Momento d'inerzia di un corpo
Ciao a tutti, sono nuovo e spero di aver postato nella giusta sezione... Volevo chiedervi una cosa: io ho inizialmente una figura complessa, da dividere in figure semplici quali triangolo, cerchi, rettangoli ecc. Io di questa figura devo calcolare i momenti d'inerzia d'area di ogni figura, poi le coordinate del baricentro della figura totale e cosi il momento d'inerzia d'area della figura complessa che si misura in metri alla quarta.. La figura si trasforma però adesso in un corpo, di cui so soltanto lo spessore di 10 cm per esempio e il materiale, acciaio per esempio... Io voglio calcolare il momento d'inerzia effettivo che si misura in Kg su metro quadro.... come faccio? Aiutatemi please 
Risposte
"navigatore":
Oh, benissimo, questa è la famosa figura.
E ora, ci dici che cosa devi fare? Ci fai vedere che cosa hai fatto?
Trovato il baricentro $C$ , gli assi aventi origine in $C$ rispetto ai quali devi calcolare i momenti di inerzia, come sono disposti? Sono paralleli agli assi già disegnati?
si sono paralleli agli assi, io ho calcolato l'area di ogni figura, il momento d'inerzia baricentrico di ogni figura elementare, la distanza x ed y tra il baricentro di ogni figura e e il baricentro totale, e relativi momenti d'inerzia d'area riferiti a x e ad y della figura totale con il teorema di trasposizione....mi serve adesso il momento d'inerzia di massa della figura totale
Se ci fai vedere come hai scomposto la figura, e i calcoli che hai fatto, forse è meglio.
Per te è facile sapere che cosa hai fatto, ce l'hai davanti, e io più o meno ho capito, ma non so se hai fatto tutto!
Se hai fatto proprio tutto, non ti resta che fare la somma di tutti i momenti di inerzia propri e di tutti i termini di trasporto. E con ciò, determini il momento di inerzia "di area" ( non di massa! Che c'entra la massa? Dov'è la massa? Finora non la vedo!) rispetto agli assi passanti per $C$ e paralleli agli assi dati.
Poi, ti ho gia detto qualche post fa che se questa figura è semplicemente la figura di base di un solido prismatico alto $H$ , fatto ad es di acciaio, omogeneo, il baricentro sta nella sezione parallela alle basi, posta a metà $H$.
Ma non puoi calcolare il momento di inerzia di massa rispetto ad un asse giacente in questa sezione, senza tener conto che il solido ha un certo spessore! Solo se lo spessore è molto molto piccolo, trascurabile rispetto alle altre dimensioni, puoi supporre che la massa sia distribuita solo sulla superficie!
Hai presente una moneta da 1 Euro? Immagina che sia ancora più schiacciata e quindi abbia diametro maggiore, immagina che sia come una sottile ostia di diametro 10 cm. In questo caso, commettemdo un piccolo errore, puoi trattare questo corpo solido come se fosse un "piano" , quindi tracciare un asse diametrale e dire che rispetto a quest'asse diametrale il momento di inerzia vale (circa) $1/4*M*R^2$ . Ma se la moneta è per esempio ben cicciottella, non puoi fare così!
Ma insomma, si può sapere il testo esatto di questo benedetto esercizio, che ti ha dato il tuo prof?
Per te è facile sapere che cosa hai fatto, ce l'hai davanti, e io più o meno ho capito, ma non so se hai fatto tutto!
Se hai fatto proprio tutto, non ti resta che fare la somma di tutti i momenti di inerzia propri e di tutti i termini di trasporto. E con ciò, determini il momento di inerzia "di area" ( non di massa! Che c'entra la massa? Dov'è la massa? Finora non la vedo!) rispetto agli assi passanti per $C$ e paralleli agli assi dati.
Poi, ti ho gia detto qualche post fa che se questa figura è semplicemente la figura di base di un solido prismatico alto $H$ , fatto ad es di acciaio, omogeneo, il baricentro sta nella sezione parallela alle basi, posta a metà $H$.
Ma non puoi calcolare il momento di inerzia di massa rispetto ad un asse giacente in questa sezione, senza tener conto che il solido ha un certo spessore! Solo se lo spessore è molto molto piccolo, trascurabile rispetto alle altre dimensioni, puoi supporre che la massa sia distribuita solo sulla superficie!
Hai presente una moneta da 1 Euro? Immagina che sia ancora più schiacciata e quindi abbia diametro maggiore, immagina che sia come una sottile ostia di diametro 10 cm. In questo caso, commettemdo un piccolo errore, puoi trattare questo corpo solido come se fosse un "piano" , quindi tracciare un asse diametrale e dire che rispetto a quest'asse diametrale il momento di inerzia vale (circa) $1/4*M*R^2$ . Ma se la moneta è per esempio ben cicciottella, non puoi fare così!
Ma insomma, si può sapere il testo esatto di questo benedetto esercizio, che ti ha dato il tuo prof?
"navigatore":
Se ci fai vedere come hai scomposto la figura, e i calcoli che hai fatto, forse è meglio.
Per te è facile sapere che cosa hai fatto, ce l'hai davanti, e io più o meno ho capito, ma non so se hai fatto tutto!
Se hai fatto proprio tutto, non ti resta che fare la somma di tutti i momenti di inerzia propri e di tutti i termini di trasporto. E con ciò, determini il momento di inerzia "di area" ( non di massa! Che c'entra la massa? Dov'è la massa? Finora non la vedo!) rispetto agli assi passanti per $C$ e paralleli agli assi dati.
Poi, ti ho gia detto qualche post fa che se questa figura è semplicemente la figura di base di un solido prismatico alto $H$ , fatto ad es di acciaio, omogeneo, il baricentro sta nella sezione parallela alle basi, posta a metà $H$.
Ma non puoi calcolare il momento di inerzia di massa rispetto ad un asse giacente in questa sezione, senza tener conto che il solido ha un certo spessore! Solo se lo spessore è molto molto piccolo, trascurabile rispetto alle altre dimensioni, puoi supporre che la massa sia distribuita solo sulla superficie!
Hai presente una moneta da 1 Euro? Immagina che sia ancora più schiacciata e quindi abbia diametro maggiore, immagina che sia come una sottile ostia di diametro 10 cm. In questo caso, commettemdo un piccolo errore, puoi trattare questo corpo solido come se fosse un "piano" , quindi tracciare un asse diametrale e dire che rispetto a quest'asse diametrale il momento di inerzia vale (circa) $1/4*M*R^2$ . Ma se la moneta è per esempio ben cicciottella, non puoi fare così!
Ma insomma, si può sapere il testo esatto di questo benedetto esercizio, che ti ha dato il tuo prof?
il testo esatto non c'è, te l'ho spiegato già...comunque se ci sono tutti questi problemi lasciamo stare che è meglio... io non ho detto di avere la massa, ho detto solo che a fine esercizio mi serve il momento d'inerzia del corpo
Fisico, non ti inalberare ti prego. Sappi che qua sono tutti volontari e navigatore come Quinzio sono riusciti ad esprimere una risposta molto dettagliata nonostante la povertà nei dati della tua domanda.
Detto questo prova a metterti nei panni di chi prova a risponderti...Fin'ora hai chiesto di calcolare il momento d'inerzia di un corpo di cui se ne conosce vagamente la forma!
Ora ti renderai conto anche te che la cosa è molto ardua se non per certi versi assurda!
Io dubito fortemente che il vostro prof. vi abbia dato una figura "schizzata" senza una benchè minima informazione su qualche misura e vi abbia detto di calcolarne il momento d'inerzia!E' una cosa assurda e senza senso!
Allora le cose sono 2:
- O riusciamo in qualche maniera ad entrare nel dettaglio della forma geometrica (che come ben saprai è fondamentale per il calcolo del momento d'inerzia)
- Oppure il prof vi ha detto di farne unicamente una descrizione del procedimento senza formule e senza numeri.
Se riusciamo insieme a risolvere questo punto, forse anche chi ti risponde avrà qualche elemento in più per farti capire i problemi.
Detto questo prova a metterti nei panni di chi prova a risponderti...Fin'ora hai chiesto di calcolare il momento d'inerzia di un corpo di cui se ne conosce vagamente la forma!
Ora ti renderai conto anche te che la cosa è molto ardua se non per certi versi assurda!
Io dubito fortemente che il vostro prof. vi abbia dato una figura "schizzata" senza una benchè minima informazione su qualche misura e vi abbia detto di calcolarne il momento d'inerzia!E' una cosa assurda e senza senso!
Allora le cose sono 2:
- O riusciamo in qualche maniera ad entrare nel dettaglio della forma geometrica (che come ben saprai è fondamentale per il calcolo del momento d'inerzia)
- Oppure il prof vi ha detto di farne unicamente una descrizione del procedimento senza formule e senza numeri.
Se riusciamo insieme a risolvere questo punto, forse anche chi ti risponde avrà qualche elemento in più per farti capire i problemi.
ditemi cosa vi serve precisamente...un disegno quotato?
Vorrei aggiungere questo. Capisco i problemi degli studenti, sono stato studente anch'io. E capisco anche la grossa difficoltà che tutti abbiamo, a esporre problemi e a fornire risposte sul forum.
Pero bisogna rendersi conto che una base minima di discussione, come dice Elwood, ci vuole. Chi risponde a volte dà per scontato che ci siano delle conoscenze acquisite, ma non può stare nella testa di chi chiede, o dei libri o dei prof che pongono quesiti.
Ciò detto, se ancora ti garba avere chiarimenti, riprendiamo con calma la discussione.
Dici che ti serve alla fine il momento di inerzia del corpo.
Quale corpo? Finora abbiamo parlato di una figura piana, e faticosamente siamo riusciti a capire che, trovato il baricentro di questa figura, per esso passano due assi $x$ ed $y$, paralleli agli assi originali dati; mediante calcoli di baricentri delle singole figure componenti, momenti di inerzia "propri" di ciascuna figura rispetto ad assi paralleli a $x$ ed $y$, e momenti di trasporto, si trovano i due momenti di inerzia della figura intera di partenza, rispetto agli assi baricentrici detti. Basta fare delle somme.
Naturalmente diamo per scontato che tutto il procedimento sia stato eseguito correttamente, a meno che come pensa Elwood sia da fornire solo una descrizione del procedimento stesso. Ma anche questa deve essere corretta, ovvio.
Ora, che altro c'è da fare? Sia Quinzio che Elwood e il sottoscritto vorremmo capire quale ulteriore calcolo richiede il problema. Hai parlato di un corpo, una piastra di un certo materiale ed un certo spessore, di cui la figura data è il disegno in pianta delle due facce, superiore ed inferiore.
È così?
E rispetto a quali assi occorre calcolare il momento di inerzia di massa? Questo ancora non mi sembra chiaro.
Pero bisogna rendersi conto che una base minima di discussione, come dice Elwood, ci vuole. Chi risponde a volte dà per scontato che ci siano delle conoscenze acquisite, ma non può stare nella testa di chi chiede, o dei libri o dei prof che pongono quesiti.
Ciò detto, se ancora ti garba avere chiarimenti, riprendiamo con calma la discussione.
Dici che ti serve alla fine il momento di inerzia del corpo.
Quale corpo? Finora abbiamo parlato di una figura piana, e faticosamente siamo riusciti a capire che, trovato il baricentro di questa figura, per esso passano due assi $x$ ed $y$, paralleli agli assi originali dati; mediante calcoli di baricentri delle singole figure componenti, momenti di inerzia "propri" di ciascuna figura rispetto ad assi paralleli a $x$ ed $y$, e momenti di trasporto, si trovano i due momenti di inerzia della figura intera di partenza, rispetto agli assi baricentrici detti. Basta fare delle somme.
Naturalmente diamo per scontato che tutto il procedimento sia stato eseguito correttamente, a meno che come pensa Elwood sia da fornire solo una descrizione del procedimento stesso. Ma anche questa deve essere corretta, ovvio.
Ora, che altro c'è da fare? Sia Quinzio che Elwood e il sottoscritto vorremmo capire quale ulteriore calcolo richiede il problema. Hai parlato di un corpo, una piastra di un certo materiale ed un certo spessore, di cui la figura data è il disegno in pianta delle due facce, superiore ed inferiore.
È così?
E rispetto a quali assi occorre calcolare il momento di inerzia di massa? Questo ancora non mi sembra chiaro.
fino ad ora io ho calcolato momenti d'inerzia d'area, e non di massa, a me servono quelli di massa... in quella foto c'è la pianta del corpo che è spesso 10 cm
Bene, hai un corpo, una piastra di acciaio che è spessa 10 cm. Quella che hai postato è il disegno in pianta del corpo.
1º Domanda : rispetto a quali assi devi calcolare il momento di inerzia di massa?
Ti faccio presente che per ogni punto di un corpo solido, assimilato a "rigido" (ma qui ora non ha molta importanza) passano infiniti assi rispetto ai quali è possibile calcolare il momento di inerzia. Non c'è solo un momento di inerzia.
2ºDomanda : il corpo è omogeneo? Direi di si, ma meglio avere conferma.
3º domanda : lo spessore della piastra, è trascurabile rispetto alle dimensioni della piastra in pianta? Per decidere se è trascurabile o meno, si dovrebbero sapere le dimensioni della pianta.
Ora però mi devi scusare, ma sono costretto a chiudere perché ho da fare. Se qualche volontario vuole proseguire...
1º Domanda : rispetto a quali assi devi calcolare il momento di inerzia di massa?
Ti faccio presente che per ogni punto di un corpo solido, assimilato a "rigido" (ma qui ora non ha molta importanza) passano infiniti assi rispetto ai quali è possibile calcolare il momento di inerzia. Non c'è solo un momento di inerzia.
2ºDomanda : il corpo è omogeneo? Direi di si, ma meglio avere conferma.
3º domanda : lo spessore della piastra, è trascurabile rispetto alle dimensioni della piastra in pianta? Per decidere se è trascurabile o meno, si dovrebbero sapere le dimensioni della pianta.
Ora però mi devi scusare, ma sono costretto a chiudere perché ho da fare. Se qualche volontario vuole proseguire...
Bene, allora visto che giustamente vuoi fare le cose corrette e rigorose, se tu volessi calcolare rigorosamente il momento d'inerzia, per ogni figura dovresti fare il seguente calcolo:
$I_{\bar{a}}= \int_V \mu(\bar{r})*\bar{r}^2dV$
In cui $\bar{a}$ è la retta sulla quale vuoi calcolare il momento d'inerzia, $\mu(V)$ è la densità volumica di massa e $\bar{r}$ rappresenta la distanza del corpo dalla retta considerata.
Ce li hai questi dati? No vero?
Quindi che si fa?
Potremmo azzardare delle supposizioni e dire per esempio che la densità volumica sia costante ed omogenea, pari a $\mu=m/V$ di ogni figura.
Per cui possiamo ridurci allo studio delle figure nel piano $Oxy$.
Per cui ad esempio un rettangolo con un vertice nell'origine degli assi e base ed altezza $b$ e $h$, avrà baricentro dato da $G(b/2,h/2,H/2)$ dove $H$ è lo spessore della figura misurato lungo $z$
A te andare avanti col resto...
$I_{\bar{a}}= \int_V \mu(\bar{r})*\bar{r}^2dV$
In cui $\bar{a}$ è la retta sulla quale vuoi calcolare il momento d'inerzia, $\mu(V)$ è la densità volumica di massa e $\bar{r}$ rappresenta la distanza del corpo dalla retta considerata.
Ce li hai questi dati? No vero?
Quindi che si fa?
Potremmo azzardare delle supposizioni e dire per esempio che la densità volumica sia costante ed omogenea, pari a $\mu=m/V$ di ogni figura.
Per cui possiamo ridurci allo studio delle figure nel piano $Oxy$.
Per cui ad esempio un rettangolo con un vertice nell'origine degli assi e base ed altezza $b$ e $h$, avrà baricentro dato da $G(b/2,h/2,H/2)$ dove $H$ è lo spessore della figura misurato lungo $z$
A te andare avanti col resto...
Giusto per completare (non del tutto) il discorso, faccio l'esempio di un rettangolo, figura piana di lati $L$ e $B$.
Il baricentro è facile da trovare. Fai passare per il baricentro due assi, l'asse $x$ parallelo ad $L$ e l'asse $y$ parallelo a $B$.
I due momenti di inerzia di area del rett. rispetto ad essi sono :
$I_x = 1/(12)*B^3*L = 1/(12)*A*B^2$
$I_y = 1/(12)*B*L^3 = 1/(12)*A*L^2$
dove $A = BL$ è l'area.
Immagina ora che questo rettangolo sia costituito da una lamina molto sottile ed omogenea di un materiale di densità (= massa volumica) $\rho$.
Quindi supponi che lo spessore della lamina sia $s$, molto piccolo rispetto ad $L$ e $B$, chiaro?
Il volume della lamina è :$ V = A*s$ , la sua massa è : $M = \rhoV = \rho*A*s = \rho*BL*s$.
Poichè è molto sottile, dico che posso trascurare qualcosa, cosi.
Il CdM della lamina è a metà di $s$, tra le due facce, cioè a metà del segmento che congiunge i baricentri delle facce.
Per questo CdM, faccio passare un asse $x$, parallelo a quello di prima. Voglio calcolare il m.i. di massa rispetto a questo asse. Che faccio?
Prendo l'espressione di prima : $I_x = 1/(12)*B^3*L = 1/(12)*A*B^2$ , la divido per l'area, e la moltiplico per la massa della lamina. E ottengo il momento di inerzia di massa approssimato della lamina sottile rispetto all'asse detto :
$I_(M,x) = 1/(12)*M*B^2$
Lo stesso posso fare rispetto all'altro asse. Ho trascurato l'effetto dello spessore sul calcolo del m.i.
Ora però un professore mi dice che lo spessore della lamina non è più trascurabile rispetto alle dimensioni dei lati. In effetti la lamina diventa un parallelepipedo di altezza $H$ (perpendicolare rispetto al piano $xy$ ). Il CdM è facile da trovare. Gli assi $x$ ed $y$ giacciono nel piano parallelo alle facce che taglia il parallelepipedo a metà altezza. Come faccio per trovare $I_(M,x)$ ?
Devo eseguire un procedimento di "integrazione", come ti ha detto Elwood. Siccome la densita è costante, la porto fuori l'integrale. Faccio l'integrale, da $-H/2$ a $+H/2$, e ottengo il m.i. di volume. Lo moltiplico per la densità, ed ho quello di massa.
Nel link allegato trovi un esempio di calcolo di questo genere, proprio relativo al parallelepipedo: c'è un paragrafetto in basso, dove è messo il calcolo, che non ricopio. Viene fuori, nel caso in esame :
$I_(M,x) = 1/(12)*M*(B^2 + H^2)$
http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di ... di_inerzia
Io non so se il tuo professore si è reso conto delle difficolta di calcolo (non concettuale!) insite nel problema che vi ha dato. La figura che hai postato non è tanto semplice, devi scomporla adeguatamente, e poi devi fare degli integrali tripli tra i giusti limiti di integrazione per ogni figura.
Non è proprio immediato. Ma è solo noioso. Se poi non sai fare un integrale, non so che dirti. Ciao.
Il baricentro è facile da trovare. Fai passare per il baricentro due assi, l'asse $x$ parallelo ad $L$ e l'asse $y$ parallelo a $B$.
I due momenti di inerzia di area del rett. rispetto ad essi sono :
$I_x = 1/(12)*B^3*L = 1/(12)*A*B^2$
$I_y = 1/(12)*B*L^3 = 1/(12)*A*L^2$
dove $A = BL$ è l'area.
Immagina ora che questo rettangolo sia costituito da una lamina molto sottile ed omogenea di un materiale di densità (= massa volumica) $\rho$.
Quindi supponi che lo spessore della lamina sia $s$, molto piccolo rispetto ad $L$ e $B$, chiaro?
Il volume della lamina è :$ V = A*s$ , la sua massa è : $M = \rhoV = \rho*A*s = \rho*BL*s$.
Poichè è molto sottile, dico che posso trascurare qualcosa, cosi.
Il CdM della lamina è a metà di $s$, tra le due facce, cioè a metà del segmento che congiunge i baricentri delle facce.
Per questo CdM, faccio passare un asse $x$, parallelo a quello di prima. Voglio calcolare il m.i. di massa rispetto a questo asse. Che faccio?
Prendo l'espressione di prima : $I_x = 1/(12)*B^3*L = 1/(12)*A*B^2$ , la divido per l'area, e la moltiplico per la massa della lamina. E ottengo il momento di inerzia di massa approssimato della lamina sottile rispetto all'asse detto :
$I_(M,x) = 1/(12)*M*B^2$
Lo stesso posso fare rispetto all'altro asse. Ho trascurato l'effetto dello spessore sul calcolo del m.i.
Ora però un professore mi dice che lo spessore della lamina non è più trascurabile rispetto alle dimensioni dei lati. In effetti la lamina diventa un parallelepipedo di altezza $H$ (perpendicolare rispetto al piano $xy$ ). Il CdM è facile da trovare. Gli assi $x$ ed $y$ giacciono nel piano parallelo alle facce che taglia il parallelepipedo a metà altezza. Come faccio per trovare $I_(M,x)$ ?
Devo eseguire un procedimento di "integrazione", come ti ha detto Elwood. Siccome la densita è costante, la porto fuori l'integrale. Faccio l'integrale, da $-H/2$ a $+H/2$, e ottengo il m.i. di volume. Lo moltiplico per la densità, ed ho quello di massa.
Nel link allegato trovi un esempio di calcolo di questo genere, proprio relativo al parallelepipedo: c'è un paragrafetto in basso, dove è messo il calcolo, che non ricopio. Viene fuori, nel caso in esame :
$I_(M,x) = 1/(12)*M*(B^2 + H^2)$
http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di ... di_inerzia
Io non so se il tuo professore si è reso conto delle difficolta di calcolo (non concettuale!) insite nel problema che vi ha dato. La figura che hai postato non è tanto semplice, devi scomporla adeguatamente, e poi devi fare degli integrali tripli tra i giusti limiti di integrazione per ogni figura.
Non è proprio immediato. Ma è solo noioso. Se poi non sai fare un integrale, non so che dirti. Ciao.
cedo che è meglio lasciare stare, me lo faccio spiegare dal prof
meglio, così forse ne sapremo anche noi qualcosa in più.
Mi raccomando tienici aggiornati
Mi raccomando tienici aggiornati
va bene
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