Momento d'inerzia di un corpo quadrato

[Antolepore94]

Ciao! Ho un dubbio riguardo parte di un esercizio che avevo in un esame. Come da foto qui sotto, c'è un corpo quadrato attaccato ad un'asse di rotazione. Era indispensabile per lo svolgimento di questo esercizio, il calcolo del suo momento di inerzia, scomponibile per le quattro aste di lunghezza \(\displaystyle d \) e massa \(\displaystyle M \) di cui è composto:

Asta a dx: \(\displaystyle I_1 = 0 \), asta superiore e inferiore: \(\displaystyle I_2 = 2*(\frac{1}{3}\ Md^2)\)

Qual è il momento d'inerzia dell'asta a sx? Mi hanno detto vagamente che è uguale a quello di un punto materiale, cioé \(\displaystyle Md^2 \) ma non riesco a capirne il motivo.

[seb1]

Detto \(\mathrm{d}l\) l'elemento infinitesimo dell'asta \(\mathcal{C}\) lunga \(L\), supposta omogenea, di massa \(M\) e dunque densità \(\rho=\frac{M}{L}\), si ha: \[\int_\mathcal{C}\rho d^2\mathrm{d}l=\rho d^2\int_\mathcal{C}\mathrm{d}l=\rho d^2L=Md^2\] data, inoltre, la costanza di \(d\).
Ancora: un po' esagerato ma corretto è utilizzare il teorema di Huygens-Steiner: \[I=I_G+Md^2=Md^2\] dove \(I_G\) è il momento d'inerzia riferito alla retta parallela a quella data e passante per il baricentro ed è nullo come hai notato tu per la prima asta verticale.
Ma tutto questo è eccessivo e forse non fa nemmeno capire molto. Quello a cui ti è sufficiente pensare è che il momento d'inerzia è una quantità che tiene conto della distribuzione spaziale di massa relativamente ad un asse di rotazione. Ciò significa, parlando di rotazioni, che ti basta considerare le distanze da tale asse: un punto dotato di massa che si trova ad una distanza \(r\) dall'asse, che si trovi più in "alto" o più in "basso", si comporta sempre alla stessa maniera, ha lo stesso moto. Ma allora, dal momento che tutti i punti dell'asta di sinistra si trovano ad una distanza \(d\) dall'asse, puoi pensare di spostare tali punti lungo la verticale senza alterare il momento d'inerzia. Pensa perciò di traslare/comprimere ogni elemento infinitesimo dell'asta in un unico punto. L'asta aveva inizialmente massa \(M\) e ora che hai schiacciato tutte le sue parti in un unico punto, questo punto avrà ancora massa \(M\). Perciò hai ricondotto il problema al calcolo del momento d'inerzia di un punto materiale di massa \(M\) che dista \(d\) dall'asse di rotazione: esso vale \(Md^2\).
Tutto chiaro?

[Antolepore94]

Si, chiarissimo! Grazie mille!