Momento di dipolo
Ciao a tutti, ho problemi nel risolvere questo esercizio.
Un dipolo elettrico è posto a distanza a = 1.0 m da una carica puntiforme Q = 1.0 ∙ 10^−10C ed è
disposto parallelamente al campo elettrico generato da quest’ultima. Determina il momento di
dipolo sapendo che su di esso è applicata una forza di intensità 1.0 N.
Io so che la forza totale agente sul dipolo è pari a : $\vec{F}_{\text{tot}} = (\vec{p}\cdot\nabla)\vec{E} $ ed il campo generato da una carica $Q$ nello spazio è: $\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o}\frac{\vec{u}_r}{r^2}$
Ma la divergenza in coordinate polari per un campo proporzionale a $\frac{1}{r^2}$ non dovrebbe essere nulla e quindi nullo il momento di dipolo?
Un dipolo elettrico è posto a distanza a = 1.0 m da una carica puntiforme Q = 1.0 ∙ 10^−10C ed è
disposto parallelamente al campo elettrico generato da quest’ultima. Determina il momento di
dipolo sapendo che su di esso è applicata una forza di intensità 1.0 N.
Io so che la forza totale agente sul dipolo è pari a : $\vec{F}_{\text{tot}} = (\vec{p}\cdot\nabla)\vec{E} $ ed il campo generato da una carica $Q$ nello spazio è: $\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o}\frac{\vec{u}_r}{r^2}$
Ma la divergenza in coordinate polari per un campo proporzionale a $\frac{1}{r^2}$ non dovrebbe essere nulla e quindi nullo il momento di dipolo?
Risposte
La divergenza in coordinate sferiche del campo della carica puntiforme è un caso un pò particolare perchè la funzione è singolare in r=0.
Dall'equazione di Maxwell $text(div) vec D = rho$ si deve ammettere che a r=0 vi sia un andamento impulsivo della densità di carica (e quindi anche della divergenza per il resto nulla ovunque).
Però questo è un aspetto matematico più che fisico. Fisicamente è ovvio che, essendo il momento di dipolo allineato come il campo, la carica negativa è più vicina alla carica positiva Q e quindi subirà una forza attrattiva lievemente maggiore di quella repulsiva sulla carica positiva del dipolo stesso. Nel complesso sul dipolo agirà una forza che lo trascinerà nella regione dove il campo è più intenso ovvero verso la carica Q.
Questa spiegazione è anche costruttiva perché fornisce un semplice metodo per calcolare la F, una volta che siano assegnati la Q e il momento di dipolo, alternativo alla formula che hai riportato.
Dall'equazione di Maxwell $text(div) vec D = rho$ si deve ammettere che a r=0 vi sia un andamento impulsivo della densità di carica (e quindi anche della divergenza per il resto nulla ovunque).
Però questo è un aspetto matematico più che fisico. Fisicamente è ovvio che, essendo il momento di dipolo allineato come il campo, la carica negativa è più vicina alla carica positiva Q e quindi subirà una forza attrattiva lievemente maggiore di quella repulsiva sulla carica positiva del dipolo stesso. Nel complesso sul dipolo agirà una forza che lo trascinerà nella regione dove il campo è più intenso ovvero verso la carica Q.
Questa spiegazione è anche costruttiva perché fornisce un semplice metodo per calcolare la F, una volta che siano assegnati la Q e il momento di dipolo, alternativo alla formula che hai riportato.
Dunque io ho provato così:
$F_- = -q\cdot \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}$ e $F_+ = q\cdot \frac{Q}{4\pi\epsilon_0(r+d)^2}$
Ma poi non capisco quanto vale la distanza d né rispetto a che punto è calcolata F.
$F_- = -q\cdot \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}$ e $F_+ = q\cdot \frac{Q}{4\pi\epsilon_0(r+d)^2}$
Ma poi non capisco quanto vale la distanza d né rispetto a che punto è calcolata F.
A questo punto si calcola forza netta in modulo ovvero
$F= abs(F_(-) + F_(+))=(qQ)/(4 pi epsilon_0)*(1/r^2-1/(r+d)^2)$
Si ammette che d<
$1/r^2-1/(r+d)^2=(2rd+d^2)/(r^2*(r+d)^2) approx (2d)/r^3 approx (2d)/a^3$
da cui ricordando che $p=qd$
$F=(qQ)/(4 pi epsilon_0)*(2d)/a^3=(pQ)/(2 pi epsilon_0 a^3)$
Se usavi la formula questa diventava (essendo presente solo la componente radiale)
$F = abs(p (del E)/(del r)) = p*Q/(4 pi epsilon_0) * 2/r^3 = (pQ)/(2 pi epsilon_0 a^3)$
identica alla precedente.
$F= abs(F_(-) + F_(+))=(qQ)/(4 pi epsilon_0)*(1/r^2-1/(r+d)^2)$
Si ammette che d<
$1/r^2-1/(r+d)^2=(2rd+d^2)/(r^2*(r+d)^2) approx (2d)/r^3 approx (2d)/a^3$
da cui ricordando che $p=qd$
$F=(qQ)/(4 pi epsilon_0)*(2d)/a^3=(pQ)/(2 pi epsilon_0 a^3)$
Se usavi la formula questa diventava (essendo presente solo la componente radiale)
$F = abs(p (del E)/(del r)) = p*Q/(4 pi epsilon_0) * 2/r^3 = (pQ)/(2 pi epsilon_0 a^3)$
identica alla precedente.
"ingres":
Se usavi la formula questa diventava (essendo presente solo la componente radiale):
$F = abs(p (del E)/(del r)) = p*Q/(4 pi epsilon_0) * 2/r^3 = (pQ)/(2 pi epsilon_0 a^3)$
Il problema è che, in coordinate sferiche, la formula riportata da Albi nel messaggio di apertura:
$vecF_(t o t)=(vecp*\nabla)vecE$
non si riduce a:
$F=abs(p(delE)/(delr))$
Del resto, il valore della divergenza non può dipendere dal sistema di coordinate utilizzato.
La formula in questione si può scrivere anche in questo modo (https://it.wikipedia.org/wiki/Dipolo_elettrico)
$F= -nabla U $
dove $U=-p E cos theta$.
Facendo a questo punto il gradiente in coordinate sferiche e tenendo conto che $theta=0$ si riottiene la formula che ho riportato.
$F= -nabla U $
dove $U=-p E cos theta$.
Facendo a questo punto il gradiente in coordinate sferiche e tenendo conto che $theta=0$ si riottiene la formula che ho riportato.
Il fatto è che nella formula riportata da Albi non entra la divergenza del campo elettrico, piuttosto:
Motivo per il quale, non esistendo alcuna apparente contraddizione, non è assolutamente necessario scomodare la natura singolare del campo elettrico di una carica puntiforme nel punto in cui quest'ultima è situata (il dipolo è situato in un punto diverso). Del resto, una formula, anche se scritta in due modi diversi, non può certo dare due risultati diversi.
Motivo per il quale, non esistendo alcuna apparente contraddizione, non è assolutamente necessario scomodare la natura singolare del campo elettrico di una carica puntiforme nel punto in cui quest'ultima è situata (il dipolo è situato in un punto diverso). Del resto, una formula, anche se scritta in due modi diversi, non può certo dare due risultati diversi.
Perfettamente d'accordo. 
La prima parte della risposta ad Albi in realtà prescindeva dal caso in oggetto e rispondeva alla contestazione che la divergenza della forma $1/r^2$ fosse sempre nulla ovunque.
La prima parte della risposta ad Albi in realtà prescindeva dal caso in oggetto e rispondeva alla contestazione che la divergenza della forma $1/r^2$ fosse sempre nulla ovunque.
A questo punto, un banale malinteso. 
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