Momento di inerzia di un cilindro
Buongiorno a tutti!
Il professore di Fisica ha lasciato alla classe il compito di calcolare il momento di inerzia di un cilindro di lunghezza L e raggio R, che ruota attorno ad un asse ortogonale alla lunghezza e passante per il centro di massa. Il problema è che io essendo stato assente alla lezione non ho idea di come si possa calcolare il momento di inerzia di un corpo che non sia un disco.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Il professore di Fisica ha lasciato alla classe il compito di calcolare il momento di inerzia di un cilindro di lunghezza L e raggio R, che ruota attorno ad un asse ortogonale alla lunghezza e passante per il centro di massa. Il problema è che io essendo stato assente alla lezione non ho idea di come si possa calcolare il momento di inerzia di un corpo che non sia un disco.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
Classe, compito...vai al liceo o all'università? Che vi danno i compiti per casa ora?
Ciao! Iniziare provando con la definizione di MI potrebbe essere un'idea, no?
Qual è la definizione di momento di inerzia rispetto a un asse di una distribuzione continua di massa?
Qual è la definizione di momento di inerzia rispetto a un asse di una distribuzione continua di massa?
"Vulplasir":
Classe, compito...vai al liceo o all'università? Che vi danno i compiti per casa ora?
Università, e sì, ci lasciano i compiti
E comunque noi ci reputiamo una classe visto che gli iscritti in fisica sono esigui
"singularity":
Ciao! Iniziare provando con la definizione di MI potrebbe essere un'idea, no?
Qual è la definizione di momento di inerzia rispetto a un asse di una distribuzione continua di massa?
Il libro lo riporta come $\int h^2 dm$ ma non saprei cosa scegliere come $h^2$ e cosa scegliere come estremi di integrazione
Allora probabilmente devi cambiare libro...
Prova a dare un'occhiata qui, nella parte chiamata"Corpo rigido" lo calcola esplicitamente (rispetto all'asse del cilindro però!). Se avessi ancora dubbi posta pure qui e cerchiamo di fugarli
Prova a dare un'occhiata qui, nella parte chiamata"Corpo rigido" lo calcola esplicitamente (rispetto all'asse del cilindro però!). Se avessi ancora dubbi posta pure qui e cerchiamo di fugarli
Potresti pensare di affettare il cilindro perpendicolarmente all'asse, ottenendo tanti dischi.
Per un disco, di spessore infinitesimo, trovi il momento d'inerzia rispetto a un diametro, parallelo all'asse di rotazione del cilindro.
Dopo di che trasli il MI trovato alla distanza a cui si trova il disco utilizzando Huygens-Steiner, e integri sulla lunghezza del cilindro.
Per un disco, di spessore infinitesimo, trovi il momento d'inerzia rispetto a un diametro, parallelo all'asse di rotazione del cilindro.
Dopo di che trasli il MI trovato alla distanza a cui si trova il disco utilizzando Huygens-Steiner, e integri sulla lunghezza del cilindro.
"mgrau":
Potresti pensare di affettare il cilindro perpendicolarmente all'asse, ottenendo tanti dischi.
Per un disco, di spessore infinitesimo, trovi il momento d'inerzia rispetto a un diametro, parallelo all'asse di rotazione del cilindro.
Potrei chiederti la cortesia di illustrarmi come si calcola il momento di inerzia da te indicato. Purtroppo ho alcune lacune sul calcolo infinitesimale, e non idea di come fare.
Per il resto ho capito, grazie
Il momento d'inerzia di un disco di massa m e raggio R rispetto a un diametro è $1/4mR^2$. La massa è data dalla densità per il volume, cioè $m = rho pi R^2 dx$ se x è la direzione secondo l'asse, quindi $I = 1/4 rho pi R^4 dx$.
Questo va traslato ad una generica distanza x dal centro, con HS, e bisogna aggiungere $mR^2 = rho pi R^4 dx$.
In totale, $I = 5/4rho pi R^4 dx$
Se la lunghezza del cilindro è $L$, questo va integrato fra $-L/2$ e $L/2$
Poi puoi scrivere $rho = M/V = M/(piLR^2)$, metti tutto insieme... e spero di non aver scritto troppe cavolate
Questo va traslato ad una generica distanza x dal centro, con HS, e bisogna aggiungere $mR^2 = rho pi R^4 dx$.
In totale, $I = 5/4rho pi R^4 dx$
Se la lunghezza del cilindro è $L$, questo va integrato fra $-L/2$ e $L/2$
Poi puoi scrivere $rho = M/V = M/(piLR^2)$, metti tutto insieme... e spero di non aver scritto troppe cavolate
"mgrau":
Il momento d'inerzia di un disco di massa m e raggio R rispetto a un diametro è $1/4mR^2$.
Come si ottiene questo momento di inerzia?
Provando, a me viene così:
$I=\int_{-R}^{R} r^2 dm $ sapendo che la densità lineare $\lambda = {dm}/{dA} \to dm=\lambda dA$ e sapendo che $A=\pi r^2 \to dA=2 \pi dr$ quindi $\int_{-R}^{R} r^2 dm = \int_{-R}^{R} 2 \pi \lambda dr = 2 \pi \lambda 2 \int_{0}^{R} r^2 dr$ che svolgendo i conti viene $2/3 M R^2$
Dov'è che sbaglio?
Considera un cerchio , di raggio $R$ , riferito a due assi cartesiani $(x,y)$ passanti per il centro $G$ , che è anche baricentro.
Il cerchio è omogeneo per ipotesi, quindi i momenti di inerzia di massa si ottengono calcolando quelli di area , e moltiplicando alla fine per la densità superficiale.
Evidentemente , $I_x = I_y$ per ragioni di simmetria . Tutti gli assi passanti per $G$ sono assi di simmetria .
Considera un'area elementare di una corona circolare, di raggio $r$ (variabile da $0$ a $R$ ) data da :
$dA = 2\pirdr $
Il suo momento di inerzia polare elementare, rispetto a $G$ , è dato da : $dI = 2\pir^3dr$ . Integrando da $0$ ad $R$ ottieni il momento polare del cerchio rispetto ad $G$ :
$I_G = piR^4/2$
come puoi verificare facilmente. Ma il cerchio è un sistema piano , e per i sistemi piani , dato un polo $O$ nel piano e una coppia di assi cartesiani ortogonali $(x,y)$ passanti per il polo $O$ , risulta : $I_O = I_x + I_y $
Inoltre, per la simmetria polare del cerchio si ha, nel riferimento prima detto con origine in $G$ ;
$piR^4/2 = I_G = I_x + I_y = 2 I_x$
da cui : $ I_x = piR^4/4 $ .
Questa formula vale per qualunque diametro.
Moltiplicando per la densità superficiale $lambda = M/A = M/ (piR^2$ , si ottiene il momento di inerzia di massa rispetto a un qualunque diametro :
$I_x = MR^2/4$ .
Hai scritto l'area della corona circolare come : $dA = 2pidr $ , anziché $2pirdr$ .
E poi, devi integrare da $0$ ad $R$ , non da $-R$ a $+R$ .
Il cerchio è omogeneo per ipotesi, quindi i momenti di inerzia di massa si ottengono calcolando quelli di area , e moltiplicando alla fine per la densità superficiale.
Evidentemente , $I_x = I_y$ per ragioni di simmetria . Tutti gli assi passanti per $G$ sono assi di simmetria .
Considera un'area elementare di una corona circolare, di raggio $r$ (variabile da $0$ a $R$ ) data da :
$dA = 2\pirdr $
Il suo momento di inerzia polare elementare, rispetto a $G$ , è dato da : $dI = 2\pir^3dr$ . Integrando da $0$ ad $R$ ottieni il momento polare del cerchio rispetto ad $G$ :
$I_G = piR^4/2$
come puoi verificare facilmente. Ma il cerchio è un sistema piano , e per i sistemi piani , dato un polo $O$ nel piano e una coppia di assi cartesiani ortogonali $(x,y)$ passanti per il polo $O$ , risulta : $I_O = I_x + I_y $
Inoltre, per la simmetria polare del cerchio si ha, nel riferimento prima detto con origine in $G$ ;
$piR^4/2 = I_G = I_x + I_y = 2 I_x$
da cui : $ I_x = piR^4/4 $ .
Questa formula vale per qualunque diametro.
Moltiplicando per la densità superficiale $lambda = M/A = M/ (piR^2$ , si ottiene il momento di inerzia di massa rispetto a un qualunque diametro :
$I_x = MR^2/4$ .
"Simjap98":
Provando, a me viene così:
$ I=\int_{-R}^{R} r^2 dm $ sapendo che la densità lineare $ \lambda = {dm}/{dA} \to dm=\lambda dA $ e sapendo che $ A=\pi r^2 \to dA=2 \pi dr $ quindi $ \int_{-R}^{R} r^2 dm = \int_{-R}^{R} 2 \pi \lambda dr = 2 \pi \lambda 2 \int_{0}^{R} r^2 dr $ che svolgendo i conti viene $ 2/3 M R^2 $
Dov'è che sbaglio?
Hai scritto l'area della corona circolare come : $dA = 2pidr $ , anziché $2pirdr$ .
E poi, devi integrare da $0$ ad $R$ , non da $-R$ a $+R$ .
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