Momento di dipolo elettrico di una distribuzione di carica
Buongiorno,
mi sono trovato davanti a questo problema:
Nessun problema per il primo punto (es 1.9), ma mi chiedevo come si fa a determinare il momento di dipolo per una distribuzione di carica. Sul libro ho trovato solo cenni riguardo alla definizione di p.
mi sono trovato davanti a questo problema:
Nessun problema per il primo punto (es 1.9), ma mi chiedevo come si fa a determinare il momento di dipolo per una distribuzione di carica. Sul libro ho trovato solo cenni riguardo alla definizione di p.
Risposte
Detto in modo semplice: calcola il potenziale creato da un dipolo elettrico a grande distanza, confrontalo col potenziale della tua distribuzione di carica, e vedi cosa puoi raccogliere nella seconda espressione chiamandolo p (momento di dipolo elettrico) per far assumere alle due espressioni la stessa forma. Alla fine, ai fini del calcolo del potenziale per la tua distribuzione di carica, "tutto va come se" tu avessi un dipolo elettrico con quel valore del momento di dipolo...
Mi sembra strano che il testo non riporti una definizione del momento di dipolo di una distribuzione di carica.
Comunque hai due modi di risolvere il problema:
i) scrivi l'integrale di volume per il potenziale, imponendo poi l'approssimazione di grande distanza
ii) ti convinci subito che la distribuzione di carica del cilindro (antisimmetrica rispetto al piano $z=0$) viene vista a grande distanza come un dipolo, la cui forma del potenziale è nota dalla teoria, e ne calcoli direttamente il momento $\int_V \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) dV$. In questo caso, le medesime considerazioni di simmetria (ma scrivendo l'integrale è facile verificarlo) indicano che l'unica componente non nulla del dipolo è $p_z$, e in coordinate cilindriche, $p_z = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R rdr \int_{-2R}^{2R} dz \ z (2 \epsilon_0 a z)$.
Comunque hai due modi di risolvere il problema:
i) scrivi l'integrale di volume per il potenziale, imponendo poi l'approssimazione di grande distanza
ii) ti convinci subito che la distribuzione di carica del cilindro (antisimmetrica rispetto al piano $z=0$) viene vista a grande distanza come un dipolo, la cui forma del potenziale è nota dalla teoria, e ne calcoli direttamente il momento $\int_V \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) dV$. In questo caso, le medesime considerazioni di simmetria (ma scrivendo l'integrale è facile verificarlo) indicano che l'unica componente non nulla del dipolo è $p_z$, e in coordinate cilindriche, $p_z = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R rdr \int_{-2R}^{2R} dz \ z (2 \epsilon_0 a z)$.
Grazie delle risposte a entrambi. 
Metodo interessante, ma detto sinceramente volevo risparmiarmi la fatica di integrare usando il dipolo e il relativo potenziale.
Tra l'altro una sbirciatina alla soluzione lì sotto suggerisce che l'esercizio fosse proposto proprio per l'utilizzo di quella formula che a me mancava.
Mi mancano tre pagine del libro, molto probabilmente l'equazione che hai sfruttato è scritta lì.
Visto che mi trovo poco dopo a dover calcolare il momento di dipolo di una distribuzione discreta di cariche, suppongo l'integrali varrebbe a quel punto $sum(q_i \mathbf{r_i}) $ ?
Una nota a margine, non c'era bisogno di scomodare un integrale triplo:
$\int_V \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) dV = \int (z) (2az \epsilon_0) (pi R^2) dz$
"Maurizio Zani":
Detto in modo semplice: calcola il potenziale creato da un dipolo elettrico a grande distanza, confrontalo col potenziale della tua distribuzione di carica, e vedi cosa puoi raccogliere nella seconda espressione chiamandolo p (momento di dipolo elettrico) per far assumere alle due espressioni la stessa forma. Alla fine, ai fini del calcolo del potenziale per la tua distribuzione di carica, "tutto va come se" tu avessi un dipolo elettrico con quel valore del momento di dipolo...
Metodo interessante, ma detto sinceramente volevo risparmiarmi la fatica di integrare usando il dipolo e il relativo potenziale.
Tra l'altro una sbirciatina alla soluzione lì sotto suggerisce che l'esercizio fosse proposto proprio per l'utilizzo di quella formula che a me mancava.
"Cmax":
Mi sembra strano che il testo non riporti una definizione del momento di dipolo di una distribuzione di carica.
Comunque hai due modi di risolvere il problema:
i) scrivi l'integrale di volume per il potenziale, imponendo poi l'approssimazione di grande distanza
ii) ti convinci subito che la distribuzione di carica del cilindro (antisimmetrica rispetto al piano $z=0$) viene vista a grande distanza come un dipolo, la cui forma del potenziale è nota dalla teoria, e ne calcoli direttamente il momento $\int_V \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) dV$. In questo caso, le medesime considerazioni di simmetria (ma scrivendo l'integrale è facile verificarlo) indicano che l'unica componente non nulla del dipolo è $p_z$, e in coordinate cilindriche, $p_z = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R rdr \int_{-2R}^{2R} dz \ z (2 \epsilon_0 a z)$.
Mi mancano tre pagine del libro, molto probabilmente l'equazione che hai sfruttato è scritta lì.
Visto che mi trovo poco dopo a dover calcolare il momento di dipolo di una distribuzione discreta di cariche, suppongo l'integrali varrebbe a quel punto $sum(q_i \mathbf{r_i}) $ ?
Una nota a margine, non c'era bisogno di scomodare un integrale triplo:
$\int_V \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) dV = \int (z) (2az \epsilon_0) (pi R^2) dz$
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