Momento angolare e palla da rugby
Ciao a tutti,
premetto che non è mia intenzione, per adesso, capire fino in fondo l'effetto giroscopico, in quanto lo sto studiando per pura curiosità ed avrei mille altri argomenti da studiare per sostenere altri esami.
Voglio chiedervi se siete d'accordo con questo mio ragionamento "sommario" che sto per fare, o se, secondo voi, sto dicendo delle grandi sciocchezze.
Carico un immagine del celebre Walter Lewin.
Semplificando la situazione dirò che il momento angolare $K$ è diretto lungo l'asse di rotazione, ed è dunque parallelo alla velocità angolare $omega$.
$K=I omega$
L'unica forza in gioco è la forza peso $F_p$.
Nella foto ho chiamato $M$ il momento della forza peso, la quale è perpendicolare sia alla forza peso che al momento angolare.
Dato che il momento della forza peso è perpendicolare al momento angolare, esso non farà cambiare valore al momento angolare ma solo direzione.
La ruota continuerà a girare a causa della tendenza dei corpi a mantenere il proprio momento angolare.
Giusto?
Questo fenomeno si verifica anche nelle palle da rugby? In che modo?
premetto che non è mia intenzione, per adesso, capire fino in fondo l'effetto giroscopico, in quanto lo sto studiando per pura curiosità ed avrei mille altri argomenti da studiare per sostenere altri esami.
Voglio chiedervi se siete d'accordo con questo mio ragionamento "sommario" che sto per fare, o se, secondo voi, sto dicendo delle grandi sciocchezze.
Carico un immagine del celebre Walter Lewin.
Semplificando la situazione dirò che il momento angolare $K$ è diretto lungo l'asse di rotazione, ed è dunque parallelo alla velocità angolare $omega$.
$K=I omega$
L'unica forza in gioco è la forza peso $F_p$.
Nella foto ho chiamato $M$ il momento della forza peso, la quale è perpendicolare sia alla forza peso che al momento angolare.
Dato che il momento della forza peso è perpendicolare al momento angolare, esso non farà cambiare valore al momento angolare ma solo direzione.
La ruota continuerà a girare a causa della tendenza dei corpi a mantenere il proprio momento angolare.
Giusto?
Questo fenomeno si verifica anche nelle palle da rugby? In che modo?
Risposte
La conservazione del momento angolare rispetto a un polo è conseguenza della 2 eq cardinale della dinamica, per cui se non c’è momento di forze esterne il momento angolare si conserva. E vale per tutti i corpi. Anche se metti la palla da rugby al posto della ruota, cioè appesa a una funicella in un estremo e libera nell’altro, in rapida rotazione attorno all’asse di simmetria, succede la stessa cosa della ruota di bicicletta.
Ma per la palla di rugby, la “precessione libera “ nello spazio, una volta lanciata, è più interessante. A parte il solito moto parabolico del CM (supponiamo nulla la resistenza dell’aria), la palla, lanciata con la punta in avanti, a volte si mette a sfarfallare; succede che il lancio non è stato proprio in direzione assiale, per cui il momento angolare $vecL$ non è esattamente in direzione dell’asse longitudinale $x_3$ e del vettore $vec\omega$. Dalle equazioni di Eulero già nominate, si trova la velocità angolare di precessione , e si vede che il vettore $vecL$, che è fisso nello spazio assoluto (a parte la traslazione) , l’asse $x_3$ e il vettore $vec\omega$ giacciono nello stesso piano, e tale piano ruota attorno alla retta su cui giace $vecL$; quindi i due ultimi vettori detti descrivono ciascuno un cono con asse $vecL$. La velocità angolare di questa rotazione dipende dai momenti di inerzia principali. Ma per vedere analiticamente le cose, ci vogliono le equazioni di Eulero. Altre volte, anziché sfarfallare solo, diventa proprio instabile.
Se trovo una spiegazione semplice la posto.
Ma per la palla di rugby, la “precessione libera “ nello spazio, una volta lanciata, è più interessante. A parte il solito moto parabolico del CM (supponiamo nulla la resistenza dell’aria), la palla, lanciata con la punta in avanti, a volte si mette a sfarfallare; succede che il lancio non è stato proprio in direzione assiale, per cui il momento angolare $vecL$ non è esattamente in direzione dell’asse longitudinale $x_3$ e del vettore $vec\omega$. Dalle equazioni di Eulero già nominate, si trova la velocità angolare di precessione , e si vede che il vettore $vecL$, che è fisso nello spazio assoluto (a parte la traslazione) , l’asse $x_3$ e il vettore $vec\omega$ giacciono nello stesso piano, e tale piano ruota attorno alla retta su cui giace $vecL$; quindi i due ultimi vettori detti descrivono ciascuno un cono con asse $vecL$. La velocità angolare di questa rotazione dipende dai momenti di inerzia principali. Ma per vedere analiticamente le cose, ci vogliono le equazioni di Eulero. Altre volte, anziché sfarfallare solo, diventa proprio instabile.
Se trovo una spiegazione semplice la posto.
Si chiama effetto Magus, ci facevano anche motori per navi
Vedrai che qualcuno te lo spiega
Vedrai che qualcuno te lo spiega
Si chiama effetto Magus, ci facevano anche motori per navi
L’effetto Magnus è tutta un’altra cosa. Ciò di cui parlo è la precessione libera di un corpo con due momenti di inerzia principali uguali. (E quindi non sono solo due)
Ho trovato una trattazione semplice della precessione libera , nel caso in oggetto. Negli allegati, ci sono dapprima le equazioni di Eulero, che poi si semplificano quando $lambda_1 = lambda_2$ ( cosi l'autore chiama i momenti principali di inerzia ). Poi c'è la trattazione analitica, e la sintesi finale. Quella specie di uovo nella figura 10.9 potrete essere la palla da rugby che esegue la precessione regolare. Nell'immagine di destra, è riportato il vettore $vecL$ fisso nello spazio assoluto , e gli altri due che sono complanari col primo e ruotano rispetto all'asse cui appartiene $vecL$ .
"Shackle":
La conservazione del momento angolare rispetto a un polo è conseguenza della 2 eq cardinale della dinamica, per cui se non c’è momento di forze esterne il momento angolare si conserva. E vale per tutti i corpi. Anche se metti la palla da rugby al posto della ruota, cioè appesa a una funicella in un estremo e libera nell’altro, in rapida rotazione attorno all’asse di simmetria, succede la stessa cosa della ruota di bicicletta.
Ciao Shackle, innanzitutto ti ringrazio. Allora cerco di capire un attimo la prima parte della tua risposta.
Correggimi se sbaglio.
1) Il momento delle forze esterne non dovrebbe essere nullo perché, se considero come sistema la mia ruota che gira (vedi immagine thread), ho solo la forza peso che è applicata dal campo gravitazionale, e che causa un momento.
2) nell'immagine del thread, il vettore che punta verso il basso è la forza peso, il vettore che punta verso "sinistra" è il momento della forza peso, mentre l'altro vettore è il vettore momento angolare. Come mai il momento angolare ha quella direzione?
L'ho sempre visto disegnato così, ma ora mi è venuto il dubbio. L'avrei disegnato anche io in tal modo, perché so che è parallelo alla velocità angolare $omega$, tuttavia, dalla semplice definizione del momento della quantità di moto rispetto al centro di massa ( $ Sigma_i r_i xx m_iv_i$) non ci sarei arrivato.
3) alla fine la ruota smette di girare e "cade" perché, nonostante il sistema tenda a conservare il proprio momento angolare, la forza di attrito viscoso dell'aria continua a far diminuire la velocità e....?
"anonymous_f3d38a":
1) Il momento delle forze esterne non dovrebbe essere nullo perché, se considero come sistema la mia ruota che gira (vedi immagine thread), ho solo la forza peso che è applicata dal campo gravitazionale, e che causa un momento.
Ok
2) nell'immagine del thread, il vettore che punta verso il basso è la forza peso, il vettore che punta verso "sinistra" è il momento della forza peso, mentre l'altro vettore è il vettore momento angolare. Come mai il momento angolare ha quella direzione?
L'ho sempre visto disegnato così, ma ora mi è venuto il dubbio. L'avrei disegnato anche io in tal modo, perché so che è parallelo alla velocità angolare $omega$, tuttavia, dalla semplice definizione del momento della quantità di moto rispetto al centro di massa ( $ Sigma_i r_i xx m_iv_i$) non ci sarei arrivato.
Nella ipotesi semplificata (che non tiene conto della velocita angolare di precessione, perchè piccola rispetto a quella di spin) il momento angolare è dato da : $vecL = I vecomega$ ; quindi è diretto come $vecomega$ . L'asse della ruota è un asse centrale di inerzia. Perché non ci saresti arrivato dalla definizione ? Considera un elemento di massa $dm$ , applica la velocità $vecv$ , calcola il momento di $mvecv$ rispetto all'asse, e vedi che ti trovi... Però devi fare attenzione ai versi, $vecomega$ e quindi $vecL$ devono vedere la ruota girare in senso antiorario; ora io non vedo il senso di rotazione nella figura. In un 3D precedente ho messo questa immagine:
https://i.imgur.com/kzSlte9.jpg
in cui il vettore momento, non disegnato, è diretto come y .
3) alla fine la ruota smette di girare e "cade" perché, nonostante il sistema tenda a conservare il proprio momento angolare, la forza di attrito viscoso dell'aria continua a far diminuire la velocità e....?
Come in tutti i fenomeni di moto reali, anche questo finisce prima o poi , si .
A parte la terra che gira, gira, gira, ed è un elissdoide simile
"Gabrio":
A parte la terra che gira, gira, gira, ed è un elissdoide simile
È sbagliato pensare che la velocità di rotazione della terra sia costante, essa diminuisce ma ci vogliono millenni per accorgersene, soprattutto a causa delle maree. Inoltre anche la terra ha un moto di precessione, il periodo di precessione è di circa 26000 anni
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8361071
ma la precessione non è l'unico moto che si aggiunge a rotazione e rivoluzione. Esistono altri movimenti, per esempio l'oscillazione di Chandler :
https://it.wikipedia.org/wiki/Oscillazione_di_Chandler
Era un esempio, ci sono oggetti nella galassia che manco sanno cosa sia una marea
Poi la luna conserva il suo momento angolare raggiunto con molta pazienza, mostrando sempre la stessa faccia
Poi la luna conserva il suo momento angolare raggiunto con molta pazienza, mostrando sempre la stessa faccia
"Gabrio":
Era un esempio, ci sono oggetti nella galassia che manco sanno cosa sia una marea
Questo è ciò che credi tu. Anche gli oggetti nella galassia, anzi nell'universo, perdono energia. Non si tratta di corpi rigidi, non si tratta di meccanica elementare.
"Shackle":
[quote="anonymous_f3d38a"]
1) Il momento delle forze esterne non dovrebbe essere nullo perché, se considero come sistema la mia ruota che gira (vedi immagine thread), ho solo la forza peso che è applicata dal campo gravitazionale, e che causa un momento.
Ok
[/quote]
Quindi, nonostante ci sia un momento di una forza esterna, essa è perpendicolare al momento angolare.
Questo cosa significa? Che la seconda cardinale è uguale a zero!
Ovvero dovrei avere una conservazione del mio momento angolare.
Per far sì che ciò avvenga la mia ruota "cerca" di non smettere di girare.
Corretto?
Per il punto 2) e 3) ho capito, gentilissimo!!!
"anonymous_f3d38a":
Quindi, nonostante ci sia un momento di una forza esterna, essa è perpendicolare al momento angolare.
Questo cosa significa? Che la seconda cardinale è uguale a zero!
Ovvero dovrei avere una conservazione del mio momento angolare.
Per far sì che ciò avvenga la mia ruota "cerca" di non smettere di girare.
Corretto?
Nooo!!! Che cosa ti ho detto ? Questo :
La conservazione del momento angolare rispetto a un polo è conseguenza della 2 eq cardinale della dinamica, per cui se non c’è momento di forze esterne il momento angolare si conserva
Siccome qui il momento di forza esterna c'è, ed è il momento del peso, il momento angolare non si conserva , nello spazio fisso, tant'è vero che la ruota di bicicletta appesa al filo ruota (verbo!) , con velocità angolare di precessione (guarda la figura) :
$omega_p = M/(I\Omega)$
L'abbiamo visto in una delle tante discussioni recenti sul moto del giroscopio.
Aggiungo queste pagine, con la speranza che possano esserti utili, a te come anche ad altri interessati. Forse ci sono delle nozioni un po' ostiche per te, ma vedrai che col prosieguo degli studi diventeranno più chiare :
LA cosa più importante è questa : abbiamo un riferimento fisso (="space frame") e un riferimento mobile , solidale con il corpo mobile ( = "body frame") e rotante rispetto al fisso con velocità angolare $vecomega$; supponiamo che i due riferimenti abbiano l'origine in comune . Quando si va a derivare una grandezza vettoriale come $vecL$ nel riferimento fisso, risulta (e si dimostra studiando il calcolo vettoriale) che vale quanto segue :
$ [ (dvecL)/(dt)]_f = [ (dvecL)/(dt)]_m + vecomegatimesvecL$
Questa uguaglianza è del tutto generale, vale qualunque sia il vettore $vecL$ che si considera. SE ci fai caso, è la stessa relazione che sussiste tra le velocitá di due punti P e Q di un corpo rigido :
$vecv_P = vecv_Q + vecomegatimes(P-Q)$
tant'è vero che si può definire un "operatore derivata" a questa maniera :
$ [ (dvec...)/(dt)]_f = [ (dvec...)/(dt)]_m + vecomegatimesvec...$
dove al posto dei puntini ci va il vettore che ti interessa.
Tornando al momento angolare , se esso non cambia nel riferimento mobile , si ha : $[ (dvecL)/(dt)]_m = 0 $ .
E questo è proprio quello che succede nel caso della soluzione semplificata del giroscopio : si suppone che il momento angolare non cambi nel riferimento mobile , cioè nel corpo ( in generale, questo non è vero) . Per cui rimane :
$ [ (dvecL)/(dt)]_f = vecomegatimesvecL$
e questa, tenendo conto della 2º eq cardinale della dinamica, porta al risultato prima detto per la ruota d bicicletta, visto che i vettori in argomento sono mutuamente perpendicolari :
$M = omega_pIOmega \rarr omega_p = M/(IOmega) $
LA cosa più importante è questa : abbiamo un riferimento fisso (="space frame") e un riferimento mobile , solidale con il corpo mobile ( = "body frame") e rotante rispetto al fisso con velocità angolare $vecomega$; supponiamo che i due riferimenti abbiano l'origine in comune . Quando si va a derivare una grandezza vettoriale come $vecL$ nel riferimento fisso, risulta (e si dimostra studiando il calcolo vettoriale) che vale quanto segue :
$ [ (dvecL)/(dt)]_f = [ (dvecL)/(dt)]_m + vecomegatimesvecL$
Questa uguaglianza è del tutto generale, vale qualunque sia il vettore $vecL$ che si considera. SE ci fai caso, è la stessa relazione che sussiste tra le velocitá di due punti P e Q di un corpo rigido :
$vecv_P = vecv_Q + vecomegatimes(P-Q)$
tant'è vero che si può definire un "operatore derivata" a questa maniera :
$ [ (dvec...)/(dt)]_f = [ (dvec...)/(dt)]_m + vecomegatimesvec...$
dove al posto dei puntini ci va il vettore che ti interessa.
Tornando al momento angolare , se esso non cambia nel riferimento mobile , si ha : $[ (dvecL)/(dt)]_m = 0 $ .
E questo è proprio quello che succede nel caso della soluzione semplificata del giroscopio : si suppone che il momento angolare non cambi nel riferimento mobile , cioè nel corpo ( in generale, questo non è vero) . Per cui rimane :
$ [ (dvecL)/(dt)]_f = vecomegatimesvecL$
e questa, tenendo conto della 2º eq cardinale della dinamica, porta al risultato prima detto per la ruota d bicicletta, visto che i vettori in argomento sono mutuamente perpendicolari :
$M = omega_pIOmega \rarr omega_p = M/(IOmega) $
"Shackle":
...
Tornando al momento angolare , se esso non cambia nel riferimento mobile , si ha : $[ (dvecL)/(dt)]_m = 0 $ .
E questo è proprio quello che succede nel caso della soluzione semplificata del giroscopio : si suppone che il momento angolare non cambi nel riferimento mobile , cioè nel corpo ( in generale, questo non è vero) . Per cui rimane :
$ [ (dvecL)/(dt)]_f = vecomegatimesvecL$
e questa, tenendo conto della 2º eq cardinale della dinamica, porta al risultato prima detto per la ruota d bicicletta, visto che i vettori in argomento sono mutuamente perpendicolari :
$M = omega_pIOmega \rarr omega_p = M/(IOmega) $
Quindi so che la variazione del momento angolare, ovvero $dot(vecL_f)$ nel mio SDR fisso è uguale a $vecomega xx vecL_m$ dove $vecL_m$ è il momento angolare nel sistema mobile?
Chi è $Omega$ ?
Shackle mi dispiace se sono veramente duro di comprendonio.
Molti ragazzi al secondo anno mi hanno detto di prenderla con calma, nessuno di loro aveva capito fino in fondo il fenomeno giroscopico al primo anno. Mi hanno detto che si capisce tutto perfettamente quando si farà meccanica razionale al secondo anno.
Io ci sto battendo la testa prima del tempo perché mi interessa e perché mi da fastidio non comprendere un argomento a cui sto dedicando non poco tempo.
"anonymous_f3d38a":
.....
Quindi so che la variazione del momento angolare, ovvero $ dot(vecL_f) $ nel mio SDR fisso è uguale a $ vecomega xx vecL_m $ dove $ vecL_m $ è il momento angolare nel sistema mobile?
Non ci sono due momenti angolari, c'è una derivata temporale nel rif. fisso e una derivata temporale nel rif mobile. Eppure avevo cercato di essere chiaro....
Chi è $ Omega $ ?
Prima di tutto, $vecOmega$ è la velocità angolare di spin, cioè quella con cui il giroscopio (=ruota di bicicletta di Lewin ) ruota attorno al proprio asse. Guarda il disegno, che riporto ancora una volta :
https://i.imgur.com/kzSlte9.jpg
nelle pagine in inglese che ho allegato, è indicata con $omega_3$ . Il momento angolare, visto nel riferimento mobile, è "circa" uguale a :
$vecL = IvecOmega$ , che nelle pagine allegate è indicato con $I_3omega_3$ ; non posso entrare in molti dettagli qui, ma risulta che il momento angolare totale, espresso nelle coordinate (=assi centrali) del rif mobile, in generale non è solo $I_3omega_3$ ; inoltre a causa della precessione attorno all'asse $z$ (guarda ancora la figura), la velocità angolare assoluta non è solo $vecOmega$ , perchè c'è anche $vecomega_p$ , la vedi? Cioè la velocità angolare di precessione. E c'è anche una componente di velocità angolare rispetto all'asse $y$. Tutto questo ha come conseguenza che il momento angolare non è fisso non solo nello spazio assoluto ma anche in quello mobile. LA situazione non è facile da descrivere.
Ma per noi, nella versione approssimata : $vecL = I vecOmega $ , e basta.
Ora , il momento della forza peso $vecM$ , che non ho indicato nel disegno, è diretto nel verso dell'asse $y$; pertanto, siccome questo momento causa "variazione del momento angolare nel riferimento assoluto" (2º eq della dinamica) , si ha :
$ vecM = [ (dvecL)/(dt)]_f $
e questa quantità vettoriale si dimostra ( in calcolo vettoriale) essere uguale a :
$ [ (dvecL)/(dt)]_f = [ (dvecL)/(dt)]_m + vecomegatimesvecL $
come già detto prima. Cito me stesso :
"Shackle":
LA cosa più importante è questa : abbiamo un riferimento fisso (="space frame") e un riferimento mobile , solidale con il corpo mobile ( = "body frame") e rotante rispetto al fisso con velocità angolare $ vecomega $; supponiamo che i due riferimenti abbiano l'origine in comune . Quando si va a derivare una grandezza vettoriale come $ vecL $ nel riferimento fisso, risulta (e si dimostra studiando il calcolo vettoriale) che vale quanto segue :
$ [ (dvecL)/(dt)]_f = [ (dvecL)/(dt)]_m + vecomegatimesvecL $
Questa uguaglianza è del tutto generale, .....
Tornando al momento angolare, se esso non cambia nel riferimento mobile , si ha : $ [ (dvecL)/(dt)]_m = 0 $ .
E questo è proprio quello che succede nel caso della soluzione semplificata del giroscopio : si suppone che il momento angolare non cambi nel riferimento mobile , cioè nel corpo (in generale, questo non è vero) . Per cui rimane :
$ [ (dvecL)/(dt)]_f = vecomegatimesvecL $
e questa, tenendo conto della 2º eq cardinale della dinamica, porta al risultato prima detto per la ruota d bicicletta, visto che i vettori in argomento sono mutuamente perpendicolari :
$ M = omega_pIOmega \rarr omega_p = M/(IOmega) $
siccome $vecL $ nella soluzione approssimata è costante nel corpo, cioè nel riferimento mobile , si ha :
$ [ (dvecL)/(dt)]_m =0 $
E perciò , rimane :
$ vecM = [ (dvecL)/(dt)]_f = vecomegatimesvecL $
la $vecomega$ che vedi scritta (che è la velocità angolare risultante dello spin, della vel. di precessione e di quella di nutazione, attorno a y, che abbiamo proprio ignorato ) moltiplicata vettorialmente per $vecL$ , dà come risultato :
$ M = omega_pIOmega \rarr omega_p = M/(IOmega) $
Shackle mi dispiace se sono veramente duro di comprendonio.
Molti ragazzi al secondo anno mi hanno detto di prenderla con calma, nessuno di loro aveva capito fino in fondo il fenomeno giroscopico al primo anno. Mi hanno detto che si capisce tutto perfettamente quando si farà meccanica razionale al secondo anno.
Io ci sto battendo la testa prima del tempo perché mi interessa e perché mi da fastidio non comprendere un argomento a cui sto dedicando non poco tempo.
Si, devi studiare la meccanica razionale con calma. Non fare il passo più lungo della gamba.
In sostanza ho scritto due volte le stesse cose.
Be, qui' abbiamo fatto un grosso lavoro per spiegare al meglio, ma gli angoli di Eulero richiedono tempo ed esercizio, il movimento giroscopio arriva alla fine dei corsi di Meccanica Razionale, e con la nuova riforma forse non li vedrai mai, ameno che non farai la specialistica.
"Shackle":
...
siccome $vecL $ nella soluzione approssimata è costante nel corpo, cioè nel riferimento mobile , si ha :
$ [ (dvecL)/(dt)]_m =0 $
E perciò , rimane :
$ vecM = [ (dvecL)/(dt)]_f = vecomegatimesvecL $
la $vecomega$ che vedi scritta (che è la velocità angolare risultante dello spin, della vel. di precessione e di quella di nutazione, attorno a y, che abbiamo proprio ignorato ) moltiplicata vettorialmente per $vecL$ , dà come risultato :
$ M = omega_pIOmega \rarr omega_p = M/(IOmega) $
...
Si, devi studiare la meccanica razionale con calma. Non fare il passo più lungo della gamba.
In sostanza ho scritto due volte le stesse cose.
Vabene Shackle, mi hai fatto capire sicuramente qualcosa di più.
Continuo a studiare Fisica 1 e magari piano piano capirò meglio. Di sicuro comunque, dato che tu sei stato molto esaustivo, devo ammettere che non ho capito per delle mie carenze.
Ho comunque fatto uno screenshot alle tue risposte, in modo che, quando avrò finito di studiare Fisica Generale e potrò dedicarmi a Meccanica Razionale, potrò capire tutto meglio.
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