Momento d'inerzia corpi inclinati
Ciao a tutti,
Vi scrivo perché non ho capito bene come calcolare il momento d'inerzia dei corpi inclinati rispetto agli assi. Vi mostro un esempio per spiegarmi meglio:
Si consideri un triangolo isoscele. Per essere più precisi, una maglia triangolare isoscele formata da tre aste saldate tra loro.
Dati
-Massa totale = $m$
- Il lato $bar(BC)$ misura $l$ ed ha massa $m/5$
- I lati $bar(AB)$ e $bar(AC)$ misurano $2l$ ed hanno massa $2/5m$ ciascuno
- Gli angoli ai vertici $B$ e $C$ hanno ampiezza $beta$, e da semplici calcoli risulta che $sin(beta)= sqrt(15/16)$
- L'angolo al vertice $A$ ha ampiezza $2alpha$, e da semplici calcoli risulta che $sin(alpha)= 1/4$.
Obiettivo:
Devo calcolare il momento d'inerzia dell'asta $bar(AC)$ rispetto all'asse $y$.
Non so come fare sinceramente. Dal libro vedo che fa così:
Soluzione del libro:
Il momento d'inerzia dell'asta $bar(AC)$ rispetto all'asse $y$ passante per $O$ è:
$I_(yy)^O = I_(x'x')^A cos^2(alpha) + I_(y'y')sin^2(alpha)= I_(y'y')sin^2(alpha)$
Dove $x'$ è l'asse identico alla retta sulla quale giace l'asta in questione, e l'asse $y'$ è l'asse passante per $A$ e perpendicolare a tale retta.
Domanda:
Qualcuno saprebbe spiegarmi l'ultima equazione? Ho capito cosa fa (proietta i momenti d'inerzia rispetto agli assi non inclinati), tuttavia non l'ho capito a tal punto da poterlo applicare bene autonomamente in altre situazioni.
Vi scrivo perché non ho capito bene come calcolare il momento d'inerzia dei corpi inclinati rispetto agli assi. Vi mostro un esempio per spiegarmi meglio:
Si consideri un triangolo isoscele. Per essere più precisi, una maglia triangolare isoscele formata da tre aste saldate tra loro.
Dati
-Massa totale = $m$
- Il lato $bar(BC)$ misura $l$ ed ha massa $m/5$
- I lati $bar(AB)$ e $bar(AC)$ misurano $2l$ ed hanno massa $2/5m$ ciascuno
- Gli angoli ai vertici $B$ e $C$ hanno ampiezza $beta$, e da semplici calcoli risulta che $sin(beta)= sqrt(15/16)$
- L'angolo al vertice $A$ ha ampiezza $2alpha$, e da semplici calcoli risulta che $sin(alpha)= 1/4$.
Obiettivo:
Devo calcolare il momento d'inerzia dell'asta $bar(AC)$ rispetto all'asse $y$.
Non so come fare sinceramente. Dal libro vedo che fa così:
Soluzione del libro:
Il momento d'inerzia dell'asta $bar(AC)$ rispetto all'asse $y$ passante per $O$ è:
$I_(yy)^O = I_(x'x')^A cos^2(alpha) + I_(y'y')sin^2(alpha)= I_(y'y')sin^2(alpha)$
Dove $x'$ è l'asse identico alla retta sulla quale giace l'asta in questione, e l'asse $y'$ è l'asse passante per $A$ e perpendicolare a tale retta.
Domanda:
Qualcuno saprebbe spiegarmi l'ultima equazione? Ho capito cosa fa (proietta i momenti d'inerzia rispetto agli assi non inclinati), tuttavia non l'ho capito a tal punto da poterlo applicare bene autonomamente in altre situazioni.
Risposte
Nella dispensa allegata, leggi il paragrafo 1.10 a pag 34 (ma conviene leggere prima tutto quello che precede, se non sei molto avvezzo a certi concetti) , dove è spiegato come si trova il m.i. di un corpo rispetto ad assi inclinati. Il tuo corpo è l’asta AC .
http://www.unife.it/interfacolta/design ... ee%201.pdf
http://www.unife.it/interfacolta/design ... ee%201.pdf
"Kanal":
http://www.unife.it/interfacolta/design ... ee%201.pdf
Grazie mille. E' notevole considerando che è un PDF di un corso di laurea in Architettura e non di Fisica o Ingegneria.
Si, ma la geometria delle masse è sempre la stessa, sia per uno studente di fisica, che di ingegneria, che di architettura o altri corsi. Naturalmente ci sono sul web dispense e corsi anche a livello più avanzato, per es quello di V. Franciosi, tratto dal suo testo di Scienza delle Costruzioni; o meno, per esempio dei corsi per geometri. Ma la base è la stessa.
Volendo, potresti calcolare anche direttamente il m.i. dell’asta AC , inclinata di $alpha$ rispetto all’asse y ; c’è un piccolo integrale da fare.
Volendo, potresti calcolare anche direttamente il m.i. dell’asta AC , inclinata di $alpha$ rispetto all’asse y ; c’è un piccolo integrale da fare.
Io a fisica roba del genere non l'ho mai vista, la conosco perché mi sono studiato in po' di Costruzioni da solo
Non pensavo! Effettivamente so poco del corso di laurea in Architettura.
Per quanto riguarda l'integrale:
$ int_(0)^(l)(sin(alpha) s)^2 rho ds $
Che ne dite?
Per quanto riguarda l'integrale:
$ int_(0)^(l)(sin(alpha) s)^2 rho ds $
Che ne dite?
Va bene. Io l’ho fatto con l’altro metodo, e trovo in definitiva :
$M/3L^2 sen^2alpha$
che è in accordo con la soluzione del tuo libro.
$M/3L^2 sen^2alpha$
che è in accordo con la soluzione del tuo libro.
Si anche io
$ int_(0)^(L) ρ x^2 sin(theta)^2dx =M/3L^2 sin(theta)^2$
$ int_(0)^(L) ρ x^2 sin(theta)^2dx =M/3L^2 sin(theta)^2$
Vi ringrazio
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