Momento di inerzia, dubbio su passaggio matematico
Salve forum.
Studiando come si ricava il momento di inerzia riferito all'asse di simmetria in un semplice cilindro, ho cercato varie informazioni sulla Rete per cercare di capire il ragionamento effettuato. Mi riferisco a questi link:
http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di ... rpo_rigido
http://www.ba.infn.it/~palano/chimica/b ... index.html
Nel secondo link scrollate fino al sottoparagrafo "3.6.6 Momento d'inerzia di un cilindro".
Seguendo il ragionamento del secondo link, per arrivare alla soluzione si considerano infiniti gusci cilindrici attorno all'asse di rotazione, che in questo caso coincide con l'asse di simmetria del cilindro, i quali verranno poi sommati assieme in un integrale. Fin qui è tutto chiaro. Quello che non torna, incredibilmente, sono proprio i calcoli preliminari. Cioè, dato un guscio cilindrico, io mi aspetto che il suo volume (qui $dV$) sia dato dall'area della corona che forma sul piano xy moltiplicata per l'altezza, dove l'unica cosa che varia è $dR$, cioè la variazione infinitesima del raggio che, nel calcolo integrale, si "accorcia" fino a 0.
Il volume di un guscio cilindrico generico è dato da $dV = h\pi (R^2-r^2) = h\pi (R-r)\cdot(R+r)$, dove $h$ è l'altezza del cilindro, $R$ è il raggio maggiore e $r$ è il raggio minore, più interno nel guscio. Da questa equazione, considerando $R-r = dR$ e $r = R-dR$, cioè la differenza fra i raggi come infinitesima, dovrebbe venire fuori che il volume infinitesimo sarebbe $dV = h\pi dR\cdot(R+R-dR) = 2Rh\pi dR - h\pi(dR)^2$, che differisce dal risultato esposto sul sito ($dV = 2Rh\pi dR$) per quel termine $- h\pi(dR)^2$, con cui non so come comportarmi.
È possibile ignorare il termine $(dR)^2$ e porlo uguale a zero in virtù del fatto che sia un infinitesimo? Oppure mi sfugge qualcosa?
Studiando come si ricava il momento di inerzia riferito all'asse di simmetria in un semplice cilindro, ho cercato varie informazioni sulla Rete per cercare di capire il ragionamento effettuato. Mi riferisco a questi link:
http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di ... rpo_rigido
http://www.ba.infn.it/~palano/chimica/b ... index.html
Nel secondo link scrollate fino al sottoparagrafo "3.6.6 Momento d'inerzia di un cilindro".
Seguendo il ragionamento del secondo link, per arrivare alla soluzione si considerano infiniti gusci cilindrici attorno all'asse di rotazione, che in questo caso coincide con l'asse di simmetria del cilindro, i quali verranno poi sommati assieme in un integrale. Fin qui è tutto chiaro. Quello che non torna, incredibilmente, sono proprio i calcoli preliminari. Cioè, dato un guscio cilindrico, io mi aspetto che il suo volume (qui $dV$) sia dato dall'area della corona che forma sul piano xy moltiplicata per l'altezza, dove l'unica cosa che varia è $dR$, cioè la variazione infinitesima del raggio che, nel calcolo integrale, si "accorcia" fino a 0.
Il volume di un guscio cilindrico generico è dato da $dV = h\pi (R^2-r^2) = h\pi (R-r)\cdot(R+r)$, dove $h$ è l'altezza del cilindro, $R$ è il raggio maggiore e $r$ è il raggio minore, più interno nel guscio. Da questa equazione, considerando $R-r = dR$ e $r = R-dR$, cioè la differenza fra i raggi come infinitesima, dovrebbe venire fuori che il volume infinitesimo sarebbe $dV = h\pi dR\cdot(R+R-dR) = 2Rh\pi dR - h\pi(dR)^2$, che differisce dal risultato esposto sul sito ($dV = 2Rh\pi dR$) per quel termine $- h\pi(dR)^2$, con cui non so come comportarmi.
È possibile ignorare il termine $(dR)^2$ e porlo uguale a zero in virtù del fatto che sia un infinitesimo? Oppure mi sfugge qualcosa?
Risposte
"Astonish":
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È possibile ignorare il termine $(dR)^2$ e porlo uguale a zero in virtù del fatto che sia un infinitesimo? Oppure mi sfugge qualcosa?
Puoi ignorarlo in quanto è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dR.
Grazie, è proprio quello che immaginavo. È che il testo nel link pone quel $dV$ in maniera quasi banale di fronte al lettore e non specifica questa cosa che, si, forse sarà banale, ma può creare un minimo di confusione.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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