutti
avrei bisogno di un vostro prezioso aiuto riguardo il calcolo dei momenti d'inerzia di figure piane.
allora partiamo dalla definizione:
$I_x=int_A(rhoy^2)dA$
dove $I_x$è il momento d'inerzia rispetto all'asse x , $rho$è la densità definita come massa diviso area, e y è la distanza del generico punto del corpo dall'asse x.
Ora passiamo ad un'applicazione:calcoliamo i momenti di inerzia rispetto agli assi coordinati della sezione a T

allora possiamo procedere in 2 modi : il primo consiste nel calcolare il momento d'inerzia del rettangolo grande (queelo di base 80 e altezza 100),a questo risultato sottraiamo i momenti d inerzia dei rettangoli aventi base 30 e altezza 80.
oppure la seconda strada è quella di calcolare il momento d'inerzia del rettangolo verticale a cui va sommato quello del rettangolo orizzontale.
allora procediamo con la prima strada
RETTANGOLO GRANDE:
$rho=m/(8000)$
$I_x=rhoint_0^80(dx)int_0^100(y^2dy)=3333.33mcm^2$

RETTANGOLO PICCOLI
i rettangolini di base 30 e altezza 80 hanno momento d'inerzia rispetto all'asse x uguale.
allora:
$rho=m/(2400)$
$I_(x1,2)=rhoint_0^30dxint_0^80(y^2dy)=2133.33mcm^2$
ora calcoliamo il momento d'inerzia totale rispetto all assex
$i_x=3333.33-2(2133.33)=-933.33mcm^2$
ECCO IL PROBLEMONE!!! VIENE NEGATIVO
ora procedo nel secondo modo.
RETTANGOLO VERTICALE
$rho=m/1600$
$I_x=rhoint_30^50dxint_0^80(y^2dy)=2133.33mcm^2$

RETTANGOLO ORIZZONTALE
$rho=m/1600$
$I_(x,1)=rhoint_0^80dxint_80^100(y^2dy)=8133.33mcm^2$
dunque il momento d'inerza totale rispetto all'asse x è:
$I_x=8133.33+2133.33=10266.66mcm^2$
Chiaramente questi 2 risultati dovrebbero coincidere, ma evidentemente non è cosi anche perchè il primo è negativo(cosa impossibile).quindi vorrei sapere dov'è l'errore.

inoltre io ho applicato la definizione di momento di inerzia , tenedno presente chè l'unità di misura deve essere una massa per una lunghezza al quadrato.
tuttavia tale esercizio è svolto in un altro modo ottenendo un risultato in lunghezza alla quarta, cioè i passaggi sono gli stessi che ho eseguito io, solo che in ogni calcolo non è presente la $rho$ e quindi non dividendo per una lunghezza al quadrato e non moltiplicando per una massa si ottiene una lunghezza alla quarta.

ad esempio rifacciamo il primo calcolo
RETTANGOLO GRANDE
$I_x=int_0^80dxint_0^100(y^2dy)=26666666.66cm^4$
RETTANGOLI PICCOLI
$I_x=int_0^30dxint_0^80(y^2dy)=5119999.99cm^4$
quindi il momento di inerzia totale sarà:
$I_x=26 666 666.66-2(5 119 999.99)=16 426 666.66cm^4$

svolgendo anche il secondo metodo in questo modo, ottengo lo stesso risultato.
allora vorrei sapere se poteste motivarmi tale procedimento e vorrei anche sapere dove ho sbagliato nel primo procedimento .
Grazie a tutti.

[Quinzio]

"sici_90":
RETTANGOLO GRANDE:
$rho=m/(8000)$
$I_x=rhoint_0^80(dx)int_0^100(y^2dy)=3333.33mcm^2$

RETTANGOLO PICCOLI
i rettangolini di base 30 e altezza 80 hanno momento d'inerzia rispetto all'asse x uguale.
allora:
$rho=m/(2400)$
$I_(x1,2)=rhoint_0^30dxint_0^80(y^2dy)=2133.33mcm^2$
ora calcoliamo il momento d'inerzia totale rispetto all assex
$i_x=3333.33-2(2133.33)=-933.33mcm^2$
ECCO IL PROBLEMONE!!! VIENE NEGATIVO

Perchè usi la stessa massa $m$ per entrambi i rettangoli, ma sono diverse.
$\rho$ è la stessa per qualsiasi parte dell'oggetto. Non esprimerla in funzione della massa, altrimenti generi confusione.
Prendi $\rho$ come dato di partenza.

[sici_90]

Ok grazie mille,
quindi ottengo tutti i risultati in funzione di $rho$ anzichè m.
per caso potresti darmi altre spiegazioni riguardanti l'ultimo procedimento che ho proposto, quello in centimetri alla quarta.

Vorrei proporti degli altri calcoli: devo determinare i momenti principali centrali d'inerzia e una terna centrale d'inerzia.
allora per quanto riguarda i momenti centrali d'inerzia li ho calcolati mediante il teorema di Huygens-steiner;
fin qui tutto bene, mi trovo con il risultato.
$I_(x,G)=2906666.66rho$
$I_(y,G)=906666.66rho$
procedo con il calcolo del prodotto d'ineria relativo agli assi x y:
$I_(x,y)=-rhoint_0^80xdxint_0^100ydy-(-rhoint_0^30xdxint_0^80ydy)-(-rhoint_50^80xdxint_0^80ydy)=-8320000rho$

come mai viene negativo?il risultato è giusto in valore assoluto ma ovviamente non deve essere negativo.

se tralasciamo questo errore proseguiamo con il calcolo del prodotto d'inerzia rispetto agli assi baricentrali.
tale prodotto d'inerzia è nullo,quindi posso concludere che gli assi centrali sono anche principali d'inerzia e che i momenti centrali sono anche principali d'inerzia.
è tutto giusto?