Momento Angolare nel sistema del laboratorio
Salve a tutti, avrei dei dubbi sul seguente problema:
Una piastra piana rettangolare sottile e omogenea di lati $a$ e $b$ ruota con $w$ costante attorno ad un asse passante per la diagonale del triangolo e fisso nel sistema di riferimento del laboratorio.
Trovare il momento angolare nel sistema di riferimento del laboratorio.
So che sicuramente bisogna usare il teorema di Konig per il momento angolare ma non saprei bene come usarlo:
$L = r_{cm}$ x $Mv_{cm} + wI_{cm}$
è corretto dire che, dato che il sistema è in pura rotazione, $v_{cm} = 0 $ e quindi rimane solo il termine $wI_{cm}$? Perchè altrimenti, non sapendo bene dove questo sistema del laboratorio ha l'origine, non saprei quanto vale $r_{cm}$.
Grazie per l'aiuto
Una piastra piana rettangolare sottile e omogenea di lati $a$ e $b$ ruota con $w$ costante attorno ad un asse passante per la diagonale del triangolo e fisso nel sistema di riferimento del laboratorio.
Trovare il momento angolare nel sistema di riferimento del laboratorio.
So che sicuramente bisogna usare il teorema di Konig per il momento angolare ma non saprei bene come usarlo:
$L = r_{cm}$ x $Mv_{cm} + wI_{cm}$
è corretto dire che, dato che il sistema è in pura rotazione, $v_{cm} = 0 $ e quindi rimane solo il termine $wI_{cm}$? Perchè altrimenti, non sapendo bene dove questo sistema del laboratorio ha l'origine, non saprei quanto vale $r_{cm}$.
Grazie per l'aiuto
Risposte
"Ale7982":
Salve a tutti, avrei dei dubbi sul seguente problema:
Una piastra piana rettangolare sottile e omogenea di lati $a$ e $b$ ruota con $w$ costante attorno ad un asse passante per la diagonale del triangolo e fisso nel sistema di riferimento del laboratorio.
Trovare il momento angolare nel sistema di riferimento del laboratorio.
Volevi dire “diagonale del rettangolo” non del triangolo.
è corretto dire che, dato che il sistema è in pura rotazione, $v_{cm} = 0 $ e quindi rimane solo il termine $wI_{cm}$? Perchè altrimenti, non sapendo bene dove questo sistema del laboratorio ha l'origine, non saprei quanto vale $r_{cm}$.
Grazie per l'aiuto
se il rettangolo ruota solamente, di sicuro la velocità del CM rispetto al laboratorio é nulla. Però la diagonale del rettangolo non è un asse principale di inerzia per i suoi punti. La relazione tra momento angolare e velocità angolare è pertanto :
$vecL = vec omega$
dove $$ è la matrice di inerzia, rispetto alla terna solidale al rettangolo, che puoi scegliere con l' origine nel CM , l’asse $z$ coincidente con l’asse di rotazione, cioè la diagonale, e gli altri due assi rispettivamente perpendicolare e complanare al rettangolo nel CM. Quindi il vettore $vecomega$ giace sull’asse $z$ . Ovviamente nessuno impedisce di prendere l’origine in altro punto, per es un estremo della diagonale, anzi forse questo facilita alcuni calcoli.
Il problema sta nel trovare i termini della matrice di inerzia. Tieni presente che il sistema materiale è una lamina piana, il che facilita qualcosa : un paio di momenti centrifughi sono nulli, rimane solo quello rispetto alla coppia di assi giacenti nel piano. Inoltre è semplice scrivere il mi rispetto all’asse perpendicolare al piano.
Devi usare qualche furbata se vuoi evitare integrali scomodi; per esempio guarda questo, sui momenti di secondo ordine :
http://www.unife.it/interfacolta/design ... ee%201.pdf
E devi fare dei ragionamenti adeguati.
Una curiosità: questo problema a che corso appartiene?
Se fosse un corso di Fisica1 lo trovo inappropriato, normalmente in Fisica1 non si introduce il tensore di inerzia e risolvere questo problema per via geometrica calcolando direttamente il momento di inerzia e angolare rispetto ad un asse messo come una diagonale del rettangolo non è semplice.
Invece se è un corso più avanzato che presuppone la conoscenza del tensore di inerzia, il problema è abbastanza semplice: basta scrivere il tensore di inerzia rispetto alla terna centrale principale e da lì ricavare il momento angolare rispetto all'asse richiesto.
Se fosse un corso di Fisica1 lo trovo inappropriato, normalmente in Fisica1 non si introduce il tensore di inerzia e risolvere questo problema per via geometrica calcolando direttamente il momento di inerzia e angolare rispetto ad un asse messo come una diagonale del rettangolo non è semplice.
Invece se è un corso più avanzato che presuppone la conoscenza del tensore di inerzia, il problema è abbastanza semplice: basta scrivere il tensore di inerzia rispetto alla terna centrale principale e da lì ricavare il momento angolare rispetto all'asse richiesto.
Ciao Faussone. Naturalmente hai ragione.
Ma non è difficilissimo ricavare direttamente i termini della matrice di inerzia, per una terna con origine nel CM , l’asse $z$ coincidente con la diagonale, e gli altri due assi “ di conseguenza” . Se ricordi le formule che danno i momenti di inerzia e centrifughi quando gli assi vengono ruotati, prendi la terna centrale di inerzia e la fai ruotare dell’angolo $alpha = arctg a/b$ , cioè fino a far coincidere un asse centrale con la diagonale. Se non te le ricordi, fai come ho fatto io : tracci la diagonale , e consideri il rettangolo diviso in due triangoli rettangoli, poi vai a ricavarti la formula del m.i. rispetto all’ipotenusa di uno dei due, lo moltiplichi per due, e hai il m.i. rispetto a $z$...
Il m.i. rispetto all’asse $x$ normale al piano e passante per il CM, chiamiamolo $I_x$, è sempre quello che si trova con la terna centrale, non è influenzato dalla rotazione...Chiaro no? E quindi $I_y = I_z -I_x$ ....Poi c’è da trovare il momento centrifugo rispetto alla coppia $(y,z)$ , con $y$ complanare... insomma è solo un po’ brigoso, sicuramente!
E cosí , ho dato qualche altro suggerimento all’OP . MA vedo che non risponde, che sia in terapia intensiva per un attacco di fisica matematica o meccanica razionale ?
Ma non è difficilissimo ricavare direttamente i termini della matrice di inerzia, per una terna con origine nel CM , l’asse $z$ coincidente con la diagonale, e gli altri due assi “ di conseguenza” . Se ricordi le formule che danno i momenti di inerzia e centrifughi quando gli assi vengono ruotati, prendi la terna centrale di inerzia e la fai ruotare dell’angolo $alpha = arctg a/b$ , cioè fino a far coincidere un asse centrale con la diagonale. Se non te le ricordi, fai come ho fatto io : tracci la diagonale , e consideri il rettangolo diviso in due triangoli rettangoli, poi vai a ricavarti la formula del m.i. rispetto all’ipotenusa di uno dei due, lo moltiplichi per due, e hai il m.i. rispetto a $z$...
Il m.i. rispetto all’asse $x$ normale al piano e passante per il CM, chiamiamolo $I_x$, è sempre quello che si trova con la terna centrale, non è influenzato dalla rotazione...Chiaro no? E quindi $I_y = I_z -I_x$ ....Poi c’è da trovare il momento centrifugo rispetto alla coppia $(y,z)$ , con $y$ complanare... insomma è solo un po’ brigoso, sicuramente!
E cosí , ho dato qualche altro suggerimento all’OP . MA vedo che non risponde, che sia in terapia intensiva per un attacco di fisica matematica o meccanica razionale ?
@Shackle
Sì , come dicevo se conosci la matrice centrale di inerzia è abbastanza semplice e puoi fare in diversi modi[nota]Puoi anche semplicemente scriver la matrice centrale principale di inerzia e moltiplicarla per il versore dell'asse di rotazione lungo la diagonale moltiplicato per il valore della velocità angolare.[/nota].
Il fatto è che se siamo in Fisica1 per cui ancora i concetti di tensori, direzioni principali ecc non sono noti le cose sono più complicate e non vale la pena dare un esercizio simile, secondo me.
Vediamo se l'OP risponde altrimenti pazienza rimarrò con la curiosità, ma me ne farò una ragione
Sì , come dicevo se conosci la matrice centrale di inerzia è abbastanza semplice e puoi fare in diversi modi[nota]Puoi anche semplicemente scriver la matrice centrale principale di inerzia e moltiplicarla per il versore dell'asse di rotazione lungo la diagonale moltiplicato per il valore della velocità angolare.[/nota].
Il fatto è che se siamo in Fisica1 per cui ancora i concetti di tensori, direzioni principali ecc non sono noti le cose sono più complicate e non vale la pena dare un esercizio simile, secondo me.
Vediamo se l'OP risponde altrimenti pazienza rimarrò con la curiosità, ma me ne farò una ragione
Chiaramente non sono concetti di Fisica1 ! 
Grazie per i consigli. Il corso è quello di Fisica 2.
Avrei un ultimo dubbio:
Mi sono imbattuto in un problema dove c'è un semplice disco che ruota attorno ad un asse a lui ortogonale e devo ricavare il momento angolare nel tempo $L(t)$ nel laboratorio rispetto ad un polo A che si trova nella parte più bassa della circonferenza.
Come faccio a ricavare il momento angolare dipendente dal tempo?? Il setup sembra simile al problema precedente quindi come mai il momento angolare dovrebbe variare nel tempo?
Avrei un ultimo dubbio:
Mi sono imbattuto in un problema dove c'è un semplice disco che ruota attorno ad un asse a lui ortogonale e devo ricavare il momento angolare nel tempo $L(t)$ nel laboratorio rispetto ad un polo A che si trova nella parte più bassa della circonferenza.
Come faccio a ricavare il momento angolare dipendente dal tempo?? Il setup sembra simile al problema precedente quindi come mai il momento angolare dovrebbe variare nel tempo?
Stai attento Ale. Anche nel caso del rettangolo il vettore $vecL$ è funzione del tempo, nel riferimento assoluto del laboratorio. Infatti ruota come ruota il rettangolo, con la stessa velocità angolare, e il momento di forze esterne che lo fa variare è dato dalle reazioni dei cuscinetti, che devi supporre alle due estremità dell’ asse di rotazione. Questo asse è baricentrico ma non è centrale di inerzia, cioè non è un asse libero di rotazione . Quindi il rettangolo non ruota liberamente.
Ciò detto, non ho capito come è fatto il sistema del disco. Metti uno schizzo se possibile.
Ciò detto, non ho capito come è fatto il sistema del disco. Metti uno schizzo se possibile.
In realtà non ci sono disegni in entrambi i problemi, ma essendo entrambi molto simili magari sarebbe meglio una trattazione generale per capirli.
Non capisco come mai dici che la terna con l'asse z coincidente con la diagonale del rettangolo non è un asse principale. Io so che rispetto a quell'asse $w$ è costante ovvero il moto è stazionario e da quello che so dalla teoria le rotazioni stazionarie sono possibili solo attorno ad assi principali. Quindi, se così fosse, mi serve solo la componente $I_(zz)$ che non è difficile da trovare.
Per quanto riguarda il ricavare il momento angolare $L(t)$ nel laboratorio: devo usare la prima legge di Konig(che non so dove fa uscire fuorio la dipendenza di L dal tempo) oppure devo trovare i momenti rispetto un polo qualsiasi delle reazioni e risolvere la seconda legge cardinale per trovare $L(t)$?
Grazie per l'aiuto!
Non capisco come mai dici che la terna con l'asse z coincidente con la diagonale del rettangolo non è un asse principale. Io so che rispetto a quell'asse $w$ è costante ovvero il moto è stazionario e da quello che so dalla teoria le rotazioni stazionarie sono possibili solo attorno ad assi principali. Quindi, se così fosse, mi serve solo la componente $I_(zz)$ che non è difficile da trovare.
Per quanto riguarda il ricavare il momento angolare $L(t)$ nel laboratorio: devo usare la prima legge di Konig(che non so dove fa uscire fuorio la dipendenza di L dal tempo) oppure devo trovare i momenti rispetto un polo qualsiasi delle reazioni e risolvere la seconda legge cardinale per trovare $L(t)$?
Grazie per l'aiuto!
In un rettangolo, prendi le terne con origine in G . Sono assi principiali di inerzia in G (assi centrali di inerzia) le due mediane e l’asse perpendicolare al piano in G; una diagonale non è asse principale di inerzia. Solo se è un quadrato ogni retta complanare passante per G è asse centrale di inerzia. Dovresti rivedere bene la geometria delle masse, ti ho linkato una dispensa, guardala. Che cosa intendi per stazionario? Un corpo è in moto rotatorio stazionario se è messo inizialmente in rotazione attorno a un asse centrale di inerzia: vuol dire che (peso a parte, neutralizzato da un supporto assiale) in assenza di attrito il corpo, messo inizialmente in rotazione attorno a un asse centrale, continua a ruotare per inerzia attorno ad esso. Ma la rotazione di un rettangolo attorno a una diagonale non è una rotazione per inerzia: hai presente l’esercizio del manubrio, fatto di due masse uguali poste alle estremità di una asta senza massa, che è saldata ad un angolo diverso da 90 gradi ad un asse z di rotazione? Le due forze centrifughe agenti sulle masse nel sistema rotante formano una coppia che tende a far ruotare l’asse z nel piano contenente le due masse; questa coppia è contrastata dalla coppia di reazione esercitata dai cuscinetti che tengono vincolato l’asse z. Il vettore momento angolare, normale all’asta che collega le due masse, ruota con la stessa velocità angolare del sistema, non coincide certamente con l’asse z .
Cerca questo esercizio sul forum, fatto varie volte. Oppure guarda il Mencuccini/Silvestrini , è spiegato in dettaglio.SE non lo trovi lo metto io.
Il testo del primo esercizio dice che la velocità angolare del rettangolo attorno alla diagonale è costante: ma non dice che devi mantenerla costante! Non è una rotazione per inerzia questa!
Assumendo come terna di riferimento l’asse $z$ coincidente con la diagonale, l’asse $x$ perpendicolare al piano del rettangolo in G, e l’asse $y$ complanare e ortogonale ai primi due (solita regola della mano destra) , il vettore momento angolare è dato da :
$((L_x),(L_y),(L_z)) = ((I_x,0,0), (0,I_y,-I_(yz)), (0, - I_(zy),I_z) )((0),(0),(omega_z))$
le due matrici vanno moltiplicate riga per colonna, al solito. Come vedi la matrice di inerzia non è una matrice diagonale. HO messo il segno “-“ al momento centrifugo , alcuni autori inglobano il segno nella espressione del momento centrifugo stesso. Questo ti dice che il vettore momento angolare giace nel piano del rettangolo, ma non coincide con l’asse $z$ .
Naturalmente i termini della matrice di inerzia li devi calcolare. Oppure, se ti risulta più semplice, puoi fare come suggerito da Faussone.
Cerca questo esercizio sul forum, fatto varie volte. Oppure guarda il Mencuccini/Silvestrini , è spiegato in dettaglio.SE non lo trovi lo metto io.
Il testo del primo esercizio dice che la velocità angolare del rettangolo attorno alla diagonale è costante: ma non dice che devi mantenerla costante! Non è una rotazione per inerzia questa!
Assumendo come terna di riferimento l’asse $z$ coincidente con la diagonale, l’asse $x$ perpendicolare al piano del rettangolo in G, e l’asse $y$ complanare e ortogonale ai primi due (solita regola della mano destra) , il vettore momento angolare è dato da :
$((L_x),(L_y),(L_z)) = ((I_x,0,0), (0,I_y,-I_(yz)), (0, - I_(zy),I_z) )((0),(0),(omega_z))$
le due matrici vanno moltiplicate riga per colonna, al solito. Come vedi la matrice di inerzia non è una matrice diagonale. HO messo il segno “-“ al momento centrifugo , alcuni autori inglobano il segno nella espressione del momento centrifugo stesso. Questo ti dice che il vettore momento angolare giace nel piano del rettangolo, ma non coincide con l’asse $z$ .
Naturalmente i termini della matrice di inerzia li devi calcolare. Oppure, se ti risulta più semplice, puoi fare come suggerito da Faussone.
Grazie per la spiegazione che è stata molto chiara. Però non sarebbe più facile mettersi nella terna principale con origine nel centro di massa e proiettare la velocità angolare su tale terna ? $w = (w_x,w_y,w_z) = (0,wsin\theta,wcos\theta)$ dove z è l'asse parallelo al lato più corto, y quello parallelo al lato più lungo e x di conseguenza e $\theta = \pi/4$.
Poi calcolo $L = I_{cm}w$ che dipende dal tempo perchè precede intorno alla diagonale e la matrice d'inerzia è banale da ricavare.
Poi calcolo $L = I_{cm}w$ che dipende dal tempo perchè precede intorno alla diagonale e la matrice d'inerzia è banale da ricavare.
Ah certo, puoi anche prendere come terna di riferimento quella centrale di inerzia del corpo, ad essa solidale , e non la terna che ho preso io, che ha l’asse $z$ coincidente con l’asse di rotazione. Però a questo punto precedono rispetto alla terna principale sia $vecomega$ che $vecL$, e in realtà è la scelta che si fa per poi arrivare alle equazioni di Eulero. Con le indicazioni che hai dato, si ha :
$(x,y,z)$ = terna centrale di inerzia del corpo , con asse $x$ perpendicolare al piano in G , asse $y$ parallelo al lato lungo (che io ho chiamato $b$ in precedenza) , asse $z$ parallelo al lato corto ( che ho chiamato $a$ ). Posto : $tgalpha = a/b$ , si ha (verifica con un disegno) :
$omega_x = 0 $
$omega_y= omega cosalpha$
$omega_z = omega senalpha$
Per cui il vettore momento angolare è dato da :
$vecL = I_xomega_xhati + I_yomega_yhatj + I_zomega_zhatk$
in cui il primo termine è zero, e negli altri due i momenti di inerzia sono quelli centrali.
non è corretto che l’angolo è uguale a $pi/4$. I versori sono quelli dei tre assi principali del rettangolo in G .
Con questa scomposizione di entrambi i vettori $vecomega$ e $vecL$ si perde un po’ la cognizione della causa per cui il momento angolare precede , e cioè il fatto che accade in quanto l’asse di rotazione è baricentrico ma non è centrale di inerzia, come ti ho raccontato prima e come si vede dalla matrice di inerzia scritta nel riferimento NON centrale di inerzia da me assunto. E poi, se il testo richiede il calcolo di $vecL$ nel riferimento “del laboratorio” , quello solidale al corpo non è il riferimento fisso del laboratorio. Non lo è neanche il mio di prima, perchè ho assunto fisso solo l’asse $z$ di rotazione del rettangolo nel riferimento del laboratorio, ma forse il testo voleva intendere questo...
Comunque...in qualche modo devi fare!
Dai anche un’occhiata a questo messaggio :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8443554
e ai link riportati, con particolare riguardo alla dispensa di Frosali. Ti sarà utile, spero, cosi come tutta la discussione.
$(x,y,z)$ = terna centrale di inerzia del corpo , con asse $x$ perpendicolare al piano in G , asse $y$ parallelo al lato lungo (che io ho chiamato $b$ in precedenza) , asse $z$ parallelo al lato corto ( che ho chiamato $a$ ). Posto : $tgalpha = a/b$ , si ha (verifica con un disegno) :
$omega_x = 0 $
$omega_y= omega cosalpha$
$omega_z = omega senalpha$
Per cui il vettore momento angolare è dato da :
$vecL = I_xomega_xhati + I_yomega_yhatj + I_zomega_zhatk$
in cui il primo termine è zero, e negli altri due i momenti di inerzia sono quelli centrali.
non è corretto che l’angolo è uguale a $pi/4$. I versori sono quelli dei tre assi principali del rettangolo in G .
Con questa scomposizione di entrambi i vettori $vecomega$ e $vecL$ si perde un po’ la cognizione della causa per cui il momento angolare precede , e cioè il fatto che accade in quanto l’asse di rotazione è baricentrico ma non è centrale di inerzia, come ti ho raccontato prima e come si vede dalla matrice di inerzia scritta nel riferimento NON centrale di inerzia da me assunto. E poi, se il testo richiede il calcolo di $vecL$ nel riferimento “del laboratorio” , quello solidale al corpo non è il riferimento fisso del laboratorio. Non lo è neanche il mio di prima, perchè ho assunto fisso solo l’asse $z$ di rotazione del rettangolo nel riferimento del laboratorio, ma forse il testo voleva intendere questo...
Comunque...in qualche modo devi fare!
Dai anche un’occhiata a questo messaggio :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8443554
e ai link riportati, con particolare riguardo alla dispensa di Frosali. Ti sarà utile, spero, cosi come tutta la discussione.
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