Momento angolare. Urto tra corpi rigidi.
Il sistema da analizzare è il seguente:
Mi si chiede di determinare la velocità angolare del sistema dopo l'urto, sapendo che, all'inizio, la massa m ha velocità v, e la massa M (quella grande) è ferma. L'urto, come si vede in figura, è completamente anelastico.
c1 = centro di massa di m
c2 = centro di massa di M.
c = centro di massa del sistema
Il problema si risolve con la conservazione del momento angolare. Purtroppo non sono in grado di calcolarlo.
Provo a farlo.
Il momento angolare iniziale, per il teorema di konig, dovrebbe essere:
$ vec(L)_{c,i n} = vec(L)'_{c1} + mvec(r)_{c} xx vec(v)_c $
La soluzione mi da:
$ vec(L)_{c,i n} = vec(L)'_{c1} + m(vec(r)_1 - vec(r)_{c}) xx vec(v)_c = m(vec(r)_1 - vec(r)_{c}) xx vec(v)_c $
Mi è chiaro che:
$ vec(L)'_{c1} = 0 $ perché la massa m non ruota rispetto al suo centro di massa c1.
Non mi è chiaro però questo
$ m(vec(r)_1 - vec(r)_{c}) $ COME CI ARRIVA ?? Non ci dovrebbe essere solo $ r_c $ ??
Dopo tiene conto del fatto che: ( e anche che $ v_c = v $ all' inizo )
$ vec(r)_c = (mvec(r)_{1} + Mvec(r)_{2})/(m+M) => vec(L)_{c,i n} = mu(vec(r)_1 - vec(r)_{2}) xx vec(v)$
Dove $ mu $ è la massa ridotta.
Quindi il modulo del momento angolare iniziale è:
$ L_{c,i n} = mu (R_1 + R_2)v $ non riesco a capire neanche perché $ |(vec(r)_1 - vec(r)_{2})| = R_1 + R_2 $
Per ora se qualcuno riesce a spiegarmi come svolge questi calcoli mi aiuterebbe tantissimo per l'esame imminente.
Una volta risolti queste cose magari posto anche il calcolo del momento angolare finale.
Mi si chiede di determinare la velocità angolare del sistema dopo l'urto, sapendo che, all'inizio, la massa m ha velocità v, e la massa M (quella grande) è ferma. L'urto, come si vede in figura, è completamente anelastico.
c1 = centro di massa di m
c2 = centro di massa di M.
c = centro di massa del sistema
Il problema si risolve con la conservazione del momento angolare. Purtroppo non sono in grado di calcolarlo.
Provo a farlo.
Il momento angolare iniziale, per il teorema di konig, dovrebbe essere:
$ vec(L)_{c,i n} = vec(L)'_{c1} + mvec(r)_{c} xx vec(v)_c $
La soluzione mi da:
$ vec(L)_{c,i n} = vec(L)'_{c1} + m(vec(r)_1 - vec(r)_{c}) xx vec(v)_c = m(vec(r)_1 - vec(r)_{c}) xx vec(v)_c $
Mi è chiaro che:
$ vec(L)'_{c1} = 0 $ perché la massa m non ruota rispetto al suo centro di massa c1.
Non mi è chiaro però questo
$ m(vec(r)_1 - vec(r)_{c}) $ COME CI ARRIVA ?? Non ci dovrebbe essere solo $ r_c $ ??
Dopo tiene conto del fatto che: ( e anche che $ v_c = v $ all' inizo )
$ vec(r)_c = (mvec(r)_{1} + Mvec(r)_{2})/(m+M) => vec(L)_{c,i n} = mu(vec(r)_1 - vec(r)_{2}) xx vec(v)$
Dove $ mu $ è la massa ridotta.
Quindi il modulo del momento angolare iniziale è:
$ L_{c,i n} = mu (R_1 + R_2)v $ non riesco a capire neanche perché $ |(vec(r)_1 - vec(r)_{2})| = R_1 + R_2 $
Per ora se qualcuno riesce a spiegarmi come svolge questi calcoli mi aiuterebbe tantissimo per l'esame imminente.
Una volta risolti queste cose magari posto anche il calcolo del momento angolare finale.
Risposte
Se $vec(r)_c$ è la posizione del centro di massa del sistema, la posizione relativa di m rispetto al centro di massa è $vec(r)_1-vec(r)_c$.
Infatti, se te nello spazio hai due punti di posizione $vec(r_1)$ e $vec(r_2)$, la posizione relativa del punto 1 rispetto al punto 2 è $vec(r)_1-vec(r)_2$, al contrario la posizione relativa del punto 2 rispetto al punto 1 è $vec(r)_2-vec(r)_1$.
Riguardo al secondo dubbio, te l'ho spiegato sopra, se quindi $vec(r)_1$ e $vec(r)_2$ sono le posizioni della massa m e della massa M rispetto a un generico sistema di riferimento, allora la posizione relativa di m rispetto a M è $vec(r)_1-vec(r)_2$, ma la posizione relativa di m rispetto a M non è altro che il vettore che collega il centro di M con il centro di m...e quanto vale la sua lunghezza? vale proprio $R_1+R_2$
Infatti, se te nello spazio hai due punti di posizione $vec(r_1)$ e $vec(r_2)$, la posizione relativa del punto 1 rispetto al punto 2 è $vec(r)_1-vec(r)_2$, al contrario la posizione relativa del punto 2 rispetto al punto 1 è $vec(r)_2-vec(r)_1$.
Riguardo al secondo dubbio, te l'ho spiegato sopra, se quindi $vec(r)_1$ e $vec(r)_2$ sono le posizioni della massa m e della massa M rispetto a un generico sistema di riferimento, allora la posizione relativa di m rispetto a M è $vec(r)_1-vec(r)_2$, ma la posizione relativa di m rispetto a M non è altro che il vettore che collega il centro di M con il centro di m...e quanto vale la sua lunghezza? vale proprio $R_1+R_2$
Vero, hai ragione. Grazie Vulplasir!
Una volta risolti queste cose magari posto anche il calcolo del momento angolare finale.
Ciao Saresti cosi gentile da scrivere il calcolo del momento angolare finale ?
Grazie mille
Ciao Saresti cosi gentile da scrivere il calcolo del momento angolare finale ?
Grazie mille
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