Momento angolare e quantità di moto
Nel seguente esercizio si afferma che il momento angolare del sistema non isolato include quello dei due corpi in moto traslatorie e quello della carrucola in moto rotazionale.
Ho letto e riletto più volte la teoria sul momento angolare ma non riesco a comprendere perché siano coinvolti nel calcolo del momento angolare totale quelli del corpo M1 e M2, c'e' solo un corpo che ruota cioè la carrucola.
Per i corpi M1 e M2 non si parla di quantità di moto ?!?
Ho letto e riletto più volte la teoria sul momento angolare ma non riesco a comprendere perché siano coinvolti nel calcolo del momento angolare totale quelli del corpo M1 e M2, c'e' solo un corpo che ruota cioè la carrucola.
Per i corpi M1 e M2 non si parla di quantità di moto ?!?
Risposte
No. Anche un punto materiale che si sposta ha un momento angolare pari $mvecrxxvecv$, con $vecr$ raggio vettore e $vecv$ velocita' del corpo.
In questo caso, se scegli il polo nell'asse della carrucola (per esempio), e presi positivi i momenti angolari antiorari avrai
$L=m_1Rv+m_2Rv+Iomega$,
$v=omegaR$ per la cinematica del sistema.
In questo caso, se scegli il polo nell'asse della carrucola (per esempio), e presi positivi i momenti angolari antiorari avrai
$L=m_1Rv+m_2Rv+Iomega$,
$v=omegaR$ per la cinematica del sistema.
"professorkappa":
No. Anche un punto materiale che si sposta ha un momento angolare pari $mvecrxxvecv$, con $vecr$ raggio vettore e $vecv$ velocita' del corpo.
ma il momento angolare non è $vecrxxmvecv$ cioè $vecrxxvecp$ ?
Quindi se prendo un'auto assoggettabile ad un punto materiale potrei affermare che ha momento angolare?!
Inoltre se i momenti di $m_1$, $m_2$ valgono rispettivamente $m_1Rv$ e $m_2Rv$ intuisco che il seno dell'angolo tra il vettore posizione e quello della quantità di moto sia $90°$ no? Il vettore velocità ha la stessa direzione e verso della quantità di moto per cui è facile riconoscerlo in figura, invece quello dello spostamento ? E come fa ad essere perpendicolare sia alla velocità di $m_1$ e $m_2$?
Si, mrv e' una abitudine mia, ma a rigore e' come dici tu. Non cambia la sostanza, comunque.
Il seno non e' mai 90: congiungi il mozzo della carrucola col corpo 1 (questa congiungente e' $vecr$) e vedrai che non e' mai 90 (solo se il corpo si trova sull'orizzontale passante per il mozzo e' 90).
Il momento angolare e' dunque $mrvsintheta$. Ma $rsintheta=R$ sempre, indipendentemente da $vecr$ e quindi ottieni $mvR$
Un auto ha certamente momento angolare, come qualsiasi corpo: se tu prendi il polo ad altezza macchina il momento angolare e' nullo. Ma se prendi il polo e lo piazzi sul tetto di un palazzo alto h, il momento e' $mvrsintheta=mvh$. Per calcolarlo "a mente" ti basta applicare il vettore $v$ nel baricentro del corpo e trovarne la distanza del polo dalla retta d'azione di $v$ stesso (prova a verificare con la carrucola e vedrai che ti riviene $mvR$.
Il seno non e' mai 90: congiungi il mozzo della carrucola col corpo 1 (questa congiungente e' $vecr$) e vedrai che non e' mai 90 (solo se il corpo si trova sull'orizzontale passante per il mozzo e' 90).
Il momento angolare e' dunque $mrvsintheta$. Ma $rsintheta=R$ sempre, indipendentemente da $vecr$ e quindi ottieni $mvR$
Un auto ha certamente momento angolare, come qualsiasi corpo: se tu prendi il polo ad altezza macchina il momento angolare e' nullo. Ma se prendi il polo e lo piazzi sul tetto di un palazzo alto h, il momento e' $mvrsintheta=mvh$. Per calcolarlo "a mente" ti basta applicare il vettore $v$ nel baricentro del corpo e trovarne la distanza del polo dalla retta d'azione di $v$ stesso (prova a verificare con la carrucola e vedrai che ti riviene $mvR$.
Il momento angolare è una priprietà dei punti materiali, così come tutte le altre proprietà meccaniche. Quando il punto materiale da studiare è solo uno, il momento angolare e di conseguenza la seconda equazione cardinale sono del tutto inutili perché coincidono con la quantità di moto e la prima cardinale, quando invece si ha un sistema di punti materiali, la prima e seconda cardinale (e quindi la quantità di moto e il momento angolare) costituiscono due equazioni e proprietà indipendenti.
"professorkappa":
congiungi il mozzo della carrucola col corpo 1 (questa congiungente e' $vecr$)
questo semplice passo mi ha già aiutato moltissimo.
Il momento angolare e' dunque $mrvsintheta$. Ma $rsintheta=R$ sempre, indipendentemente da $vecr$ e quindi ottieni $mvR$
Il fatto dei 90 gradi mi aveva tratto in inganno perchè nella formula non vedevo il seno per cui ho pensato che ci fosse di mezzo un angolo retto che portava questo valore ad $1$. Comunque da quello che ho letto è la stessa cosa considerare, come hai indicato tu, la componente ($R$) del vettore posizione perpendicolare al vettore velocità (o quantità di moto, tanto sono paralleli) oppure considerare la componente del vettore velocità perpendicolare al vettore posizione.
Alla fine hai un parallelogramma e per calcolarne l'area puoi avere soltanto due modi, ricavando l'altezza a seconda della base prescelta.
Un auto ha certamente momento angolare, come qualsiasi corpo
Questo un po' mi mette in crisi, studiando i momenti credevo che si parlasse di moto rotatorio ma dalle tue parole mi accorgo che non è così, perchè se scelgo un polo anche se non c'e' rotazione puoi avere ugualmente momento angolare.
Credo che questi siano concetti fondamentali e se non me li chiarisco non riesco ad andare avanti per cui faccio di nuovo un esempio:
prendo un'auto (punto materiale) di massa $m$ che viaggia in moto rettilineo uniforme con velocità $v$ verso destra, metto il polo più in alto dell'auto ed alla sua sinistra, quindi a distanza $d$ dall'auto.
Il vettore posizione quindi è inclinato (ottenuto dalla congiungente tra polo e punto materiale) che forma un angolo $theta$ con la retta di azione di $v$, pertanto calcolo il momento: $L=mvdsen theta$
Dove $sentheta$ rappresenta l'altezza dell'auto dal polo.
In questo caso esiste momento ma non c'e' rotazione ma allora quando utilizzo il momento angolare e quando la quantità di moto? In base al tipo di esercizio posso anche combinarli insieme?
Fino adesso ho creduto che parlando di momento angolare ci dovesse essere per forza una rotazione.
Grazie
$dsintheta$ rappresenta l'altezza, non $sintheta$.
QDM e mom della QDM non sono altro che quantita' definite da operazioni matematiche ($mvecv$ e $rxxmvecv$, ripsettivamente). Non sono altro che definizioni, che sono utili perche in determinate condizioni si conservano. Ma si applicano al punto materiale, indipendentemente dalla traiettoria, essendo sempre calcolabili una volta noti $m$, $vecr$ e $vecv$.
Quando e come usarle lo impari dall'esperienza. Sicuramente non hai fatto gli urti ancora, ma un esercizio classico e quello di una sbarretta imperniata in un'estemita che viene colpita da un proiettile che viaggia a velocita' orizontalez $vecv$ (ortogonale alla sbarretta). In quel caso la qdm NON si conserva nell'impatto, ma esiste un polo (in quel caso e' solo uno) in cui si conserva il momento angolare, il che permette di trovare le condizioni del sistema immediatamente dopo l'urto.
Anche in questo esercizio potresti usare la quantita' di moto, ma la risoluzione sarebbe piu' complicata. Con l'uso del mom. della qdm ti si risolve di parecchio la parte di conto perche scrivi un'equazione (o al massimo 2, se conti anche $v=omegaR) e il gioco e' fatto. E' una questione di esperienza, che si acquisisice con l'esercizio.
QDM e mom della QDM non sono altro che quantita' definite da operazioni matematiche ($mvecv$ e $rxxmvecv$, ripsettivamente). Non sono altro che definizioni, che sono utili perche in determinate condizioni si conservano. Ma si applicano al punto materiale, indipendentemente dalla traiettoria, essendo sempre calcolabili una volta noti $m$, $vecr$ e $vecv$.
Quando e come usarle lo impari dall'esperienza. Sicuramente non hai fatto gli urti ancora, ma un esercizio classico e quello di una sbarretta imperniata in un'estemita che viene colpita da un proiettile che viaggia a velocita' orizontalez $vecv$ (ortogonale alla sbarretta). In quel caso la qdm NON si conserva nell'impatto, ma esiste un polo (in quel caso e' solo uno) in cui si conserva il momento angolare, il che permette di trovare le condizioni del sistema immediatamente dopo l'urto.
Anche in questo esercizio potresti usare la quantita' di moto, ma la risoluzione sarebbe piu' complicata. Con l'uso del mom. della qdm ti si risolve di parecchio la parte di conto perche scrivi un'equazione (o al massimo 2, se conti anche $v=omegaR) e il gioco e' fatto. E' una questione di esperienza, che si acquisisice con l'esercizio.
"professorkappa":
$dsintheta$ rappresenta l'altezza, non $sintheta$.
Avevo dimenticato un $d$, oops! Ne sono consapevole.
E' una questione di esperienza, che si acquisisice con l'esercizio.
Allora ho sbagliato approccio di studio?
Intanto sto studiando solo la teoria per capire di cosa si parla, avevo intenzione di guardarmi gli esercizi che normalmente il prof presenta agli esami solo successivamente. Cosa ne dici?
No, l'approccio e' correttissimo. Studia bene la teoria. Ma fai subito esercizio, applicando la teoria. Si capiscono tante cose in piu' e si fissa per bene il concetto.
Il contrario, cioe', dato l'esercizio, studiarsi la teoria dietro, e' invece deleterio
Il contrario, cioe', dato l'esercizio, studiarsi la teoria dietro, e' invece deleterio
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