Momento delle forze - aiuto per esame
Stavo provando a risolvere il secondo punto dell'esercizio ma non mi è chiaro come potrei procedere, visto che la forza esercitata dal liquido sulla parete varia a seconda dell'altezza.
Avevo pensato di trovare una forza risultante ma non saprei come fare o, in alternativa integrare tutti i momenti da 0 ad h, mi potreste dare una mano? Tra pochi giorni ho l'esame.
Grazie
Risposte
Devi integrare la pressione h per ottenere la forza totale.
Ti verra' una forza totale di intensita' proporzionale ovviamente a $rho$, $g$ e $h$. Il punto di applicazione e' a distanza 1/3 dalla fondo. ragionaci un po'...(tieni conto che anche la pressione atmosferica entra in gioco, oltre al gradiente di pressione dovuto al liquido
Ti verra' una forza totale di intensita' proporzionale ovviamente a $rho$, $g$ e $h$. Il punto di applicazione e' a distanza 1/3 dalla fondo. ragionaci un po'...(tieni conto che anche la pressione atmosferica entra in gioco, oltre al gradiente di pressione dovuto al liquido
Mi si viene fatto notare (gentilemente e in privato) che la pressione non entra in gioco. Anziche' correggere il post, preferisco correggere con post separato. Sbagliamo tutti. Ovviamente la pressione atmosferica agisce sul pelo dell'acqua, ma anche sulla paratia dall'esterno, pertanto bisogna considerare solo $rhogh$. Il bello e' che la considerazione sulla pressione atmosferica l'ho aggiunta dopo
Mi chiedo come si possa dare un esercizio cosí a uno studente il quale, evidentemente, non ha studiato la statica dei fluidi. Non che sia difficilissimo, ma insomma...ci vogliono delle nozioni precise.
Fa parte di fisica 1 , questo argomento ? Aiutalo come sai fare tu, profKAppa !
Fa parte di fisica 1 , questo argomento ? Aiutalo come sai fare tu, profKAppa !
Ma mi pare che le idee ce le abbia chiare: vuole integrare i momenti da 0 ad h. Vediamo cosa fa, per me ci riesce.
Ciao Luke
edita il tuo messaggio trasformando il tutto maiuscole in tutte maiuscole (leggendo il regolamento che trovi nel box rosa in alto, vedrai che il tutto maiuscolo è vietato perché interpretato come un urlo). Trovi il tasto modifica i alto a destra.
meanwhile I'll take the opportunity to greet my favorite youngsters: Faussone, pk and S.
Kisses and hugs guys and happy holidays!
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@gio73
Rileggiti e correggi
Rileggiti e correggi
Better now?
Grazie a tutti, l'argomento è compreso in Fisica 1 ed era parte di un esame.
Volendo calcolare l'integrale ho pensato di procedere così, ragionando solo sui moduli:
il momento riguardante la fune, ponendo il polo al pelo dell'acqua mi risulta essere $t*(l-h)*sin(45)$, dove ho posto $h$ al pelo dell'acqua.
Per trovare il momento esercitato dalla pressione integro $h$ X $rho*gh*dh$ che risolvendo il prodotto vettoriale risulta: $rho*g*h^2dh$, ottenendo quindi $1/3 * rho*g*h^3$.
Potrebbe andare come soluzione?
Volendo calcolare l'integrale ho pensato di procedere così, ragionando solo sui moduli:
il momento riguardante la fune, ponendo il polo al pelo dell'acqua mi risulta essere $t*(l-h)*sin(45)$, dove ho posto $h$ al pelo dell'acqua.
Per trovare il momento esercitato dalla pressione integro $h$ X $rho*gh*dh$ che risolvendo il prodotto vettoriale risulta: $rho*g*h^2dh$, ottenendo quindi $1/3 * rho*g*h^3$.
Potrebbe andare come soluzione?
No, è tutto sbagliato
@gio73
[ot]Eh, no
[ot]Eh, no
"gio73":[/ot]
... trasformando il tutto maiuscole in tutte maiuscole ...
Non riesco veramente a capire come procedere allora... Qualcuno potrebbe propormi una sua soluzione?
Grazie
Grazie
"LukeV98":
Grazie a tutti, l'argomento è compreso in Fisica 1 ed era parte di un esame.
Volendo calcolare l'integrale ho pensato di procedere così, ragionando solo sui moduli:
il momento riguardante la fune, ponendo il polo al pelo dell'acqua mi risulta essere $ t*(l-h)*sin(45) $, dove ho posto $ h $ al pelo dell'acqua.
Lascia stare, per ora, il momento della tensione esercitata dalla fune , è un problema che viene dopo. Pensa prima a trovare la spinta idrostatica esercitata dall'acqua sulla parete di destra, incernierata in basso, e la sua retta di azione , che interseca la parete in un punto detto centro di spinta.
Per trovare il momento esercitato dalla pressione integro $ h $ X $ rho*gh*dh $ che risolvendo il prodotto vettoriale risulta: $ rho*g*h^2dh $, ottenendo quindi $ 1/3 * rho*g*h^3 $.
Potrebbe andare come soluzione?
Non va bene . In un punto P , posto sulla faccia della parete a contatto con l'acqua, a profondità $h$ sotto la superficie libera , per la legge di Stevin la pressione (relativa) vale : $p = rhogh$ . Siccome $0<=h<=H $ , la pressione varia linearmente dalla superficie fino al fondo. (Nota che la pressione idrostatica in P ha lo stesso valore su tutto il piano orizzontale passante per P ).
Considera ora una striscia di parete, di altezza $dh$ e lunghezza $L$ , parallela alla linea di intersezione della superficie libera orizzontale con la parete verticale ( questa linea si chiama retta di sponda , e la superficie libera si chiama piano dei carichi idrostatici relativi : sono cose che imparerai più in avanti).
La forza che l'acqua esercita sulla striscia di area $dA = Ldh$ è data da :
$dF = rhogh*Ldh$
integrando $dF$ su tutta l'altezza $H$ si ha la spinta idrostatica totale cercata :
$F = \int_0^Hrhogh*Ldh = 1/2rhogLH^2 = 1/2rhogH *LH = 1/2rhogH*A $
dall'ultimo passaggio , si vede che la spinta è uguale al prodotto della pressione $1/2rhogH$ che si ha in corrispondenza del baricentro di figura $G$ dell'area $A$ , il quale ha affondamento $1/2H$ sotto la superficie libera , per l'area della superficie bagnata $A = LH$ . Questo è un risultato del tutto generale , lo vedrai in futuro.
Ma la retta di azione della spinta non passa per G . Passa per un punto che si trova più in basso di G , rispetto alla retta di sponda. Devi trovare questo punto. Per farlo , tieni presente che le forze elementari agenti sulla parete sono tutte parallele e orizzontali , quindi potresti applicare il teorema di Varignon : il momento , rispetto alla retta di sponda , del sistema di tutte le forze elementari rispetto alla retta di sponda è uguale al momento della spinta $F$ per l'affondamento $h_F $ del centro di spinta :
$F*h_F = int_0^H hdF = int_0^Hrhogh^2*Ldh = 1/3rhogH^3L $
e quindi : $h_F =(1/2rhogH^2 L)^-1 * 1/3 rhogH^3L = 2/3H$
anche questo è un risultato generale : nota che, se tracci il diagramma delle pressioni idrostatiche agenti sulla parete da $0$ ad $H$ , ottieni un triangolo rettangolo di altezza $H$ . LA retta di azione della spinta ( che è l’asse centrale del sistema di forze parallele, ma se non sai che cosa è lascia stare ) passa per il baricentro di figura di questo triangolo , che dista $2/3H$ dalla retta di sponda .
Bene , ora hai la spinta $F$ e la sua retta di azione . Devi equilibrare la spinta con la fune che tiene la parete. Provaci un po', è un problemino di statica.
@alex oops but the OP got me so it's just fine
Luke,
non sei più interessato a trovare la tensione nel cavo?
Nel frattempo, aggiungo un’altra informazione circa la posizione del centro di spinta. Detto $h_C$ il suo affondamento rispetto alla retta di sponda, risulta che esso è uguale al rapporto tra il momento di inerzia dell’area $A=HL$ rispetto alla retta di sponda, che vale $I =1/3H^3L$ , e il momento statico della stessa area rispetto sempre alla retta di sponda $ M=1/2H*HL=1/2H^2L$.
Infatti, per quanto prima detto sul teorema di Varignon e il calcolo di $h_C$ (asse verticale orientato verso il basso) , si ha :
$h_C = (\int_0^Hh*gammah*dA)/(\int_0^Hgammah*dA) = (int_0^Hh^2dA)/(int_0^HhdA) = I/M = 2/3H $
È evidente che $2/3>1/2$ : come già detto, $h_C>h_G$. Scrivendo: $ I =I_G+A*h_G^2$, (Huygens) , si ha che:
$h_C = I_G/M + h_G $
dove $I_G = 1/(12)H^3L$ è il momento di inerzia rispetto all'asse baricentrico parallelo alla retta di sponda. La differenza $h_C -h_G=1/6H$ rappresenta la maggior distanza di $C$ rispetto a $G$ dalla retta di sponda .
Ma queste sono nozioni forse troppo avanzate per te. Trova la tensione nel cavo, forza!
non sei più interessato a trovare la tensione nel cavo?
Nel frattempo, aggiungo un’altra informazione circa la posizione del centro di spinta. Detto $h_C$ il suo affondamento rispetto alla retta di sponda, risulta che esso è uguale al rapporto tra il momento di inerzia dell’area $A=HL$ rispetto alla retta di sponda, che vale $I =1/3H^3L$ , e il momento statico della stessa area rispetto sempre alla retta di sponda $ M=1/2H*HL=1/2H^2L$.
Infatti, per quanto prima detto sul teorema di Varignon e il calcolo di $h_C$ (asse verticale orientato verso il basso) , si ha :
$h_C = (\int_0^Hh*gammah*dA)/(\int_0^Hgammah*dA) = (int_0^Hh^2dA)/(int_0^HhdA) = I/M = 2/3H $
È evidente che $2/3>1/2$ : come già detto, $h_C>h_G$. Scrivendo: $ I =I_G+A*h_G^2$, (Huygens) , si ha che:
$h_C = I_G/M + h_G $
dove $I_G = 1/(12)H^3L$ è il momento di inerzia rispetto all'asse baricentrico parallelo alla retta di sponda. La differenza $h_C -h_G=1/6H$ rappresenta la maggior distanza di $C$ rispetto a $G$ dalla retta di sponda .
Ma queste sono nozioni forse troppo avanzate per te. Trova la tensione nel cavo, forza!
Non riesco a capire, certe volte, come si comportano alcuni studenti, i quali postano esercizi che non sanno risolvere, chiedono aiuto che viene loro dato, e alla fine si disinteressano completamente dell'argomento, lasciandolo miseramente cadere, e non rispondono piu' . Questo atteggiamento la dice lunga ....
Ma tant'e' ....non c'e' niente da fare!
Siccome non mi piace lasciare le cose a meta' , completo io l'esercizio .
La spinta che l'acqua esercita sulla parete e' una forza orizzontale, di modulo dato dal prodotto della pressione nel baricentro dell'area bagnata per l'area stessa ; quindi :
$F = 1/2rhogH*HL = 1/2rhogH^2L$
la retta di applicazione della spinta interseca la parete verticale nel centro di spinta, che in questo caso semplice si trova a : $b = 1/3H$ dalla cerniera passante per il punto B .
LA tensione del cavo $T$ ha un braccio pari a : $d = Lsenalpha$ rispetto alla cerniera B, essendo $alpha = 45º$ angolo tra il cavo e il piano di base . Uguagliando il momento della spinta rispetto a B al momento della tensione T del cavo , si ha :
$TLsenalpha = F*1/3H$
da cui si trova , facendo le necessarie sostituzioni : $ T = 1/6rhogH^3/(senalpha) $
Questo pero' e' un caso particolare , perche' la base del bacino e' quadrata , quindi la lunghezza della paratoia in senso perpendicolare al foglio e' uguale alla larghezza $L$ nel piano del foglio . Se la larghezza fosse stata $D\neL$ , la tensione sarebbe stata :
$T = 1/6rhogH^3L/(Dsenalpha) $
Ma tant'e' ....non c'e' niente da fare!
Siccome non mi piace lasciare le cose a meta' , completo io l'esercizio .
La spinta che l'acqua esercita sulla parete e' una forza orizzontale, di modulo dato dal prodotto della pressione nel baricentro dell'area bagnata per l'area stessa ; quindi :
$F = 1/2rhogH*HL = 1/2rhogH^2L$
la retta di applicazione della spinta interseca la parete verticale nel centro di spinta, che in questo caso semplice si trova a : $b = 1/3H$ dalla cerniera passante per il punto B .
LA tensione del cavo $T$ ha un braccio pari a : $d = Lsenalpha$ rispetto alla cerniera B, essendo $alpha = 45º$ angolo tra il cavo e il piano di base . Uguagliando il momento della spinta rispetto a B al momento della tensione T del cavo , si ha :
$TLsenalpha = F*1/3H$
da cui si trova , facendo le necessarie sostituzioni : $ T = 1/6rhogH^3/(senalpha) $
Questo pero' e' un caso particolare , perche' la base del bacino e' quadrata , quindi la lunghezza della paratoia in senso perpendicolare al foglio e' uguale alla larghezza $L$ nel piano del foglio . Se la larghezza fosse stata $D\neL$ , la tensione sarebbe stata :
$T = 1/6rhogH^3L/(Dsenalpha) $
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