Momento d'inerzia di un asta e un corpo al suo interno.
Salve a tutti avevo dei dubbi sul momento d'inerzia di quest'asta rispetto all'asse z:
L'asta ($ m_1 $) è omogenea e ha lunghezza $ l=1.5m $. Il "manicotto" ($ m_2 $) si trova a una distanza di $ l/4 $ dall'asse z, collegato ad esso con un filo teso.
Secondo il libro, il momento d'inerzia è pari a:
Colgo la somiglianza col Teorema di Huygens-Steiner, ma non sono totalmente convinto dal momento del rapporto che c'è tra quella e questa formula dal momento che i due corpi hanno masse diverse e l'asse di rotazione è comunque quello passante sul CM, non quello sul corpo $ m_2 $.
Grazie in anticipo per l'aiuto!
L'asta ($ m_1 $) è omogenea e ha lunghezza $ l=1.5m $. Il "manicotto" ($ m_2 $) si trova a una distanza di $ l/4 $ dall'asse z, collegato ad esso con un filo teso.
Secondo il libro, il momento d'inerzia è pari a:
$ I=(m_1l^2)/12 + m_2(l/4)^2 $
Colgo la somiglianza col Teorema di Huygens-Steiner, ma non sono totalmente convinto dal momento del rapporto che c'è tra quella e questa formula dal momento che i due corpi hanno masse diverse e l'asse di rotazione è comunque quello passante sul CM, non quello sul corpo $ m_2 $.
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Penso che sia giusto il risultato del libro. Devi calcolare il momento di inerzia totale rispetto all'asse z. Quindi scrivi per prima cosa il momento di inerzia della sbarretta intorno a z e poi sommi a questa il momento di inerzia del manicotto (che è uguale al momento di inerzia di un punto materiale, dato che non vengono date informazioni sulla sua forma)
Il risultato è giusto, come spiega Giuseppe.
Il teorema di cui parli tu, va usato in occasioni diverse. Hai per esempio un corpo rigido qualsiasi e vuoi determinare il momento di inerzia di questo corpo non più rispetto all'asse passante per il centro di massa, ma bensì rispetto ad un nuovo asse di rotazione parallelo all'asse passante per il centro di massa (viene chiamato infatti anche teorema degli assi paralleli). Qui invece ti sta semplicemente chiedendo il nuovo momento di inerzia sempre rispetto all'asse z, e basta fare quello che ho detto nel precedente messaggio. Ovviamente con un po di calcoli si può arrivare allo stesso risultato anche col teorema di Steiner: dovresti trovare il momento di inerzia del nuovo centro di massa, la distanza che intercorre tra l'asse z e l'asse passante per il centro di massa e fare quindi i conti. Spero di non aver detto stupidaggini, in tal caso interverrà qualcuno un po più navigato.
Grazie mille, pensavo di aver visto una somiglianza ma mi era sfuggito che il momento d'inerzia di un punto materiale è semplicemente $ I=MR^2 $.
Ci si complica inutilmente la vita, passando attraverso il teorema di HS come descritto. Il m.i. è additivo, va bene la somma dei due termini detti in precedenza, precisando, come ha fatto Giuseppe, che il manicotto è da considerare come un punto materiale, non ha qui un momento di inerzia proprio.
L’asse di rotazione è assegnato, non si discute su questo.
L’asse di rotazione è assegnato, non si discute su questo.
Tuttavia, ora mi viene in mente una domanda: nel caso di un punto materiale che ruota intorno ad un asse, con momento $ I=MR^2 $, R rappresenta dunque la distanza tra il punto materiale e l'asse stesso?
"Parlu10":
Tuttavia, ora mi viene in mente una domanda: nel caso di un punto materiale che ruota intorno ad un asse, con momento $ I=MR^2 $, R rappresenta dunque la distanza tra il punto materiale e l'asse stesso?
Certo, è la definizione di momento di inerzia di un punto materiale rispetto a un asse .
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