Momento angolare orbitale
Come faccio a dimostrare che data la funzione d'onda
[tex]\Psi(x,y,z)= (x+y+3z) f(r)[/tex] con f(r) parte radiale
questa è autofunzione del momento angolare orbitale [tex]\hat{L}^2[/tex] con autovalori [tex]\hbar ^2 l(l+1)[/tex] ?
grazie
[tex]\Psi(x,y,z)= (x+y+3z) f(r)[/tex] con f(r) parte radiale
questa è autofunzione del momento angolare orbitale [tex]\hat{L}^2[/tex] con autovalori [tex]\hbar ^2 l(l+1)[/tex] ?
grazie
Risposte
Se $f(r)$ fosse la parte radiale, $x+y+3z$ dovrebbe essere la parte angolare. Qualcosa non torna, in quanto anche quest'ultima verrebbe a dipendere da $r$, come facilmente verificabile utilizzando le coordinate sferiche. Sarebbe meglio che tu riformulassi la domanda, prima di affrontare concetti più avanzati. Per esempio, basterebbe fattorizzare $r$ in $x+y+3z$ e inglobarlo dentro $f(r)$, considerando quello che ottieni la vera parte radiale. In questo modo potresti procedere con la sola parte angolare in modo più rigoroso.
Considerando [tex]l=1[/tex] (come chiede il problema) posso scrivere la parte angolare della funzione come combinazione lineare delle armoniche sferiche. Considerate le armoniche sferiche, scritte in coordinate cartesiane:
[tex]Y_1^0(\theta, \varphi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}} \frac{z}{r}[/tex]
[tex]Y_1^{+1}(\theta, \varphi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}( \frac{x+iy}{r})[/tex]
[tex]Y_1^{-1}(\theta, \varphi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}} (\frac{x-iy}{r})[/tex]
ottengo tale combinazione lineare:
[tex](x+y+3z)=r\sqrt{\frac{4\pi}{3}}[3Y_1^0+\frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1^{+1}+Y_1^{-1})-\frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1^{+1}-Y_1^{-1})][/tex] [size=85]sempre se non sbaglio...[/size]
Scusa ma l'avvo erroneamente dato per scontato.
[tex]Y_1^0(\theta, \varphi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}} \frac{z}{r}[/tex]
[tex]Y_1^{+1}(\theta, \varphi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}( \frac{x+iy}{r})[/tex]
[tex]Y_1^{-1}(\theta, \varphi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}} (\frac{x-iy}{r})[/tex]
ottengo tale combinazione lineare:
[tex](x+y+3z)=r\sqrt{\frac{4\pi}{3}}[3Y_1^0+\frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1^{+1}+Y_1^{-1})-\frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1^{+1}-Y_1^{-1})][/tex] [size=85]sempre se non sbaglio...[/size]
Scusa ma l'avvo erroneamente dato per scontato.
Quindi la funzione d'onda è la seguente:
$\psi(x,y,z)=x+y+3z$
parte radiale inclusa. Non mi tornano i coefficienti della tua combinazione lineare, piuttosto:
[tex]x+y+3z=r\sqrt{\frac{4\pi}{3}}[3Y_1^0+\frac{1}{2}(Y_1^{+1}+Y_1^{-1})+\frac{1}{2i}(Y_1^{+1}-Y_1^{-1})][/tex]
In ogni modo, indipendentemente dai coefficienti, non capisco quale sia il problema, visto che l'esercizio è ormai concluso. Tra l'altro, anche se è un approccio più matematico, una qualsiasi funzione del tipo:
$\psi(x,y,z)=ax+by+cz$
è sempre un'autofunzione di $hatL^2$ corrispondente all'autovalore $l=1$. Infatti, comparendo solo termini di 1° grado, essa soddisfa l'equazione di Laplace con $l=1$ indipendentemente dai valori di $a$, $b$ e $c$. Lo stesso non potrebbe dirsi per una qualsiasi funzione del tipo:
$\psi(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz$
contenente solo termini di 2° grado che, per soddisfare l'equazione di Laplace corrispondente all'autovalore $l=2$, deve rispettare la seguente condizione:
$a+b+c=0$
Hai quindi $5$ coefficienti liberi, un modo diverso per comprendere perchè le autofunzioni linearmente indipendenti siano solo $5$. Se ti vuoi divertire puoi provare con i termini di 3° grado, ritroverai comunque la famosa regola delle $2l+1$ autofunzioni linearmente indipendenti. Ricordati che il valore di $l$ coincide con il grado comune dei termini che consideri.
$\psi(x,y,z)=x+y+3z$
parte radiale inclusa. Non mi tornano i coefficienti della tua combinazione lineare, piuttosto:
[tex]x+y+3z=r\sqrt{\frac{4\pi}{3}}[3Y_1^0+\frac{1}{2}(Y_1^{+1}+Y_1^{-1})+\frac{1}{2i}(Y_1^{+1}-Y_1^{-1})][/tex]
In ogni modo, indipendentemente dai coefficienti, non capisco quale sia il problema, visto che l'esercizio è ormai concluso. Tra l'altro, anche se è un approccio più matematico, una qualsiasi funzione del tipo:
$\psi(x,y,z)=ax+by+cz$
è sempre un'autofunzione di $hatL^2$ corrispondente all'autovalore $l=1$. Infatti, comparendo solo termini di 1° grado, essa soddisfa l'equazione di Laplace con $l=1$ indipendentemente dai valori di $a$, $b$ e $c$. Lo stesso non potrebbe dirsi per una qualsiasi funzione del tipo:
$\psi(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz$
contenente solo termini di 2° grado che, per soddisfare l'equazione di Laplace corrispondente all'autovalore $l=2$, deve rispettare la seguente condizione:
$a+b+c=0$
Hai quindi $5$ coefficienti liberi, un modo diverso per comprendere perchè le autofunzioni linearmente indipendenti siano solo $5$. Se ti vuoi divertire puoi provare con i termini di 3° grado, ritroverai comunque la famosa regola delle $2l+1$ autofunzioni linearmente indipendenti. Ricordati che il valore di $l$ coincide con il grado comune dei termini che consideri.
Quello che mi stai dicendo è che una volta che ho scritto la funzione con le armoniche sferiche di rango 1 allora so che la funzione d'onda è autofunzione per [tex]\hat{L^2}[/tex] e che ha autovalori [tex]\hbar^2l(l+1)[/tex] perché
Io pensavo di dover applicare l'operatore [tex]\hat{L^2}[/tex] alla funzione d'onda per arrivare a trovare poi gli autovalori corretti.
[tex]\langle\psi(x,y,z)|\hat{L^2}\psi(x,y,z)\rangle=\hbar^2l(l+1)\langle\psi(x,y,z)|\psi(x,y,z)\rangle[/tex]
ed arrivare ad ottenere, scrivendo la funzione d'onda in coordinate polari con l=1:
[tex]\langle\psi(r,\theta,\varphi)|\hat{L^2}\psi(r,\theta,\varphi)\rangle=2\hbar^2\langle\psi(r,\theta,\varphi)|\psi(r,\theta,\varphi)\rangle[/tex]
Infatti, comparendo solo termini di 1° grado, essa soddisfa l'equazione di Laplace con l=1 indipendentemente dai valori di a, b e c.?
Io pensavo di dover applicare l'operatore [tex]\hat{L^2}[/tex] alla funzione d'onda per arrivare a trovare poi gli autovalori corretti.
[tex]\langle\psi(x,y,z)|\hat{L^2}\psi(x,y,z)\rangle=\hbar^2l(l+1)\langle\psi(x,y,z)|\psi(x,y,z)\rangle[/tex]
ed arrivare ad ottenere, scrivendo la funzione d'onda in coordinate polari con l=1:
[tex]\langle\psi(r,\theta,\varphi)|\hat{L^2}\psi(r,\theta,\varphi)\rangle=2\hbar^2\langle\psi(r,\theta,\varphi)|\psi(r,\theta,\varphi)\rangle[/tex]
a scanso di equivoci di scrivo il testo dell'esercizio
Si consideri una particella di massa m, in un campo di potenziale a simmetria sferica [tex]V(r)[/tex], la cui funzione d'onda è data da:
[tex]\psi(x,y,z)=(x+y+3z)f(r)[/tex]
Si dimostri che [tex]\psi[/tex] è un'autofunzione del quadrato del momento angolare orbitale [tex]\hat{L^2}[/tex], con autovalore [tex]\hbar^2 l(l+1)[/tex], e si dica per quale valore di [tex]l[/tex].
Primo messaggio
Utilizzando il metodo "forza bruta", puoi applicare l'operatore momento angolare alla tua funzione d'onda e verificare che è un'autofunzione corrispondente ad un opportuno autovalore. Viceversa, se puoi considerare note le autofunzioni, riuscendo a scrivere la funzione d'onda come combinazione lineare di autofunzioni corrispondenti allo stesso autovalore, sto parlando di $l$, puoi arrivare al risultato per via più elementare. Infine, la digressione matematica del mio post precedente esula dal programma vero e proprio, anche se, come spesso accade, aiuta a comprendere il motivo di certe conclusioni.
Secondo messaggio
Quindi la funzione d'onda è la seguente:
$\psi(x,y,z)=(x+y+3z)f(r)=(x/r+y/r+3z/r)rf(r)=(cos\phisin\theta+sin\phisin\theta+cos\theta)rf(r)$
con parte angolare $[cos\phisin\theta+sin\phisin\theta+cos\theta]$ e parte radiale $[rf(r)]$. Valgono le considerazioni fatte in precedenza, anche se la digressione matematica si riferisce a soluzioni polinomiali. Devi comunque concentrarti sulla parte angolare.
Utilizzando il metodo "forza bruta", puoi applicare l'operatore momento angolare alla tua funzione d'onda e verificare che è un'autofunzione corrispondente ad un opportuno autovalore. Viceversa, se puoi considerare note le autofunzioni, riuscendo a scrivere la funzione d'onda come combinazione lineare di autofunzioni corrispondenti allo stesso autovalore, sto parlando di $l$, puoi arrivare al risultato per via più elementare. Infine, la digressione matematica del mio post precedente esula dal programma vero e proprio, anche se, come spesso accade, aiuta a comprendere il motivo di certe conclusioni.
Secondo messaggio
Quindi la funzione d'onda è la seguente:
$\psi(x,y,z)=(x+y+3z)f(r)=(x/r+y/r+3z/r)rf(r)=(cos\phisin\theta+sin\phisin\theta+cos\theta)rf(r)$
con parte angolare $[cos\phisin\theta+sin\phisin\theta+cos\theta]$ e parte radiale $[rf(r)]$. Valgono le considerazioni fatte in precedenza, anche se la digressione matematica si riferisce a soluzioni polinomiali. Devi comunque concentrarti sulla parte angolare.
okay, credo di aver capito.
in sostanza per farla breve, una volta dimostrato che posso scrivere la mia funzione d'onda in coordinate sferiche come combinazione lineare delle armoniche ho già dimostato che è autofunzione del momento angolare orbitale.
grazie per l'aiuto.
questo forum è quanto di più utile possa esistere.
in sostanza per farla breve, una volta dimostrato che posso scrivere la mia funzione d'onda in coordinate sferiche come combinazione lineare delle armoniche ho già dimostato che è autofunzione del momento angolare orbitale.
grazie per l'aiuto.
questo forum è quanto di più utile possa esistere.
"brianthechem":
Una volta dimostrato che posso scrivere la mia funzione d'onda in coordinate sferiche come combinazione lineare delle armoniche ho già dimostato che è autofunzione del momento angolare orbitale.
Mi raccomando, combinazione lineare di autofunzioni corrispondenti allo stesso valore di $l$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo