Momento angolare totale corpo continuo

[DavideGenova1]

Trovo definito il momento angolare totale $\mathbf{L}$ di un corpo costituito da un sistema di $n$ punti materiali rispetto a un dato punto $Q$ come somma dei momenti \(\ell_i=\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i\), dove \(\mathbf{r}_i\) è la posizione del punto $i$ rispetto a $Q$ e $\mathbf{p}_i$ la sua quantità di moto, degli $n$ punti:\[\mathbf{L}:=\sum_{i=1}^n\ell_i\]che ha per derivata temporale \[\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^n \ell_i=\sum_{i=1}^n \frac{d \ell_i}{dt}\]dove si dimostra facilmente che \(\frac{d \ell_i}{dt}=\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i=\boldsymbol{\tau}_i\) dove $\mathbf{F}_i$ è la forza risultante agente sul punto $i$. Dato che i momenti delle forze esercitate da uno degli $n$ punti materiali sull'altro si annullano a vicenda, si può quindi scrivere\[\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}\]dove nella sommatoria compaiono solo i momenti delle forze esterne al sistema degli $n$ punti materiali.

Mi chiedevo se tale formula per il momento angolare totale vale anche per corpi continui, integrando rispetto alla massa, cioè un corpo continuo esteso su $V$ ha momento angolare totale (chiamo $\rho$ la funzione densità, \(\mathbf{q}\) il vettore delle coordinate di $Q$ e pongo \(\mathbf{x}=(x,y,z)\)) \(\mathbf{L}=\int_V \rho(\mathbf{x})(\mathbf{x}-\mathbf{q})\times\mathbf{v}(\mathbf{x})dxdydz \)?
Se sì, vale in tal caso e come si può dimostrare che \(\frac{d\mathbf{L}}{dt}= \int_V \frac{d(\rho\mathbf{r}\times\mathbf{v} )}{dt} dV\)?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[melaniacastellano3]

Ciaoo ho notato da diversi post che stiamo studiando le stesse cose....vorrei aiutarti ma non so perchè il cell non carica l'intero messaggio ma solo una parte ...forse puoi aiutarmi per un piccolo dubbio anzi per dei piccoli dubbi che ho....poichè essendomi appena iscritta non capisco come si apre una discussione ahahhaha scusa la franchezza....per caso sapresti dirmi : quando devo scrivere la sommatorie delle forze di una carrucola che ruofa intorno ad un asse passante per il centro dovrei porlo pari a zero perchè giistamente è in equilibrio oppure ma ( accelerazione angolare)...,oppure se ho un'asta incernierata la reazione della cerniera nella posizione verticale è ugale ed opposta alla direzione della forza peso o resta sempre incognita ? Grazie mille [GRINNING FACE WITH SMILING EYES][GRINNING FACE WITH SMILING EYES]

[DavideGenova1]

@melaniacastellano3
Benvenuta! Beh, direi che, se la carrucola è in equilibrio traslatorio, cioè è ferma o si muove a velocità costante, per definizione la risultante delle forze esterne è nulla: \(\sum\mathbf{F}_{\text{ext}}=0\). Quindi la forza vincolare esercitata dal perno è di uguale modulo opposta alla risultante delle altre forze.
Se la carrucola è anche in equilibrio statico=equilibrio traslatorio + rotatorio allora anche la risultante dei momenti esterni è nulla per definizione di equilibrio rotatorio: \(\sum\mathbf{\boldsymbol{\tau}}_{\text{ext}}=0\)

[melaniacastellano3]

Grazie mille hai ragione...avrei dovuto riflettere meglio sulla sommatoria di forze e momenti...invece per quanto riguarda la reazione resta per me un'incognita ahahhaha. Tutto nasce da un problema che sto cercando di risolvere ho quest'asta incernierata non nel centro di massa ma ad una certa diatanza d rispetto a quest'ultimo e viene lasciata cadere da una certa altezza dandogli una certa velocitá angolare. Il mio problema è calcolare la reazione del vincolo quando giunge alla posizione di 3/2pgreco. Non riesco a scrivere la sommatoria delle forze.