Momento di inerzia di una calotta sferica rispetto al CdM

Newton_1372
http://img10.imageshack.us/i/calottasferica.png/

La prima cosa è sapere dove si TROVA il centro di massa, e già qui mi blocco. Per simmetria si ha che l'ascissa deve essere nulla (considerando l'origine al centro della prima "fetta". Usando la definizione
$(\int ydm)/(\int dm)=(\int r\tan\theta\sigma 2\pi\rdrdy)/(\int \sigma 2\pi r dr dy) = (\int r^2\tan\theta drd(r\tan\theta))/(\int r dr d(rtan\theta))$
Da un lato so che teta varia da 0 a pigreca/2, e che il raggio varia da r a 0. Però coi calcoli mi trovo bloccato...per esempio come mi destreggio con quel drtan theta? Devo integrare PRIMA su theta e dopo su r?

Risposte
enr87
ma tutti questi problemi te li danno a fisica 1? a me pare molto strano, anche qui ci sono da usare integrali di superficie (doppi) e non credo tu sia in grado di farli attualmente. secondo me ti stai intestardendo troppo, così perdi veramente molto tempo

Quinzio
La prima cosa è sapere dove si TROVA il centro di massa,


Se tagli la calotta in fette orizzontali è tutto molto più snello.

Supponendo che il materiale sia di peso unitario, il peso di una fetta orizzontale è:

[tex]A = \pi (R-z)^2[/tex]

A questo punto fai l'integrale ponendo la coordinata z del centro di massa come incognita ([tex]CM_z[/tex]).
[tex]\int_{0}^{R} A(z-CM_z) \ dz[/tex]

Calcoli l'integrale e il risultato lo poni a zero.

Newton_1372
Ehm...la calotta è CAVA:) e poi perchè porre tutto a O?:|

Quinzio
"newton_1372":
Ehm...la calotta è CAVA:) e poi perchè porre tutto a O?:|

Ok, se la calotta è cava modifica il mio "A" in modo opportuno.

Poni tutto a zero perchè l'integrale ti calcola il momento torcente dell'oggetto imperniato sul punto CM. Se il punto CM è il baricentro, il momento torcente è zero.

Newton_1372
mA NON si potrebbe usare la definizione?

Quinzio
Certo.

Newton_1372
OK Ho provato a farlo. Vi prego di correggere quello che scrivo e dirmi dove sbaglio, piuttosto che di postare i calcoli al completo per conto vostro...mi piacerebbe capire dove sbaglio quando imposto quegli integrali...

Allora ho pensato che la massa infinitesima è data da
$dm=\sigma dV =\sigma 2\pi R\sin\theta dx dy = \sigma 2\pi R\sin\theta R\cos\theta(-R)\sin\theta$

Avendo impostato x=R sin theta e y = R cos theta.L'integrale del centro di massa dunque sarebbe

$y_c=\frac{\int y dm}{\int dm} = \frac{\int_0^\phi \sigma 2\pi R^4\sin^2\theta\cos^2\theta}{\int_0^\phi \sigma 2\pi R^3\sin^2\theta\cos\theta}$

Ditemi se in linea di principio è giusto

http://img816.imageshack.us/i/calottasferica.png/

Ah nel caso sia giusto c'è un dubbio che mi assilla...ho differenziato x e y. Siccome un integrale (in funzione di theta) si scrive sempre $\int f(\theta) d\theta$ mi chiedevo, visto che il termine $d\theta$ qui non compare, se quell'integrale abbia un senso...

Newton_1372
up

Quinzio
Abbi pazienza, questa calotta com'è fatta ?
Ha uno spessore ? E' una superficie ideale ? Ha una massa che si può esprimere come grammi al metro quadro ?

In qualsiasi modo tu calcoli il $ \int dm $ che altro non è che la superficie della calotta, ti deve risultare metà della superficie della sfera.

Newton_1372
E' una calotta sferica CAVA di spessore dr...a dire il vero in generale è sempre dV a crearmi qualche problema. Ah, la calotta NON E EMISFERICA, è definita semplidemente di raggio r

Falco5x
Ah beh, ecco come centellinare la verità a piccole dosi! :lol:

Però che significa il momento d'inerzia rispetto al cdm? Il momento di inerzia scalare è definito quando si stabilisce un asse di rotazione, non un punto. Forse volevi dire il momento d'inerzia rispetto a un asse qualsiasi passante per il cdm? e di questa calotta sferica (che poi in realtà è una sfera intera cava di spessore piccolissimo, se ho capito bene) si conosce la massa totale o la densità?

Newton_1372
Per quello non c'è nessun problema-..è infatti definito unvmomento di inerzia POLARE rispetto a un punto, e so come calcolarlo...(basta prendere la distanza dal punto invece della distanza dall'asse).

Il miop problema è determinarmi il centro di massa (ignorerei volentieri questo problema, se non fosse per il fatto che mi rendo conto di non SAPER USARE il calcolo integrale. Capisco che a postare tutto il calcolo completo può risultare difficile e pesante da leggere, per cui facciamo (se mi consentite) a piccole dosi. Comincio con l'indicare LA MASSA infinitesima.

Allora. Divido la mia calottina in tanti anelli di spessore infinitesimo. Posso scrivere

$dm = \sigma dV = \sigma 2\pi\x dx dy$.

E' giusto teoricamente? E se indico con $x = R_{"sf"}\cos\theta $ e con $y=R_{"sf"}\sin \theta$ la massa dm verrebbe

(1) $dm=2\pi R\cos\theta (-R\sin\theta)R\cos\theta d\theta $

Date un occhiata alla (1) e ditemi se è giusto...

Falco5x
Scusa ma continuo a non capirci niente. Probabilmente sono tardo di comprendonio, colpa mia. Spero mi perdonerai se ti chiedo chiarimenti.
Per prima cosa non capisco il momento d'inerzia polare (o non mi ricordo a che serve). Il momento d'inerzia serve di solito a calcolare il momento angolare o l'energia cinetica rotazionale di un solido che ruota, e poiché la rotazione avviene sempre attorno a un asse (fisso o variabile che sia), di solito serve calcolare il momento d'inerzia attorno a quell'asse; io davvero non so a che serve la definizione di momento polare come lo chiami tu, dunque ti pregherei di spiegarmelo.
In secondo luogo non sono sicuro di aver capito come è fatta questa calotta sferica. Dici che è cava ma non è una emisfera... dunque è una sfera intera? è come la buccia di un'arancia senza la polpa? Ma se fosse così è evidente che il centro di massa sarebbe il centro della sfera, mentre se ti poni il problema di come calcolarlo allora non è così, dunque io non ho capito davvero nulla, e se non mi dai qualche chiarimento non posso certo andare avanti in nessun ragionamento.

Newton_1372
Allora, è una calotta VUOTA di spessore dx che non è grande QUANTO UN EMISFERA...ma è un pò meno oppure un pò di piu. Facciamo una cosa, io posto un altro disegno ancora (questa volta credo di averlo fatto piu bene che mai, ci ho messo tre ore! Ecco il link

http://img703.imageshack.us/i/calottabis.png/

Allora provo di nuovo a scrivere dm. Correggetemi se sbaglio

(1) $dm = \sigma dV = \sigma 2\pi x dx dy$
(2) $ x = R\sin\phi$ e $y = R\cos\phi$
(3) $ dx = R\cos\phi$ e $dy = -R\sin\phi$
(4) $ dm = \sigma 2\pi R\sin\phi R\cos\phi(-R\sin\phi)$

Mi correggete questi 4 espressioni? Fin qui c'è errore?

Falco5x
Ci sono diversi errori, basta vedere che nella formula finale c'è un'uguaglianza nella quale a primo membro c'è un differenziale, mentre a secondo membro c'è una funzione e non un altro differenziale.

Analizzo passo per passo.

La prima relazione deve essere $dm=\sigmadA$ dove dA è l'area infinitesima (e non il volume) e $\sigma$ è la massa per area unitaria o densità d'area.

La seconda relazione è giusta.

La terza relazione è sbagliata, perché mancano dei $d\phi$ a secondo membro, e in ogni caso non va preso il dx ma l'x. E' conveniente infatti immaginare la calotta affettata in fette sottilissime di spessore dy. Ciascuna fetta ha spessore dy ma circonferenza pari a $2\pix$.

La quarta relazione è sbagliata. L'area di ciascuna fetta è pari dunque a $dA=2\pixdy=2\piRsin\phidy=-2\piRsin\phiRsin\phid\phi$. In questo modo si vede che il differenziale d'area è il differenziale di una semplice funzione della sola variabile $\phi$, e quindi è integrabile. Alla fine dunque si ha $dm=-2\pi\sigmaR^2sin^2\phid\phi$

Newton_1372
Ma non tieni conto dello spessore infinitesimo della calotta sferica? dx sarebbe lo spessore della palla...si vede dall'immagine...devo però riconoscere che così i calcoli diventano MOLTO piu semplici...

Falco5x
"newton_1372":
Ma non tieni conto dello spessore infinitesimo della calotta sferica? dx sarebbe lo spessore della palla...si vede dall'immagine...devo però riconoscere che così i calcoli diventano MOLTO piu semplici...

dx non è lo spessore della calotta. Lo spessore della calotta chiamalo $\Deltas$, e non è variabile con x o con $phi$, ma è costante su tutta la superficie. Se hai la densità superficiale $\sigma$, questo già tiene conto dello spessore. Mi spiego meglio. Supponiamo che tu invece conosca la densità classica di volume $\rho$, tale per cui sia $dm=\rhodV$. Siccome sai che $dV=\DeltasdA$ puoi anche scrivere $dm=\rho\DeltasdA$. Allora basta definire la densità di superficie come $\sigma=\rho\Deltas$ e il tutto diventa $dm=\sigmadA$. Questo è possibile farlo perché lo spessore è costante, dunque la $\sigma$ è costante. Se così non fosse occorrerebbe conoscere la funzione $\sigma(\phi)$, ma anche in questo caso il dm potrebbe comunque essere espresso come funzione dell'unica variabile $\phi$, anche se verrebbe più complicato.

Newton_1372
Ringrazio davvero davvero tanto...sei stato illuminante falco! Non chiudete il post, faccio calcolettini e poi posto per eventuali correzioni

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