Momento angolare e cdm
Sto cercando di capire alcuni elementi nella risoluzione del seguente esercizio:
Punto 1:
Allora la prima cosa che mi lascia perplesso è il centro di massa, che probabilmente ho compreso solo in parte:
se la sbarretta è sollecitata da una forza su un lato ruota sempre attorno al suo centro di massa?
Il fatto che venga calcolato il momento di inerzia mi assicura di ciò ma perchè?
Punto 2:
nel caso A il CM (centro di massa) dopo l'urto cambia ma potrei calcolare la nuova coordinata rispetto ad uno dei due estremi della sbarretta anziché prendere come riferimento metà lunghezza della stessa?
Il testo dice:
$d_{cm}=\frac{m_1L/2}{m_1+M}$
io avrei fatto:
prendo l'estremo sup. della sbarretta: $d_{cm}=\frac{m_1*0+M*L/2}{m_1+M}$
oppure
prendo l'estremo inf. della sbarretta: $d_{cm}=\frac{m_1*L+M*L/2}{m_1+M}$
se prendo un diverso riferimento per calcolare il CM non dovrebbe cambiare il valore ottenuto, dove sbaglio?
Punto 3:
non mi torna la differenza tra la quantità di moto finale del sistema A e B perchè dopo l'urto il testo della soluzione dice:
$m_1v_1 − (M + m_1)v_{cmB}$
ma perchè la quantità di moto finale nel caso A è $m_1v_1$ non dovrebbe essere $(m_1+M)V_{cmA)$ ?
Poi se ben capisco o si imposta un'equazione della quantità di moto e del momento angolare, giusto? non si possono mischiare i due aspetti. Dico questo perchè nel caso A corpo e pallina si muovono stando attaccati ma al tempo stesso ruotano, per cui potrei scrivere (anche se in questo caso entrambe non mi servono, ma questo mi aiuta a capire alcuni aspetti) 2 equazioni: una per la qdm e l'altra per il momento angolare visto che si conservano entrambi.
Grazie
Punto 1:
Allora la prima cosa che mi lascia perplesso è il centro di massa, che probabilmente ho compreso solo in parte:
se la sbarretta è sollecitata da una forza su un lato ruota sempre attorno al suo centro di massa?
Il fatto che venga calcolato il momento di inerzia mi assicura di ciò ma perchè?
Punto 2:
nel caso A il CM (centro di massa) dopo l'urto cambia ma potrei calcolare la nuova coordinata rispetto ad uno dei due estremi della sbarretta anziché prendere come riferimento metà lunghezza della stessa?
Il testo dice:
$d_{cm}=\frac{m_1L/2}{m_1+M}$
io avrei fatto:
prendo l'estremo sup. della sbarretta: $d_{cm}=\frac{m_1*0+M*L/2}{m_1+M}$
oppure
prendo l'estremo inf. della sbarretta: $d_{cm}=\frac{m_1*L+M*L/2}{m_1+M}$
se prendo un diverso riferimento per calcolare il CM non dovrebbe cambiare il valore ottenuto, dove sbaglio?
Punto 3:
non mi torna la differenza tra la quantità di moto finale del sistema A e B perchè dopo l'urto il testo della soluzione dice:
$m_1v_1 − (M + m_1)v_{cmB}$
ma perchè la quantità di moto finale nel caso A è $m_1v_1$ non dovrebbe essere $(m_1+M)V_{cmA)$ ?
Poi se ben capisco o si imposta un'equazione della quantità di moto e del momento angolare, giusto? non si possono mischiare i due aspetti. Dico questo perchè nel caso A corpo e pallina si muovono stando attaccati ma al tempo stesso ruotano, per cui potrei scrivere (anche se in questo caso entrambe non mi servono, ma questo mi aiuta a capire alcuni aspetti) 2 equazioni: una per la qdm e l'altra per il momento angolare visto che si conservano entrambi.
Grazie
Risposte
Punto 1
La risposta e' no. Anche se le tue domande sembrano un po' confuse.
Un corpo ruota sempre attorno al suo centro di massa in assenza di forze esterne.
Nel tuo esempio al corpo sono applicate delle forze esterne, quindi non ruota attorno al c.d.m.
Punto 2
Quel $d_{CM}$ che calcoli e' la distanza tra un punto che tu prendi come riferimento e il c.d.m.
Se il punto di riferimento e' a $x_{RIF}$ e il c.d.m. e' a $x_{CM}$ allora
$x_{CM} = x_{RIF} + d_{CM}$ e' costante.
In altre parole, $d_{CM}$ cambia perche' cambia il punto che prendi come riferimento.
Punto 3
Ok, d'accordo, ma:
$(m_1 + M) v_A = (m_1 + M) (m_1\ v_1)/(m_1 + M) = m_1\ v_1$
La risposta e' no. Anche se le tue domande sembrano un po' confuse.
Un corpo ruota sempre attorno al suo centro di massa in assenza di forze esterne.
Nel tuo esempio al corpo sono applicate delle forze esterne, quindi non ruota attorno al c.d.m.
Punto 2
Quel $d_{CM}$ che calcoli e' la distanza tra un punto che tu prendi come riferimento e il c.d.m.
Se il punto di riferimento e' a $x_{RIF}$ e il c.d.m. e' a $x_{CM}$ allora
$x_{CM} = x_{RIF} + d_{CM}$ e' costante.
In altre parole, $d_{CM}$ cambia perche' cambia il punto che prendi come riferimento.
Punto 3
Ok, d'accordo, ma:
$(m_1 + M) v_A = (m_1 + M) (m_1\ v_1)/(m_1 + M) = m_1\ v_1$
n corpo ruota sempre attorno al suo centro di massa in assenza di forze esterne.
Nel tuo esempio al corpo sono applicate delle forze esterne, quindi non ruota attorno al c.d.m.
No, la questione della rotazione non è banale e non può essere spiegata in poche righe. Un corpo rigido non ruota attorno a qualcosa, o ruota oppure non ruota. Se ruota ha una velocità angolare, se non ruota no.
se la sbarretta è sollecitata da una forza su un lato ruota sempre attorno al suo centro di massa?
Il fatto che venga calcolato il momento di inerzia mi assicura di ciò ma perchè?
La seconda equazione cardinale, se valutata rispetto al centro di massa, ha una forma più semplice, ecco perché molto spesso viene applicata al centro di massa.
Alla base delle vostre delucidazioni allora qual è l'approccio corretto in questo esercizio?
Prendiamo il caso A perchè il caso B mi sembra abbastanza intuibile perchè la sbarretta è vincolata su di un lato quindi ruota.
Dopo l'urto il corpo $M + m1$ "trasla" perchè lo dice l'equazione sulla quantità di moto, ma in base a quale criterio posso affermare anche che il corpo ruota? Potrei rispondere: si, se c'e' momento rispetto ad un asse prescelto ma qua la confusione si fa viva. Di nuovo, su quale asse ? Posso pensare che sia il centro di massa sulla base dell'enunciato di Quinzio che dice Un corpo ruota sempre attorno al suo centro di massa in assenza di forze esterne altrimenti non saprei rispondere diversamente.
Insomma vorrei aver chiaro come affrontare questo problema in fase iniziale.
Che cosa significa:
Prendiamo il caso A perchè il caso B mi sembra abbastanza intuibile perchè la sbarretta è vincolata su di un lato quindi ruota.
Dopo l'urto il corpo $M + m1$ "trasla" perchè lo dice l'equazione sulla quantità di moto, ma in base a quale criterio posso affermare anche che il corpo ruota? Potrei rispondere: si, se c'e' momento rispetto ad un asse prescelto ma qua la confusione si fa viva. Di nuovo, su quale asse ? Posso pensare che sia il centro di massa sulla base dell'enunciato di Quinzio che dice Un corpo ruota sempre attorno al suo centro di massa in assenza di forze esterne altrimenti non saprei rispondere diversamente.
Insomma vorrei aver chiaro come affrontare questo problema in fase iniziale.
Che cosa significa:
"La seconda equazione cardinale, se valutata rispetto al centro di massa, ha una forma più semplice"
"zio_mangrovia":
Alla base delle vostre delucidazioni allora qual è l'approccio corretto in questo esercizio?
Prendiamo il caso A perchè il caso B mi sembra abbastanza intuibile perchè la sbarretta è vincolata su di un lato quindi ruota.
Dopo l'urto il corpo $M + m1$ "trasla" perchè lo dice l'equazione sulla quantità di moto,
Lo dice la legge della conservazione della quantita' di moto.
ma in base a quale criterio posso affermare anche che il corpo ruota?
Un corpo ruota se ha momento angolare non nullo rispetto al c.d.m. come punto di osservazione.
Potrei rispondere: si, se c'e' momento rispetto ad un asse prescelto ma qua la confusione si fa viva. Di nuovo, su quale asse ?
Se prendi un corpo che ha quantita' di moto nulla (ovvero il suo baricentro e' fermo, rispetto all'osservatore) allora e' vero che:
il momento angolare non cambia se cambi il punto rispetto a cui lo calcoli. Il punto e' indifferente.
Provare per credere. Basta fare due conti.
La stessa cosa e' vera anche se il baricentro non e' fermo, ma la questione si complica, per cui partiamo dalle cose semplici. La precisazione l'ho fatta, altrimenti vengo bacchettato (giustamente).
Posso pensare che sia il centro di massa sulla base dell'enunciato di Quinzio che dice Un corpo ruota sempre attorno al suo centro di massa in assenza di forze esterne altrimenti non saprei rispondere diversamente.
Mi sembra sostanzialmente corretto dire che un oggetto in assenza di forze esterne ruota attorno al c.d.m.
Se uno guarda questo video mi sembra semplice da capire.
[/quote]
Insomma vorrei aver chiaro come affrontare questo problema in fase iniziale.
Che cosa significa: [quote]"La seconda equazione cardinale, se valutata rispetto al centro di massa, ha una forma più semplice"
L'equazione e' questa:
$(d\vecL)/(dt) = \vec M - \vec v_0\ \times \vec p$
Valutata rispetto al c.d.m. diventa
$(d\vecL)/(dt) = \vec M$
Grazie ancora per i vostri chiarimenti ma non ho capito la differenza tra la quantità di moto finale, cioè:
$m_1v_1-(M+m_1)v_{cmB}=m_1v_1-(M+m_1)\omega_Bd_{cmB}$
La quantità di moto credevo che si riferisse al moto di traslazione, mentre nel caso di momento angolare si parlasse di moto rotazionale. In questa formula vedo che compare al primo termine (qdm caso A) la quantità di moto riferita ai due corpi dopo l'urto che si muovono con moto uniforme. Prima domanda: in questo caso non si tiene di conto, perdonatemi il termine, anche della quantità di moto è dovuta alla rotazione? Oppure il primo termine include anche questa quantità di moto dovuta alla rotazione?
Nel secondo termine invece è riportata la velocità del centro di massa (cdm caso B) che non è altro la velocità tangenziale del corpo durante la rotazione. Ancora una volta si mischia la velocità di un corpo che è in rotazione.
Sono consapevole di aver molti dubbi ma sto cercando di chiarirmi le idee perché la sola teoria non mi porta da nessuna parte. Credevo che la formula sulla quantità di moto potesse essere utilizzata soltanto per oggetti che traslano, mentre per quelli che ruotano credevo si applicasse quella del momento angolare.
In questa formula ($p=mv$) invece si calcola la qdm per oggetti sia che traslano che ruotano
$m_1v_1-(M+m_1)v_{cmB}=m_1v_1-(M+m_1)\omega_Bd_{cmB}$
La quantità di moto credevo che si riferisse al moto di traslazione, mentre nel caso di momento angolare si parlasse di moto rotazionale. In questa formula vedo che compare al primo termine (qdm caso A) la quantità di moto riferita ai due corpi dopo l'urto che si muovono con moto uniforme. Prima domanda: in questo caso non si tiene di conto, perdonatemi il termine, anche della quantità di moto è dovuta alla rotazione? Oppure il primo termine include anche questa quantità di moto dovuta alla rotazione?
Nel secondo termine invece è riportata la velocità del centro di massa (cdm caso B) che non è altro la velocità tangenziale del corpo durante la rotazione. Ancora una volta si mischia la velocità di un corpo che è in rotazione.
Sono consapevole di aver molti dubbi ma sto cercando di chiarirmi le idee perché la sola teoria non mi porta da nessuna parte. Credevo che la formula sulla quantità di moto potesse essere utilizzata soltanto per oggetti che traslano, mentre per quelli che ruotano credevo si applicasse quella del momento angolare.
In questa formula ($p=mv$) invece si calcola la qdm per oggetti sia che traslano che ruotano
No, quantità di moto e momento angolare non hanno niente a che fare con "traslazione" e "rotazione", sono solo delle quantità che, nel caso di sistemi di più punti materiali, come per esempio i corpi rigidi, sono indipendenti tra loro e permettono di avere più informazioni sul moto. Si può dimostrare che nel caso di sistemi rigidi le due equazioni cardinali sono sufficienti a determinare il moto del corpo. Per farla breve puoi vederla così: il moto di un corpo rigido può essere visto come sovrapposizione tra il moto del suo centro di massa e il moto relativo del corpo rispetto al centro di massa. Il moto del centro di massa è regolato dalla prima equazione cardinale, il moto relativo del corpo rispetto al centro di massa è regolato dalla seconda equazione cardinale calcolata rispetto al centro di massa. Questo è il caso più generale di quando il corpo rigido non è vincolato in alcun modo (è qui che si dimostra che le equazioni cardinali sono sufficienti a determinare il moto, si risolve prima il moto relativo rispetto al cdm e poi si risolve il moto del cdm). Quando invece il corpo è vincolato in qualche modo, tipo ha un punto fisso, le cose diventano più semplici perché possiamo fare a meno di una tra la prima o seconda equazione cardinale o usarle in forme più semplici e particolari (in verità non è detto affatto che le cose diventino più semplici, anzi, le reazioni vincolari dei vincoli, incognite, possono portare a una indeterminazione del moto).
Nel caso A) del tuo esercizio, siamo nel caso di corpo libero, non vincolato. Il moto del corpo si determina come somma tra il moto del centro di massa e quello relativo al centro di massa. Il moto relativo rispetto al centro di massa è dato dalla velocità angolare, se il corpo possiede una velocità angolare allora c'è moto relativo, altrimenti il corpo sta traslando e basta, pertanto imponendo la conservazione del momento angolare rispetto al cdm verifichi che ci sia o meno una velocità angolare.
Nel secondo caso si è in presenza di un corpo vincolato, per quanto detto prima, in questo caso ci basta la sola seconda equazione cardinale per risolvere il problema, infatti la reazione vincolare impulsiva incognita del vincolo fa si che non si conservi la quantità di moto nell'urto, ma si conserva il momento angolare rispetto al punto O del vincolo stesso, questo permette di trovare la velcità angolare del corpo. Ora ti potresti chiedere, ma la velcità angolare rispetto ad O è ugualea quella rispetto al cdm? La risposta è SI, infatti, come ti ho detto, la velocitò angolare è una proprietà globale del corpo rigido in sé, anzi è una proprietà del MOTO rigido, non è qualcosa che si calcola rispetto a qualche punto o asse, è un indice della "velocità relativa" tra due qualsiasi punto del corpo rigido, se prendi due punti P e Q qualsiasi del corpo rigido, la loro velocità relativa è data da $v(P)-v(Q)=omega xx (P-Q)$, ossia i due punti "ruotano tra di loro", quando $omega=0$ tutti i punti del corpo rigido hanno stessa velocità e quindi non hanno moto relativo. In pratica quindi il concetto di rotazione è puramento cinematico, la descrizione cinematica di un corpo rigido non fornisce nessuna informazione su "attorno a cosa ruoti" il corpo perché questa informazione non esiste, un corpo, cinematicamente, non ruota attorno a nulla, se ruota allora ruota, se non ruota allora non ruota. Perché allora ho detto che in generale il moto di un corpo rigido si determina come sovrapposizione tra il moto del cdm e quello relativo al cdm? Semplicemente perché quando ci sono forze in gioco, si passa dalla pura cinematica alla dinamica, e la dinamica è diversa dalla cinematica. Per la dinamica il cdm del corpo ha un ruolo privilegiato, ovviamente tu puoi studiare la dinamica di un corpo rigido anche come sovrapposizione tra il moto di un qualsiasi suo punto e il moto relativo ad esso, ma il problema sarebbe molto più complicato dato che la seconda equazione cardinale rispetto a un punto che non è il cdm ha una forma più difficile da trattare, a meno che tale punto non abbia particolari proprietà, per esempio come nel caso B) in cui il punto O è fisso, il moto può essere visto come solo moto relativo del corpo rispetto al polo O, in accordo con quanto ho detto, cioè che puoi vedere il moto come ti pare, basta che questo semplifichi le equazioni.
Nel caso A) del tuo esercizio, siamo nel caso di corpo libero, non vincolato. Il moto del corpo si determina come somma tra il moto del centro di massa e quello relativo al centro di massa. Il moto relativo rispetto al centro di massa è dato dalla velocità angolare, se il corpo possiede una velocità angolare allora c'è moto relativo, altrimenti il corpo sta traslando e basta, pertanto imponendo la conservazione del momento angolare rispetto al cdm verifichi che ci sia o meno una velocità angolare.
Nel secondo caso si è in presenza di un corpo vincolato, per quanto detto prima, in questo caso ci basta la sola seconda equazione cardinale per risolvere il problema, infatti la reazione vincolare impulsiva incognita del vincolo fa si che non si conservi la quantità di moto nell'urto, ma si conserva il momento angolare rispetto al punto O del vincolo stesso, questo permette di trovare la velcità angolare del corpo. Ora ti potresti chiedere, ma la velcità angolare rispetto ad O è ugualea quella rispetto al cdm? La risposta è SI, infatti, come ti ho detto, la velocitò angolare è una proprietà globale del corpo rigido in sé, anzi è una proprietà del MOTO rigido, non è qualcosa che si calcola rispetto a qualche punto o asse, è un indice della "velocità relativa" tra due qualsiasi punto del corpo rigido, se prendi due punti P e Q qualsiasi del corpo rigido, la loro velocità relativa è data da $v(P)-v(Q)=omega xx (P-Q)$, ossia i due punti "ruotano tra di loro", quando $omega=0$ tutti i punti del corpo rigido hanno stessa velocità e quindi non hanno moto relativo. In pratica quindi il concetto di rotazione è puramento cinematico, la descrizione cinematica di un corpo rigido non fornisce nessuna informazione su "attorno a cosa ruoti" il corpo perché questa informazione non esiste, un corpo, cinematicamente, non ruota attorno a nulla, se ruota allora ruota, se non ruota allora non ruota. Perché allora ho detto che in generale il moto di un corpo rigido si determina come sovrapposizione tra il moto del cdm e quello relativo al cdm? Semplicemente perché quando ci sono forze in gioco, si passa dalla pura cinematica alla dinamica, e la dinamica è diversa dalla cinematica. Per la dinamica il cdm del corpo ha un ruolo privilegiato, ovviamente tu puoi studiare la dinamica di un corpo rigido anche come sovrapposizione tra il moto di un qualsiasi suo punto e il moto relativo ad esso, ma il problema sarebbe molto più complicato dato che la seconda equazione cardinale rispetto a un punto che non è il cdm ha una forma più difficile da trattare, a meno che tale punto non abbia particolari proprietà, per esempio come nel caso B) in cui il punto O è fisso, il moto può essere visto come solo moto relativo del corpo rispetto al polo O, in accordo con quanto ho detto, cioè che puoi vedere il moto come ti pare, basta che questo semplifichi le equazioni.
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