Momento di inerzia

[ValeriaR861]

Salve a tutti sto avendo tanti problemi per risolvere questo esercizio:
Calcolare il momento di inerzia di una sbarretta di lunghezza 50 cm e massa 1 kg rispetto ad un asse passante
perpendicolarmente per una sua estremità se la densità di massa cresce quadraticamente con la distanza dal centro della
sbarretta.

Allora conoscendo il momento di inerzia di una sbarra rispetto ad un asse perpendicolare all’asta, posso applicare Huygens-Steiner per la risoluzione?
Grazie in anticipo.

[professorkappa]

Conoscendo il momento rispetto al baricentro, si. Perche no?
Ma lo conosci?

[ValeriaR861]

Allora il momento di inerzia rispetto al centro di massa è $\int_ρ$r^2 dv $
dv= S dr
ρ=ρ0 r^2
quindi I=ρ0 r^2$\int_ρ$r^2$ integrando per r da -L/2 a +L/2 si ha che I=1/24 m L^2
il momento di inerzia rispetto a un'estremità è I= 1/24 m L^2+ 1/4 ml^2= 7/24 ml^2
Giusto?

[professorkappa]

Correggi l'editor, non si capisce nulla, probabilmente hai tolto il segno dollaro $$ da qualche parte. comunque e' sbagliato.
La densita ha la forma $rho(x)=kx^2$, te lo dice la consegna.
Quindi devi calcolare il k. E wui ti devi ingegnare un po'.

Una volta noto k, il momento di inerzia rispetto al cdm e' $I=int_(-L/2)^(L/2)rho(x)x^2dx=int_(-L/2)^(L/2)kx^2x^2dx=k*int_(-L/2)^(L/2)x^4dx=(kL^5)/16$

Da li applichi H-S e trovi il momento rispetto all'estremita.

Ma il colpo di genio, con cui di sicuro saprai stupirci, sta nel calcolare k.....

[ValeriaR861]

Grazie...k lo posso calcolare così:
la densità è kx^2 ma la densità è anche dm/dx quindi la massa è l'integrale da -x/2 a x/2 di kx^2 dx. Quindi k=12m/x^3. Dimmi che non ho sbagliato :/

[professorkappa]

Ci sei. Il metodo è quello. Riguarda i conti e le variabili