Momento di inerzia sbarra non omogenea

[Qwerty79]

Sto provando a risolvere il seguente esercizio:

Una sbarretta di sezione trascurabile ha lunghezza L e densità variabile
da un estremo (preso come origine) secondo la legge ρ(x) = ax,
essendo a una costante. Qual'è il momento di inerzia rispetto a tale estremo estremo?

ma non sono convinto di averlo impostato bene.
Prima mi calcolo la \(M= \int_0^L ax\ \text{d} x =\frac{aL^2}{2}\ \)
poi il centro di massa che dovrebbe valere $ 2/3L$

ed ora non so come procedere, son tentato di applicare $I=Mr^2$ ma cosi facendo ottengo $M4/9L^2$ ma no è una delle risposte possibili date come soluzione. Dove sto sbagliando? ammesso che ci sia qualche cosa di giusto?

Grazie
Sergio

[Qwerty79]

Forse ho trovato, ho sbagliato tutto
$p(x)= ax$
$p=m/V$ ma $V=L$ quindi $p=m/L$
( int_V r^2 ext{d} m) quindi sostituendo $dm$ con $pdL$ abbiamo
( int_0^L x^2p ext{d} x = int_0^L x^2ax ext{d} x = aint_0^L x^3x ext{d} x )
$=aL^4/4$ essendo $m=pL=ax^2$ abbiamo che $I=mL^2/4$

Secondo voi è giusto ?

[Shackle]

Non del tutto. La densità varia linearmente con la lunghezza , quindi la relazione corretta da scrivere è: $rho = (dm) /(dx) =ax$ , dove $a $ è una costante di dimensioni $[ML^-2]$. Perciò il momento di inerzia elementare vale:

$dI = dm*x^2$

e quindi integrando: $ I = int_0^L ax^3dx= aL^4/4$ : questo è corretto.

Ma la massa si ottiene integrando $ dm =rho *dx = axdx$ sulla lunghezza, e si ha :

$M = aL^2/2$

Quindi si può dire che: $ I = ML^2/2$ .