Momento d'inerzia disco non omogeneo

[NM81]

Ho un disco non omogeneo di massa $M$, raggio $R$ e densità superficiale variabile con la distanza $r$ dall'asse: $\sigma(r) = kr$.
Non riesco a trovarne il momento d'inerzia
Procedo così:

$dS = 2\pi rdr$ variazione della superficie
$dm = \sigma(r) dS$ infinitesimo di massa
$I = \int^Rr^2 dm = 2\pikr^5/5$

Dovrebbe essere possibile trovare $k$ e il momento d'inerzia nel risultato del libro è $3/5MR^2$
Avevo tentato $k = M/(2\pi R^3)$ ma una condizione del genere equivarrebbe a dire che il disco e omogeneo... difatti non porta al risultato corretto.
Consigli?

[gordnbrn]

Per trovare $k$ devi imporre:

$M=\int_0^R2\pikr^2dr rarr [k=(3M)/(2\piR^3)]$

Quindi, per trovare $I$:

$I=\int_0^R2\pikr^4dr=(2\pikR^5)/5=3/5MR^2$

[NM81]

Ma certo! Grazie mille