Momento di inerzia
calcolare il momento di inerzia di un sistema costituito da un'asta omogenea di lunghezza d e massa ma con agli estremi due sfere omogenee di raggio R e massa ms (i centri delle sfere si trovano sulla retta individuata dall'asta) rispetto ad un asse passante per il centro C dell'asta e a questa ortogonale
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Il momento di inerzia del sistema è dato dal momento di inerzia dell'asta e dai momenti delle sfere
Per il momento della singola sfera uso il teorema di huygens-steiner
$I=Iz+mb^2$
con b la distanza dall'asse di rotazione e Iz il momento della sfera rispetto al suo asse
Non mi trovo con il valore del momento Iz, sul libro risulta uguale a $2/5*ms*R^2$
Io pongo (p è la densità)
$m = pV = p*4/3*π*R^3$
e da quello
$dm = p*4/3*π*3*x^2 dx = p*4*π*x^2 dx $
Vado a calcolare il momento
$Iz = int_( )^( ) x^2dm = int_(-R )^(R ) x^2*p*4*π*x^2 dx = p*4*π*int_(-R )^(R ) x^4dx = 4/5*π*p*2*R^5$
Sostituendo nella formula la massa trovo
$Iz= 2/5*3*ms*R^2$
Non riesco a capire perchè non mi trovo con il risultato
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Il momento di inerzia del sistema è dato dal momento di inerzia dell'asta e dai momenti delle sfere
Per il momento della singola sfera uso il teorema di huygens-steiner
$I=Iz+mb^2$
con b la distanza dall'asse di rotazione e Iz il momento della sfera rispetto al suo asse
Non mi trovo con il valore del momento Iz, sul libro risulta uguale a $2/5*ms*R^2$
Io pongo (p è la densità)
$m = pV = p*4/3*π*R^3$
e da quello
$dm = p*4/3*π*3*x^2 dx = p*4*π*x^2 dx $
Vado a calcolare il momento
$Iz = int_( )^( ) x^2dm = int_(-R )^(R ) x^2*p*4*π*x^2 dx = p*4*π*int_(-R )^(R ) x^4dx = 4/5*π*p*2*R^5$
Sostituendo nella formula la massa trovo
$Iz= 2/5*3*ms*R^2$
Non riesco a capire perchè non mi trovo con il risultato
Risposte
È il modo in cui hai scritto la funzione integranda che non va.
Assumi un riferimento $Oxyz$ con origine nel centro della sfera, piano $xy$ orizzontale: l' asse $z$ è quello rispetto al quale vuoi calcolare il momento di inerzia.
Considera la semisfera sopra il piano ( poi il risultato si moltiplica per 2).
Immagina di suddividere la semisfera con piani, distanti $dz$ tra loro, a partire dal piano $xy$, fino al vertice della cupola.
Un volume elementare $dV = \pi.r^2*dz$ ha una massa elementare $dm = \rho*\pi.r^2*dz$, dove $\rho = M/(4/3\piR^3)$ è la densitá, e il raggio del disco varia da $R$ a $0$ in questo modo: $ r = sqrt( R^2 - z^2)$.
Il momento di inerzia elementare del disco di raggio $r$ e spessore $dz$ rispetto al suo asse vale : $dI = 1/2*dm*r^2$.
Quindi per trovare il momento di inerzia della semisfera rispetto all'asse $z$ devi integrare $dI$ da $z = 0$ a $z = R$ .
Per la sfera, basta moltiplicare per 2.
Se guardi qui , trovi il calcolo nel paragrafo 3.3.1.2
http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di ... ella_sfera
Assumi un riferimento $Oxyz$ con origine nel centro della sfera, piano $xy$ orizzontale: l' asse $z$ è quello rispetto al quale vuoi calcolare il momento di inerzia.
Considera la semisfera sopra il piano ( poi il risultato si moltiplica per 2).
Immagina di suddividere la semisfera con piani, distanti $dz$ tra loro, a partire dal piano $xy$, fino al vertice della cupola.
Un volume elementare $dV = \pi.r^2*dz$ ha una massa elementare $dm = \rho*\pi.r^2*dz$, dove $\rho = M/(4/3\piR^3)$ è la densitá, e il raggio del disco varia da $R$ a $0$ in questo modo: $ r = sqrt( R^2 - z^2)$.
Il momento di inerzia elementare del disco di raggio $r$ e spessore $dz$ rispetto al suo asse vale : $dI = 1/2*dm*r^2$.
Quindi per trovare il momento di inerzia della semisfera rispetto all'asse $z$ devi integrare $dI$ da $z = 0$ a $z = R$ .
Per la sfera, basta moltiplicare per 2.
Se guardi qui , trovi il calcolo nel paragrafo 3.3.1.2
http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di ... ella_sfera
grazie per la risposta, non ho capito bene tutti i passaggi perchè ho provato a rifarlo e non mi è uscito cmq il risultato, ma almeno ora so il ragionamento che c'è dietro
Se fai bene i passaggi, esce, sta tranquillo/a.
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