Momento angolare in Meccanica Quantistica

[Sk_Anonymous]

Credo di aver padellato completamente l'esercizio...
Esercizio: Un sistema fisico è descritto da una particella di spin $J=1$. Sia $|s(0)>$ autovettore normalizzato di $J_x$ all'autovalore \(\hbar\).
(i) Dimostrare che il valore di aspettazione di $J_y$ e $J_z$ è nullo.
(ii) Sia $H$ un operatore che commuta con $J_y$ e $J_z$; dimostrare che $H$ è un operatore scalare.
(iii) Sia $H=aJ^2$. Determinare $|s(t)>$, evoluzione temporale di $|s(0)>$.
(iv) Sia $H=aJ^2+bJ_z$. Determinare $|s(t)>$, evoluzione temporale di $|s(0)>$.

Svolgimento, probabilmente tutto sbagliato.
(i) Posti $J_+ = J_z+iJ_y$ e $J_- = J_z-iJ_y$ si ha $J_z=1/2 (J_++J_-)$ (e già questo va bene?). Per simmetria i due valori di aspettazione sono uguali, e re-indico con $|t,m_x>$ il mio stato indicando l'autovalore di $J_x$ in unità \(\hbar\).
\[==<0,1|\frac{1}{2}(J_++J_-)|0,1>=\frac{1}{2}(<0,1|J_+|0,1>+<0,1|J_-|0,1>)=0\]
perché otterrò degli autovalori di $J_x$ corrispondenti ad autovalori diversi in prodotto scalare tra loro moltiplicato una costante, e dunque ortogonali.
(ii) Poiché manca solo $[H,J_x]=0$, lo calcolo: \([H,J_x]=1/(i\hbar) [H,[J_y,J_z]]\) (o qualcosa di simile, non ho il formulario sotto mano!), che è nullo per l'identità di Jacobi.
(iii) e (iV) \(|s(t)>=exp(-iHt/\hbar)|s(0)>\). Nessuno mi dice che $|s(0)>$ è anche autostato di $J^2$, giusto? È vero che $[J^2,J_x]=0$ e dunque sono simultaneamente diagonalizzabili, ma non è neppure vero che ogni autostato dell'uno lo è dell'altro. Dunque non so che fare...

[hamilton2]

"giuliofis":Per simmetria i due valori di aspettazione sono uguali,

giustifica meglio questa affermazione, è un po' delicata, $L$ è uno pseudovettore. Il resto del punto (i) mi pare giusto. Ripetilo esplicitamente con $J_y = \frac{1}{2i} (J_+ - J_-)$.

Per il punto (ii)... l'enunciato stesso, così come è scritto, è falso (controesempio: $H=\vec{x})$. Diventerebbe vero se si specificasse che ci si limita esclusivamente ed esplicitamente all'algebra del momento angolare di spin che agisce su $C^2$, ignorando i gradi di libertà spaziali della particella.

Se è così, allora il tuo calcoletto è perfetto, ma non hai esplicitato come questo ti permetta di dedurre che $H$ è scalare.

(iii) (iv) ti sta fregando con la lettera $J$, che dovrebbe essere $S$; $J^2$ per lo spin di una particella è una costante, è un operatore triviale. Ogni vettore dello spazio delle fasi è un autovettore per $J^2$.

[Sk_Anonymous]

"hamilton":Ripetilo esplicitamente con $J_y = \frac{1}{2i} (J_+ - J_-)$.

Ottengo una cosa identica a quella di prima: autovettori ortogonali.

Per il punto (ii)... l'enunciato stesso, così come è scritto, è falso (controesempio: $H=\vec{x})$. Diventerebbe vero se si specificasse che ci si limita esclusivamente ed esplicitamente all'algebra del momento angolare di spin che agisce su $C^2$, ignorando i gradi di libertà spaziali della particella.

Io avevo pensato che dato che le componenti dei momenti angolari commutano con gli operatori scalari (pag. 155 del Picasso), se avessi dimostrato questo fatto (cosa che mi sembra di aver fatto, giusto?) allora quello sarebbe stato un operatore scalare. Però in effetti lì si dice \(scalare \rightarrow commuta\) mentre io ho usato il contrario.

$J^2$ per lo spin di una particella è una costante, è un operatore triviale. Ogni vettore dello spazio delle fasi è un autovettore per $J^2$.

Allora per il (iii) mi basta sapere che \( J^2 |s(0)>=1(1+1)|s(0)>=2|S(0)>\) e si fa facile. Ma per il (iv) non saprei come fare, perché mi viene in mente solo come determinare $J_z^2=(J^2-J_x^2)/2$.

[hamilton2]

Ottengo una cosa identica a quella di prima: autovettori ortogonali.

che è giusto. Hai finito.

il punto (ii) lo dimostri così: intanto $H$ commuta anche con $J_1$:

$[H,J_1^2] = [H_i , J^2 - J_2^2 - J_3^2] = 0$

dunque, se $H$ fosse un vettore $H_i$ ($i = 1,2,3$):

$[H_i, J_j] = 0$ (1)

Ora, siccome $H_i$ fa parte dell'algebra generata dalle $J_i$ (l'ipotesi che io volevo aggiungere), si può scomporre:

$H_i = M_{ij} J_j$

per una qualche matrice $M_{ij}$. Scritto in notazione vettoriale:

$\vec{H} = M \vec{J}$

A questo punto dobbiamo usare che $\vec{H}$ sia un vettore. Essere un vettore vuol dire che sotto una rotazione di matrice $R$:

$\vec{H} \rightarrow R \vec{H} = R M \vec{J}$

ma secondo la formula scritta prima (e notando che ovviamente $\vec{J} \rightarrow M \vec{J}$) diventerebbe:

$M \vec{J} \rightarrow M R \vec{J}$

Dunque deve valere $MR = RM$ per tutte le matrici ortogonali $R$, ma allora $M = \lambda 1$ per un qualche $\lambda$. Dunque $\vec{H}$ è multiplo di $\vec{J}$; ora, a meno che non sia $\vec{H}=0$, la (1) è chiaramente incompatibile (pretende la commutazione di tutte le componenti di $H$ con tutte quelle di $J$) e dunque $H$ non era un vettore.


Per il punto (iv), fai i conti espliciti. Lavora nella base degli autovettori simultanei di $J^2$ e $J_3$. Scrivi in forma matriciale l'operatore $J_1$ in questa base. Lo trovi così:

le forme di $J_+$ e $J_-$ sono evidenti perché conosci la loro azione sulla base di cui sopra. Allora scrivi:

$J_1 = \frac{1}{2}(J_+ + J_-)$

che vale anche per la rappresentazione in matrice su $C^3$ (ah, p.s.: scusa, prima ho scritto $C^2$, ma lo spazio giusto per lo spin 1 è $C^3$. Mi sono distratto)

A quel punto trovi autovettori di $J_1$ (sono facilissimi) e hai l'espressione di $|s(0)>$ nella base standard, dopo averlo normalizzato.

L'evoluzione temporale è allora banale.

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio!