Momento di Inerzia

[TS778LB]

Indicando con $ I_u $ , $ I_v $ , $ I_w $ i momenti di inerzia di un corpo rigido rispetto ai tre assi centrali di inerzia $ \hatu,\hatv,\hatw $ e con $ \alpha,\beta,\gamma $ gli angoli che un'asse qualunque $ \hat c $ forma con $\hatu,\hatv,\hatw$, il momento di inerzia $ I_c $ , rispetto a $ \hat c $, può essere calcolato come: $ I_c=I_ucos^2\alpha+I_vcos^2\beta+I_wcos^2\gamma $. Il mio libro specifica poi che tutti ciò è valido se $ \hat c $ passa per il baricentro del sistema. In che modo questa condizione si riflette nella formula precedente? Avevo pensato che forse quando $\hatc$ non passa per il baricentro gli angoli che forma con i tre assi centrali (ortogonali e passanti per il baricentro) non siano costanti nella rotazione e quindi sarebbe impossibile utilizzare la formula del calcolo di $I_c$.

[Quinzio]

E' sempre valido il teorema di Huygens-Steiner, se l'asse di rotazione non passa per il baricentro.

[TS778LB]

Questo mi è chiaro! Il dubbio è: perchè se $\hatc$ non è un asse baricentrale non si può esprimere $I_c$ con la forma esplicitata prima (in termini dei momenti di inerzia rispetto agli assi centrali e degli angoli formati da $\hatc$ con questi ultimi)?

[Bokonon]

"TS778LB":Questo mi è chiaro! Il dubbio è: perchè se $\hatc$ non è un asse baricentrale non si può esprimere $I_c$ con la forma esplicitata prima (in termini dei momenti di inerzia rispetto agli assi centrali e degli angoli formati da $\hatc$ con questi ultimi)?

Forse la tua domanda nasce dal fatto che per te se $I_c$ passa per il baricentro allora deve essere perpendicolare agli altri due assi, quando invece appunto $I_c$ passa per il baricentro ma con angoli diversi dai tre assi principali (come una generica retta in 3D passante per l'origine ha diverse inclinazioni rispetto ai tre assi). Quella E' la formula appunto per questo asse $I_c$.
Se poi non passasse per il baricentro allora prima calcoli $I_c$ come se ci passasse e poi applichi il teorema citato.

[TS778LB]

Supponiamo che di un asse $ \hatc $ siano noti gli angoli che forma con i tre assi centrali di inerzia. Calcoliamo il momento rispetto a tale asse: $ I_c=I_ucos^2\alpha+I_vcos^2\beta+I_wcos^2\gamma $. In questa formula non riesco a vedere la condizione di passaggio di $ \hatc $ per il baricentro del sistema quindi potrei applicarla qualunque sia $ \hatc $. In particolare stavo pensando al fatto che gli infiniti assi paralleli a $ \hatc $ formano gli stessi angoli con i tre assi centrali e quindi, ad esempio, dati un asse $ \hatc_1 $ passante per il baricentro ed uno $ \hatc_2 $ parallelo ad esso e distante $ d $ da quest'ultimo otterrei $ I_{c_1}=I_{c_2} $. Tale risultato però è in disaccordo con il teorema di Huygens-Steiner. Quindi sarà vero che la formula di $ I_c $ può essere usata quando l'asse è baricentrico ma non riesco a cogliere questa condizione nel formalismo matematico usato. Un asse non baricentrico ha "qualcosa" per il quale non si può applicare questa formula ma non riesco a capire cosa!

[donald_zeka]

Non c'entra nulla il baricentro, ma chi vi insegna questa roba. Data una terna $(O, x,y,z)$, dato un versore $vece$, data una retta $r$ parallela e $vece$ e passante per O, dato un sistema materiale $(P_i, m_i)$, detti $alpha$, $beta$, $gamma$ i coseni direttori di $vece$ rispetto a (x,y,z), risulta:

$I_r=I_(x x)alpha^2+I_(yy)beta^2+I_(zz)gamma^2+2I_(xy)alphabeta+2I_(xz)alphagamma+2I_(yz)betagamma$.

Tutto questo non ha niente a che fare con i corpi rigidi, è una teoria generale dei sistemi materiali, e le condizioni sono poste dalle ipotesi che ho fatto io...ma al giorno d'oggi le ipotesi sono un optional e i libri insegnano cose a caso senza dire dive e quando valgono.

[donald_zeka]

Quindi se la terna (O, x,y,z) è principale d'inerzia allora risulta:

$I_r=I_(x x)alpha^2+I_(yy)beta^2+I_(zz)gamma^2$

E NON si è mai fatta l'ipotesi che O fosse il baricentro, O è un qualsiasi punto.