Momento di inerzia semidisco
forse mi potete aiutare nel calcolo del momento di inerzia di un semidisco rispetto all' asse che lo taglia in due parti uguali..
a me viene (MR^2)/8.. è possibile?
e rispetto all' asse x ? (posto che sia appoggiato su quest' asse nel punto della semicirconferenza che incontra la perpendicolare al punto medio del diametro di "base")
il secondo caso non sono riuscito neanche ad impostarlo..
a me viene (MR^2)/8.. è possibile?
e rispetto all' asse x ? (posto che sia appoggiato su quest' asse nel punto della semicirconferenza che incontra la perpendicolare al punto medio del diametro di "base")
il secondo caso non sono riuscito neanche ad impostarlo..
Risposte
Se conosci il momento d’inerzia di un disco $I_(p,c)$ la cosa è immediata, per simmetria tutte e due sono $I_(p,c)/4$
Infatti:
$I_(p,c)=2*I_x+2*I_y=m (\pi R^4)/2$
quindi per il semidisco:
$I_x=I_y=m (\pi* R^4)/8=M R^2/4$; $M=m(\pi* R^2)/2$ massa totale del semidisco, $m$ massa per unità di area.
Se vuoi calcolare direttamente, ad es. $I_x$, conviene utilizzare le coordinate polari.
Tenento conto che il momento d’inerzia è uguale a una massa per un distanza al quadrato: $I=m*d^2$, abbiamo
$I_x=\int_{\Omega} y^2 * m* dA=\int_{0}^{R}\int_0^\pi (r*sin \theta)^2* m *(r*dr*d\theta)=m (\pi * R^4)/8= M R^2/4$
Infatti:
$I_(p,c)=2*I_x+2*I_y=m (\pi R^4)/2$
quindi per il semidisco:
$I_x=I_y=m (\pi* R^4)/8=M R^2/4$; $M=m(\pi* R^2)/2$ massa totale del semidisco, $m$ massa per unità di area.
Se vuoi calcolare direttamente, ad es. $I_x$, conviene utilizzare le coordinate polari.
Tenento conto che il momento d’inerzia è uguale a una massa per un distanza al quadrato: $I=m*d^2$, abbiamo
$I_x=\int_{\Omega} y^2 * m* dA=\int_{0}^{R}\int_0^\pi (r*sin \theta)^2* m *(r*dr*d\theta)=m (\pi * R^4)/8= M R^2/4$
grazie mille, ma se conosco quella del disco, non dovrebbe essere Ip,c/2? perchè devo dividere per 4 per il semidisco?
Iy mi viene per il disco (MR^2)/4 e per il semidisco (MR^2)/8..
l'Ix non so come fare perchè non c'è simmetria rispetto all'asse x.. il semidisco si trova tutto sopra x e rovesciato.. quoindi avevo pensato di calcolare Ix calcolando il momento di inerzia del semidisco rispetto al baricentro che si trova a 4 R/ 3 p greco e utilizzare poi huingens per traslare l'asse a cui è riferito il momento di inerzia, il problema è che non so come impostare l'integrale per trovare il momento rispetto al baricentro..
l'Ix non so come fare perchè non c'è simmetria rispetto all'asse x.. il semidisco si trova tutto sopra x e rovesciato.. quoindi avevo pensato di calcolare Ix calcolando il momento di inerzia del semidisco rispetto al baricentro che si trova a 4 R/ 3 p greco e utilizzare poi huingens per traslare l'asse a cui è riferito il momento di inerzia, il problema è che non so come impostare l'integrale per trovare il momento rispetto al baricentro..
Esplicita $M = m*A$; $m$ massa per unità di superficie e $A$ area, del disco o del semidisco, e vedrai che i conti dovrebbero tornare.
Per il calcolo di $I_{xg}$ rispetto al baricentro:
$I_{xg}= Ix-m*A*y_g^2=m(\pi * R^4)/8-m*(\pi*R^2)/2*((4*R)/(3\pi))^2=m*(\pi/8-8/(9\pi))*R^4$
SE&O
Per il calcolo di $I_{xg}$ rispetto al baricentro:
$I_{xg}= Ix-m*A*y_g^2=m(\pi * R^4)/8-m*(\pi*R^2)/2*((4*R)/(3\pi))^2=m*(\pi/8-8/(9\pi))*R^4$
SE&O
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