Momento d'inerzia esercizio di meccanica analitica (Forse Banale)
Ciao a tutti,
matematici e fisici.
Ho pubblicato la foto per farvi capire meglio il problema.
Il problema dice:
Considerare un disco di raggio R e massa m che rotola senza strisciare sull'asse x nel cui centro è incernierato l'estremo A di un'asta di massa m e lunghezza 2R. Disco ed asta si muovono sul piano verticale xy.
Scrivere la lagrangiana del sistema.
Dunque, il problema è particolarmente facile:
Trovo l'energica cinetica rotazionale del disco:
$ T_(rot) = 1/2 I dot(varphi)^2$ dove $ I = 1/2mR^2 $
L'energia traslazione del centro di massa del disco è:
$ T_(tras) = 1/2 m dot(x)^2$
e l'energia cinetica totale del disco è:
$T_(disco) = 1/2 m dot(x)^2 + 1/2 I dot(varphi)^2 = 3/4 m dot(x)^2$ ricordando che: $ R^2dot(varphi)^2 = dot(x)^2$
Fino a qui tutto bene. Ora vado a calcolare l'energia cinetica traslazionale e rotazionale della barra.
Dunque, per l'energia cinetica traslazionale non ho problemi. Non la sto a riportare perché mi ci vorrebbe troppo a spiegare come ho ottenuto le coordinate del centro di massa della barra. Sta di fatto che la mia soluzione è compatibile con quella del professore.
Quando invece vado a calcolare l'energia cinetica rotazionale della barra iniziano i problemi:
La soluzione del professore è questa:
$ T_(rot-Barra) = 1/2 I dot(varphi)^2 = 1/6 m R^2dot(varphi)^2$ con $ I = 1/3 m R^2$
Il problema però è che la barra è lunga $2R$ e non $R$
Con questi dati a me viene:
$ T_(rot-Barra) = 1/2 I dot(varphi)^2 = 2/3 m R^2dot(varphi)^2$ con $ I = 4/3 m R^2$
Dove sbaglio?
Sbaglio io o il professore?
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità!
A presto!
matematici e fisici.
Ho pubblicato la foto per farvi capire meglio il problema.
Il problema dice:
Considerare un disco di raggio R e massa m che rotola senza strisciare sull'asse x nel cui centro è incernierato l'estremo A di un'asta di massa m e lunghezza 2R. Disco ed asta si muovono sul piano verticale xy.
Scrivere la lagrangiana del sistema.
Dunque, il problema è particolarmente facile:
Trovo l'energica cinetica rotazionale del disco:
$ T_(rot) = 1/2 I dot(varphi)^2$ dove $ I = 1/2mR^2 $
L'energia traslazione del centro di massa del disco è:
$ T_(tras) = 1/2 m dot(x)^2$
e l'energia cinetica totale del disco è:
$T_(disco) = 1/2 m dot(x)^2 + 1/2 I dot(varphi)^2 = 3/4 m dot(x)^2$ ricordando che: $ R^2dot(varphi)^2 = dot(x)^2$
Fino a qui tutto bene. Ora vado a calcolare l'energia cinetica traslazionale e rotazionale della barra.
Dunque, per l'energia cinetica traslazionale non ho problemi. Non la sto a riportare perché mi ci vorrebbe troppo a spiegare come ho ottenuto le coordinate del centro di massa della barra. Sta di fatto che la mia soluzione è compatibile con quella del professore.
Quando invece vado a calcolare l'energia cinetica rotazionale della barra iniziano i problemi:
La soluzione del professore è questa:
$ T_(rot-Barra) = 1/2 I dot(varphi)^2 = 1/6 m R^2dot(varphi)^2$ con $ I = 1/3 m R^2$
Il problema però è che la barra è lunga $2R$ e non $R$
Con questi dati a me viene:
$ T_(rot-Barra) = 1/2 I dot(varphi)^2 = 2/3 m R^2dot(varphi)^2$ con $ I = 4/3 m R^2$
Dove sbaglio?
Sbaglio io o il professore?
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità!
A presto!
Risposte
mi sa che hai ragione te
La barra lunga 2R ha un momento rispetto al baricentro di
$M\cdot{4R^2}/{12}$ a cui va aggiunto $MR^2$ per riportarla al centro disco, quindi il momento della sbarra e' $4/3MR^2$.
L'energia cinetica di rotazione e' pertanto $E=1/2I\dot\varphi^2=2/3MR^2\dot\varphi^2$
$M\cdot{4R^2}/{12}$ a cui va aggiunto $MR^2$ per riportarla al centro disco, quindi il momento della sbarra e' $4/3MR^2$.
L'energia cinetica di rotazione e' pertanto $E=1/2I\dot\varphi^2=2/3MR^2\dot\varphi^2$
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