Momento di'inerzia di un cono
Ho trovato la seguente difformità che non mi spiego. Qualcuno può aiutarmi a venirne a capo?
Abbiamo un cono omogeneo (densità $\rho$) retto di altezza $h$ e raggio della base $b$. Il vertice è posto nell'origine del sistema di riferimento e l'asse $z$ è l'asse del cono. Voglio calcolare il baricentro ed il momento d'inerzia rispetto all'asse $z$ usando due metodi: il primo consiste nello svolgere semplicemente gli integrali tripli; il secondo nel considerare il cono come formato da tanti dischi sottili sovrapposti di area $A=\pi r^2$ ( dove $r=\frac{R}{h}z$) e volume elementare $dV=\pi r^2 dz$.
Ovviamente
$$V=\frac{1}{3} \pi R^2 h$$
$$\rho=\frac{3m}{\pi R^2 h} $$
BARICENTRO
Primo metodo:
$$z_g=\frac{1}{m} \int \rho zdV =\frac{1}{V}\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \left [ \int_{z=0}^{z=h}z\left ( \int_{r=0}^{r=\frac{R}{h}z} r dr \right ) dz \right ]d \theta= \frac{3}{4}h $$
Secondo metodo:
$$z_g=\frac{1}{m} \int \rho zdV =\frac{1}{V}\int_{z=0}^{z=h}z\pi r^2 dz=\frac{1}{V}\int_{z=0}^{z=h}z\pi \left ( \frac{R}{h}z \right )^2 dz=
\frac{\pi R^2}{V h^2}\int_{z=0}^{z=h}z^3 dz= \frac{3}{4}h$$
---------------------------------------------------------------------------------------------
MOMENTO D'INERZIA
Primo metodo:
$$I_z= \int \rho (x^2+y^2)dV =\rho \int r^2 dV =\rho\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \left [ \int_{z=0}^{z=h}\left ( \int_{r=0}^{r=\frac{R}{h}z} r^3 dr \right ) dz \right ]d \theta= \frac{3}{10}m R^2 $$
Secondo metodo:
$$I_z= \int \rho (x^2+y^2)dV =\rho \int r^2 dV = \rho\int_{z=0}^{z=h} r^2 \pi r^2 dz=\rho \pi \int_{z=0}^{z=h} \left ( \frac{R}{h}z \right )^4dz=\frac{\rho \pi R^4}{h^4}\int_{z=0}^{z=h} z^4dz=\frac{3}{5}m R^2 $$
Come vedete nel caso del momento d'inerzia, il secondo metodo da' un risultato sbagliato, solo che non riesco a capirne il motivo (a me sembra di aver applicato tutto correttamente). Qualcuno sa spiegarmi dove ho sbagliato.
Ps ho capito come si calcola il momento d'inerzia applicando il "momento di inerzia elementare" del disco quindi vorrei solo sapere dove ho sbagliato nell'applicazione. Grazie.
Abbiamo un cono omogeneo (densità $\rho$) retto di altezza $h$ e raggio della base $b$. Il vertice è posto nell'origine del sistema di riferimento e l'asse $z$ è l'asse del cono. Voglio calcolare il baricentro ed il momento d'inerzia rispetto all'asse $z$ usando due metodi: il primo consiste nello svolgere semplicemente gli integrali tripli; il secondo nel considerare il cono come formato da tanti dischi sottili sovrapposti di area $A=\pi r^2$ ( dove $r=\frac{R}{h}z$) e volume elementare $dV=\pi r^2 dz$.
Ovviamente
$$V=\frac{1}{3} \pi R^2 h$$
$$\rho=\frac{3m}{\pi R^2 h} $$
BARICENTRO
Primo metodo:
$$z_g=\frac{1}{m} \int \rho zdV =\frac{1}{V}\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \left [ \int_{z=0}^{z=h}z\left ( \int_{r=0}^{r=\frac{R}{h}z} r dr \right ) dz \right ]d \theta= \frac{3}{4}h $$
Secondo metodo:
$$z_g=\frac{1}{m} \int \rho zdV =\frac{1}{V}\int_{z=0}^{z=h}z\pi r^2 dz=\frac{1}{V}\int_{z=0}^{z=h}z\pi \left ( \frac{R}{h}z \right )^2 dz=
\frac{\pi R^2}{V h^2}\int_{z=0}^{z=h}z^3 dz= \frac{3}{4}h$$
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MOMENTO D'INERZIA
Primo metodo:
$$I_z= \int \rho (x^2+y^2)dV =\rho \int r^2 dV =\rho\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \left [ \int_{z=0}^{z=h}\left ( \int_{r=0}^{r=\frac{R}{h}z} r^3 dr \right ) dz \right ]d \theta= \frac{3}{10}m R^2 $$
Secondo metodo:
$$I_z= \int \rho (x^2+y^2)dV =\rho \int r^2 dV = \rho\int_{z=0}^{z=h} r^2 \pi r^2 dz=\rho \pi \int_{z=0}^{z=h} \left ( \frac{R}{h}z \right )^4dz=\frac{\rho \pi R^4}{h^4}\int_{z=0}^{z=h} z^4dz=\frac{3}{5}m R^2 $$
Come vedete nel caso del momento d'inerzia, il secondo metodo da' un risultato sbagliato, solo che non riesco a capirne il motivo (a me sembra di aver applicato tutto correttamente). Qualcuno sa spiegarmi dove ho sbagliato.
Ps ho capito come si calcola il momento d'inerzia applicando il "momento di inerzia elementare" del disco quindi vorrei solo sapere dove ho sbagliato nell'applicazione. Grazie.
Risposte
Ciao, posso sbagliare ma credo che l'errore nel secondo calcolo del momento d'inerzia sia qua:
Ponendo $x^2+y^2=r^2$ di fatto non tieni conto della distribuzione di massa tra l'asse $z$ e la circonferenza che delimita la base del disco infinitesimo, in altre parole come se ci fosse massa soltanto sulla superficie del cono. Almeno mi pare.
"Angfox999":
\[ I_z= \int \rho (x^2+y^2)dV =\rho \int r^2 dV \]
Ponendo $x^2+y^2=r^2$ di fatto non tieni conto della distribuzione di massa tra l'asse $z$ e la circonferenza che delimita la base del disco infinitesimo, in altre parole come se ci fosse massa soltanto sulla superficie del cono. Almeno mi pare.
"Palliit":
Ciao, posso sbagliare ma credo che l'errore nel secondo calcolo del momento d'inerzia sia qua: [quote="Angfox999"]\[ I_z= \int \rho (x^2+y^2)dV =\rho \int r^2 dV \]
Ponendo $x^2+y^2=r^2$ di fatto non tieni conto della distribuzione di massa tra l'asse $z$ e la circonferenza che delimita la base del disco infinitesimo, in altre parole come se ci fosse massa soltanto sulla superficie del cono. Almeno mi pare.[/quote]
No, perchè $ r$ è la variabile "raggio vettore". In altri termini passando da coordinate cartesiani ortogonali a coordinate cilindriche otteniamo:
$$\left\{\begin{matrix}
x= r \cos \theta\\ y= r \sin \theta \
\\ z=z
\end{matrix}\right.$$
Da cui $$x^2+y^2= r^2\left ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right )=r^2$$
E poi se la posizione non fosse giusta anche il primo metodo sarebbe stato sbagliato....Ma può darsi solo che sia stato molto fortunato.
Sì ma nel primo metodo integri anche rispetto a $dr$ da $r=0$ a $r=R/h*z$, cioè dall'asse al bordo. Nel secondo no.
In pratica è come se avessi calcolato il momento d'inerzia di un "guscio" conico....
Quindi nel caso di baricentro mi trovo perchè il baricentro di un cono "pieno" e di un "guscio conico" coincidono?
No perchè in un guscio conico avresti una densità superficiale e non volumica. Il secondo metodo che hai messo in atto potrebbe essere gestito così: il momento di inerzia di ogni disco infinitesimo è $dI=1/2r^2 rho dV$ (momento di inerzia di un disco di raggio $r$), che integrato ponendo, come hai fatto, $dV=pi r^2 dz$ dovrebbe darti appunto la metà di quello che hai trovato, cioè il valore corretto. Salvo errori miei, ovviamente.
"Palliit":
No perchè in un guscio conico avresti una densità superficiale e non volumica. Il secondo metodo che hai messo in atto potrebbe essere gestito così: il momento di inerzia di ogni disco infinitesimo è $dI=1/2r^2 rho dV$ (momento di inerzia di un disco di raggio $r$), che integrato ponendo, come hai fatto, $dV=pi r^2 dz$ dovrebbe darti appunto la metà di quello che hai trovato, cioè il valore corretto. Salvo errori miei, ovviamente.
Grazie, questo metodo che mi indichi è l'unico che finora ho trovato.
Io avevo letto queste pagine che riporto:
Non ho ben capito cosa intenda quando dice che "i vari integrali possono essere ricavati integrando rispetto a z che
varia tra 0 e h le rispettive grandezze calcolate per un disco (rispetto a un polo e a un’asse opportuni).
Purtroppo riporta solo i risultati e non i calcoli.
Credo che sia il metodo che hai riportato tu (anche se non ne sono sicuro). Grazie comunque
Direi che "le rispettive grandezze calcolate per un disco" siano appunto i momenti di inerzia dei dischi infinitesimi, non credi?
purtroppo non ho ancora capito dov'è l'errore...o almeno ho capito dov'è ma non so esattamente il motivo per cui è un errore. Per calcolare il momento d'inerzia devo passare per i momenti d'inerzia "infinitesimi" dei dischi di spessore infinitesimo. Mentre per calcolare, ad esempio, il baricentro, non è necessario...mi sa che calcolo tutto con gli integrali tripli e sto tranquillo.
Credo di aver capito l'errore di fondo. Ponendo direttamente $dV= \pi r^2 dz$ ho "bypassato" il calcolo dell'integrale doppio della funzione $x^2+y^2$ sul dominio del disco, così come richiesto dall'integrazione per strati. Quest'ultimo integrale è proprio il momento d'inerzia del disco.
Il calcolo esatto dovrebbe essere questo:
Il dominio è $ 0 \leq z\leq h \quad,\quad x^2+y^2\leq r^2= \frac{R^2}{h^2}z ^2 $
Quindi:
$$ I_z=\rho \int \left ( x^2+y^2 \right )dD=\rho \int_{0}^{h} \left [ \iint_{x^2+y^2\leq \left ( \frac{R}{h}z \right )^2} \left ( x^2+y^2 \right ) dx dy\right ] dz $$
L'integrale in parentesi quadra è proprio il momento d'inerzia (di figura) rispetto all'asse $z$ del disco di spessore infinitesimo:
$$I_{z}^{disco}=\iint_{x^2+y^2\leq \left ( \frac{R}{h}z \right )^2} \left ( x^2+y^2 \right ) dx dy=\frac{1}{2} \pi r^4$$
Quindi:
$$I_z=\rho \int_{0}^{h} I_{z}^{disco} dz=\rho \int_{0}^{h} \frac{1}{2} \pi r^4 dz=\rho \int_{0}^{h} \frac{1}{2} \pi \left ( \frac{R}{h}z \right )^4 dz =\frac{3}{10} mr^2$$
Pertanto qualora fosse noto (come lo è ;P) il momento d'inerzia di un disco rispetto all'asse z il calcolo risulta semplificato.
Il dominio è $ 0 \leq z\leq h \quad,\quad x^2+y^2\leq r^2= \frac{R^2}{h^2}z ^2 $
Quindi:
$$ I_z=\rho \int \left ( x^2+y^2 \right )dD=\rho \int_{0}^{h} \left [ \iint_{x^2+y^2\leq \left ( \frac{R}{h}z \right )^2} \left ( x^2+y^2 \right ) dx dy\right ] dz $$
L'integrale in parentesi quadra è proprio il momento d'inerzia (di figura) rispetto all'asse $z$ del disco di spessore infinitesimo:
$$I_{z}^{disco}=\iint_{x^2+y^2\leq \left ( \frac{R}{h}z \right )^2} \left ( x^2+y^2 \right ) dx dy=\frac{1}{2} \pi r^4$$
Quindi:
$$I_z=\rho \int_{0}^{h} I_{z}^{disco} dz=\rho \int_{0}^{h} \frac{1}{2} \pi r^4 dz=\rho \int_{0}^{h} \frac{1}{2} \pi \left ( \frac{R}{h}z \right )^4 dz =\frac{3}{10} mr^2$$
Pertanto qualora fosse noto (come lo è ;P) il momento d'inerzia di un disco rispetto all'asse z il calcolo risulta semplificato.
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