Momento angolare quantistico
Ciao amici,
se ho un sistema descritto da un Hamiltoniana che è proporzionale ad una sola componente del momento angolare (facciamo zeta, $H=KLz$)
trovo autofunzioni e autovalori simultaneamente di $L^2$, $Lz$ e $H$ perchè sono osservabili che commutano tra loro.
Le autofunzioni sono le armoniche sferiche e gli autovalori sono:
$h^2l(l+1)$ per $L^2$
$hm$ per $Lz$
$E$ per $H$
per $t=0$ supposto che abbia valori di $L^2$ e $Lz$ pari rispettivamente a $2h^2$ e $h$,
posso dire che il sistema all' instante iniziale di trova nello stato $|lm>$ dato da $|1,1z>$
Se volessi misurare le probabilità dei valori possibili dell' energia ed il suo valore medio nel tempo, cosa dovrei fare?
Credo che il valore medio dell' energia non dipenda dal tempo per via del principio di conservazione,
il suo valore medio dovrebbe essere $Sigma= P(n)*En$ cioè il prodotto dei singoli valori delle energie pesato dalle probabilità... Però non riesco a rispondere alla domanda...
Ringrazio anticipatamente chiunque riesca a darmi una mano
se ho un sistema descritto da un Hamiltoniana che è proporzionale ad una sola componente del momento angolare (facciamo zeta, $H=KLz$)
trovo autofunzioni e autovalori simultaneamente di $L^2$, $Lz$ e $H$ perchè sono osservabili che commutano tra loro.
Le autofunzioni sono le armoniche sferiche e gli autovalori sono:
$h^2l(l+1)$ per $L^2$
$hm$ per $Lz$
$E$ per $H$
per $t=0$ supposto che abbia valori di $L^2$ e $Lz$ pari rispettivamente a $2h^2$ e $h$,
posso dire che il sistema all' instante iniziale di trova nello stato $|lm>$ dato da $|1,1z>$
Se volessi misurare le probabilità dei valori possibili dell' energia ed il suo valore medio nel tempo, cosa dovrei fare?
Credo che il valore medio dell' energia non dipenda dal tempo per via del principio di conservazione,
il suo valore medio dovrebbe essere $Sigma= P(n)*En$ cioè il prodotto dei singoli valori delle energie pesato dalle probabilità... Però non riesco a rispondere alla domanda...
Ringrazio anticipatamente chiunque riesca a darmi una mano
Risposte
Abbiamo
$psi(0)=|1,1>$ all'istante iniziale
Facciamo l'evoluzione temporale
$psi(t)=|1,1>e^(-iEt/h)$ essendo già scritto nella giusta base, quella dell'hamiltoniana, possiamo scrivere
$psi(t)=|1,1>e^(-iKt)$ in quanto l'autovalore corrispondente a $L_z=1$ è $Kh$
Per trovare il valore medio dell'energia, che come dici giustamente si conserva nel tempo, facciamo
$psi(t)=e^(iKt)<1,1|H|1,1>e^(-iKt)=Kh$
L'esercizio si poteva risolvere senza fare questi passaggi notando che le probabilità $P(n)$ di ottenere una certa energia sono indipendenti dal tempo e, nella funzione d'onda al tempo $t=0$ abbiamo che la probabilità di avere $E=Kh$ è del 100% quindi $P(1)=1$ e applicando la formula che hai scritto ottieni il risultato corretto.
$psi(0)=|1,1>$ all'istante iniziale
Facciamo l'evoluzione temporale
$psi(t)=|1,1>e^(-iEt/h)$ essendo già scritto nella giusta base, quella dell'hamiltoniana, possiamo scrivere
$psi(t)=|1,1>e^(-iKt)$ in quanto l'autovalore corrispondente a $L_z=1$ è $Kh$
Per trovare il valore medio dell'energia, che come dici giustamente si conserva nel tempo, facciamo
$psi(t)=e^(iKt)<1,1|H|1,1>e^(-iKt)=Kh$
L'esercizio si poteva risolvere senza fare questi passaggi notando che le probabilità $P(n)$ di ottenere una certa energia sono indipendenti dal tempo e, nella funzione d'onda al tempo $t=0$ abbiamo che la probabilità di avere $E=Kh$ è del 100% quindi $P(1)=1$ e applicando la formula che hai scritto ottieni il risultato corretto.
Sei stato molto chiaro, ti ringrazio 
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