Momento di inerzia, differenze nella rotazione.

[tmox]

Buona sera. Avrei una domanda concernente il Momento di Inerzia che mi sta assillando.

Si abbiano due oggetti con differente momento di inerzia rispetto un asse passante per il centro di massa, oppure si abbia uno stesso oggetto e si considerino due differenti assi di inerzia (principali o non) di quest'ultimo.

Per quale motivo, a parità di momento meccanico applicato, l'accelerazione angolare sarà diversa?

Non ho bisogno di formule, tutti i procedimenti matematici che portano alla definizione dei momenti di inerzia sono per me chiari. Sto cercando una spiegazione intuitiva, poiché non riesco a capire cosa accade a livello pratico. Trattiamo dunque la rotazione di corpi con distribuzioni di massa diverse: perché a parità di momento meccanico l'accelerazione rotazionale sarà differente?

[donald_zeka]

L'accelerazione angolare è diversa proprio perché la distribuzione di massa è diversa...ossia i due corpi hanno una diversa inerzia rotazionale, intendendo con inerzia rotazionale la capacità di opporsi ad una rotazione.

[tmox]

"Vulplasir":intendendo con inerzia rotazionale la capacità di opporsi ad una rotazione.

Buona sera

Questa definizione è ok. Il mio dubbio sta nel capire come la distribuzione di massa determini una differente opposizione al moto di rotazione. Cosa accade nella materia?

[donald_zeka]

Alla materia non accade nulla. Allora, l'equazione $M=Ialpha$, non è una equazione fondamentale della dinamica, come accade per la seconda legge di Newto $F=ma$, infatti $M=Ialpha$ non è altro che la riformulazione della legge di Newton in forma ANGOLARE
Parti quindi dalla $F=ma$, per semplicità considera una massa puntiforme di massa $m$ VINCOLATA a ruotare attorno ad un asse distante $R$ dalla massa stessa, e supponi che sulla massa $m$ agisca una forza $F$ perpendicolare al raggio vettore $R$. La massa subirà una accelerazione tangenziale $a$ in base all'equazione $F=ma$, sappiamo però che l'accelerazione tangenziale $a$ e l'accelerazione angolare $alpha$ sono legate dalla relazione $a=Ralpha$, quindi possiamo scrivere $F=malphaR$, come vedi, essendo $F$ e $m$ costanti, l'accelerazione angolare $alpha$ e la distanza dall'asse di rotazione $R$ sono inversamente proporzionali, pertanto se tu allontanti la massa dall'asse, ossia se aumenti R, di conseguenza diminuirà $alpha$, adesso considera ancora la relazione $F=malphaR$, moltiplica a sinistra e destra per R e ottieni:
$FR=malphaR^2$; che cos'é $FR$? È il momento delle forze agenti sul sistema, quindi $FR=M$, che cos'è $mR^2$, è il momento di inerzia della massa m rispetto all'asse distante R e quindi $I=mR^2$, quindi si ottiene $M=Ialpha$. Quindi, il fatto che aumenti il momento di inerzia, non significa altro che aumenta la distanza della massa m dall'asse di rotazione, dato che il momento di inerzia è proporzionale a $R^2$, ma per quanto detto prima se R aumenta allora $alpha$ diminuisce, ed ecco spiegato il perché il momento di inerzia influenza l'accelerazione angolare. Questo che ho detto è valido per un punto materiale $m$, se però consideri un corpo solido come una somma di infiniti punti materiali m, ognuno ad una certa distanza dall'asse di rotazione, vedi che a parità di momento sibirà una accelerazione angolare maggiore il corpo i cui infiniti punti di cui è composto hanno mediamente una distanza minore dall'asse di rotazione, e questa, chiamiamola "distanza media" è quantificata dal momento di inerzia.

[tmox]

"Vulplasir":se però consideri un corpo solido come una somma di infiniti punti materiali m, ognuno ad una certa distanza dall'asse di rotazione, vedi che a parità di momento sibirà una accelerazione angolare maggiore il corpo i cui infiniti punti di cui è composto hanno mediamente una distanza minore dall'asse di rotazione, e questa, chiamiamola "distanza media" è quantificata dal momento di inerzia.

Ok, dunque se ho ben capito c'è di mezzo una questione di "spazio" percorso. A parità di forza applicata, e quindi di accelerazione tangenziale, la massa più vicina all'asse di rotazione percorre un "angolo" maggiore rispetto la massa più esterna, e credo questa differenza si avverta anche nel contesto dell'accelerazione angolare.

Poniamo però un caso: si abbiano due cilindri di uguale raggio e massa, ma uno di essi sia cavo. Si applichi ad entrambi lo stesso momento meccanico: entrambi avranno le particelle più esterne ad uguale distanza dall'asse di rotazione, quindi perché mai uno dei cilindri dovrebbe ruotare con minor accelerazione angolare rispetto l'altro?

[donald_zeka]

Ma quei cilindri non hanno le stesse particelle esterne alla stessa distanza. Prendi 2 cilindri, entrambi di massa M e raggio R, uno omogeneo pieno e un'altro cavo. La massa del primo è distribuita omogeneamente attorno all'asse, la massa del secondo invece è distribuita tutta in una superficie cilindrica a distanza R dall'asse (essendo cavo), quindi il secondo ha tutta la massa M distante R dall'asse di rotazione, mentre il primo ne ha solo una piccolissima parte a distanza R, dato che tutta la massa M è distribuita omogeneamente attorno all'asse. Quindi il secondo avrà un momento di inerzia maggiore perché TUTTE le particelle che formano la massa totale M sono a distanza R, mentre nel primo SOLO una piccolissima parte dell'intera massa M è a distanza R, tutto il resto della massa è distribuita a distanza $r

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[tmox]

Direi che sei stato chiaro. Grazie!

Vorrei aggiungere una riflessione. Se avessimo un corpo rigido a forma di semi disco (dunque un disco a metà) e applicassimo una forza al vertice, vedremmo il corpo traslare e ruotare in funzione della sua distribuzione di massa. Un disco normale che ruota è la somma di due semi dischi, ognuno messo in moto da una forza (quindi nel complesso agisce una coppia), e poiché sono giuntati la traslazione è nulla.. Ciò che resta è la rotazione, domata dai momenti di inerzia di ogni semi disco, e quindi nel complesso dal momento di inerzia del disco.. potremmo metterla in questi termini?

Grazie ancora!

[donald_zeka]

Non capisco cosa intendi, quale sarebbe il vertice di un semidisco? e questo semidisco è imperniato da qualche parte? Rispetto a cosa ruota? Stessa cosa per il disco, è vincolato a ruotare attorno al suo centro? Dove sono applicate le forze?

[tmox]

"Vulplasir":Non capisco cosa intendi, quale sarebbe il vertice di un semidisco? e questo semidisco è imperniato da qualche parte? Rispetto a cosa ruota? Stessa cosa per il disco, è vincolato a ruotare attorno al suo centro? Dove sono applicate le forze?

Ok, mi spiego meglio. Condivido anche un'immagine per essere più chiaro. Si consideri un semidisco sospeso nella spazio (niente gravità!), e si applichi una forza tangenziale alla semicirconferenza nel suo punto medio. Questo corpo traslerà e ruoterà attorno al centro di massa.

Nel caso di un disco (questa volta incernierato) al quale si applichi una coppia, è come se avessimo due semidischi come quello precedente. Ognuno tende a comportarsi come il semidisco libero nello spazio, ma stavolta, essendo i due semidischi uniti a formare un disco completo, la traslazione è nulla (forze uguali ed opposte). Dunque resta la rotazione. Giusto? E' un modo un pò più approfondito di intendere la rotazione di un corpo, considerando gli effetti dovuti al momento di inerzia.

[donald_zeka]

Si mi pare giusto ma non vedo quale utilità ci sia nel considerare un disco come due semidischi uniti

[tmox]

"Vulplasir":Si mi pare giusto ma non vedo quale utilità ci sia nel considerare un disco come due semidischi uniti

Il fatto è che mentre risolvevo il mio dubbio iniziale (grazie alla tua spiegazione), me ne sorgeva un altro.

Parlando del cilindro cavo, mi sono accorto che non saprei spiegare (microscopicamente) per quale motivo questo ruota se sottoposto all'effetto di una coppia.

Mi spiego:

Si abbiano due masse puntiformi connesse da un asta sottile. Si applichi una coppia al sistema. La rotazione sarà facilmente spiegabile: l'effetto della forza centrale che si manifesta attraverso l'asta porta le masse a percorrere una traiettoria circolare.

E nel caso del disco? Inizialmente tendevo a vedere i punti ove sono applicate le forze della coppia come le due masse, il diametro del disco che unisce tali masse era il braccio, e il resto del disco ruotava poiché "trasportato". Eppure questa spiegazione non è valida nel caso di un anello. All'interno di esso non c'è materiale, e quindi nessun diametro fisico che possa esercitare una forza centrale! Allora come come ruota? Ecco perché avevo provato a ragionare con i semidischi. Intuitivamente so bene che disco e anello ruoteranno, ma non riesco a dimostrarlo.

Potresti aiutarmi a comprendere cosa accade nel materiale?

Praticamente la domanda è: cosa porta il disco, e l'anello, a ruotare. Come si manifestano le forze interne nei due casi? Ruotano per lo stesso motivo o vi sono effetti differenti?

Grazie davvero.

[donald_zeka]

Si tratta di corpi rigidi, e la definizione di corpo rigido è quella di un corpo composto da punti materiali le cui distanza relative non variano nel tempo. Se te prendi due masse puntiformi, esse da sole non sono un corpo rigido, perché esercitando una forza su una, si allontanano, se però le colleghi con un'asta sottile, diventeranno un corpo rigido perché l'asta eserciterà le forze sufficienti a mantenere costanti le loro distanze relative. Se prendi un cilindro cavo, esso è già un corpo rigido, se tu applichi una forza in un certo punto, quel punto non si allontanerà dagli altri perché è un tutt'uno con il corpo rigido, sono le forze interne al corpo rigido che lo tengono insieme e lo fanno ruotare senza scomporsi, e fanno si che sia un corpo rigido secondo la definizione.

[tmox]

Prendiamo il disco. Consideriamo il suo diametro, sia esso parallelo alle forze della coppia applicata sulla circonferenza. Cosa accade alla fila di atomi subito sopra il diametro e quella subito sotto di easo per far si che "ruotino"? Questo e' quello che sto cercando di immaginare.

[tmox]

Prendiamo il disco. Consideriamo il suo diametro, sia esso parallelo alle forze della coppia applicata sulla circonferenza. Cosa accade alla fila di atomi subito sopra il diametro e quella subito sotto di esso per far si che "ruotino"? Questo e' quello che sto cercando di immaginare.

[donald_zeka]

Puoi vederla così, $m_1$ e $m_2$ sono due particelle del corpo rigido in questione vicolato a ruotare attorno a $O$ e i trattini tra di loro sono forze di adesione microscopiche intermolecolari, se si esercita una forza $F$ su $m_2$, allora affinché $m_1$ ruoti solidalmente con $m_2$ (dato che è un corpo rigido), le forze di adesione eserciteranno una forza $R$ su $m_1$ che le farà acquistare la stessa velocità angolare di $m_2$, ossia la velocità angolare dell'intero corpo rigido.

[tmox]

Si, ma non mi riferivo a questo. Nella seguente immagine penso sia più chiaro:

Immagina la coppia applicata al disco raffigurato. In pratica la parte superiore del disco è spinta verso destra, mentre quella inferiore verso sinistra. Perché ruota? Verrebbe spontaneo immaginare delle forze centrali, dirette come il diametro congiungente punti estremi del disco, tale da far ruotare ogni massa puntiforme. E invece credo di no, infatti nel caso di un anello, all'interno abbiamo il vuoto ---> niente forze centrali! Allo stesso modo consideriamo due particelle nei dintorni del diametro (come illustrato nell'immagine), ovvero una particella si trova sopra e l'altra si trova sotto il diametro. Se ragionassimo in base alla loro coesione, dovremmo aspettarci un moto circolare con diametro pari alla congiungente delle due particelle. Invece no, le particelle, facenti parte del disco, percorrono la circonferenza mentre questo ruota.

Ho riflettuto su questa cosa, e sono giunto ad una conclusione: la coesione tra le particelle induce moti circolari molto vari nelle varie porzioni del disco, tuttavia ogni moto circolare è influenzato dagli altri. In definitiva nel corpo rigido si instaura un sistema di forze complessive (derivanti dalle migliaia di interazioni di coesione) tale da "mettere d'accordo" tutte le molecole e farle ruotare secondo uno schema specifico, che poi è quello del tipico disco che ruota.

In altre parole, così come due forze sommate danno una risultante, in questo caso penso che le varie forze centrali diano pari modo un moto "risultante" che complessivamente è la rotazione attorno al baricentro.

Forse per te è scontato, anzi sicuramente è così, ma io ho dovuto rifletterci sopra

[donald_zeka]

In altre parole, così come due forze sommate danno una risultante, in questo caso penso che le varie forze centrali diano pari modo un moto "risultante" che complessivamente è la rotazione attorno al baricentro.

Si, in linea generale è così. Non si può sapere per bene cosa succede a livello microsopico, sappiamo solo che in un corpo rigido appunto le particelle sono "fortemente legate tra di loro", e questo legame non si instaura solo in direzione radiale tra due particelle, ma ogni particella è legata in maniera forte a tutte quelle che la circondano, puoi considerare come esempio tante particelle discrete unite da aste sottili e rigide tra di loro, queste aste fanno si che le particelle resti unite nel moto e trasmettono il moto alle particelle adiacenti. Chiaramente le forze di coesione tra le particelle di un corpo rigido hanno anche dei limiti, ti basti pensare al titanic. Quando affondò, la nave cominciò ad assumere una posizione che tendeva alla verticale, di sotto agiva la pressione dell'acqua che tendeva a farla ruotare, di sopra agiva la forza peso della nave stessa, la nave comincò a ruotare e arrivata ad un certo punto si spezzò in due, questo perché le forze di coesione tra le particelle del metallo di cui era fatta potevano esercitare delle forze che arrivavano fino ad un certo punto, ma dato che le forze necessarie da esercitare tra le particelle perché la nave ruotasse come un unico corpo rigido erano troppo forti, la nave si spezzò. Per esempio, se tu prendi tante palline di una certa massa e le incolli insieme con della colla e fai ruotare il tutto, noti che le palline non si scompongono ma restano unite grazie alla forza della colla, però se te aumenti di molto la velocitò angolare, aumenta anche la forza che la colla deve esercitare per mantenere unite le palline nel moto, prima o poi però se continui ad aumentare la velocità di rotazione, le palline si staccheranno perché la forza della colla non è sufficiente a garantire a tutte le palline lo stesso moto.