Momento angolare di un elettrone
Nella definizione quantistica dell'atomo di idrogeno, per orbite circolari dell'elettrone
sufficientemente grandi, il momento angolare dell’elettrone rispetto al protone
assume valori discreti di modulo $Ln = h/(2*pi)*n$, dove h è la costante di Planck
ed n un intero abbastanza grande.
Applicando questa condizione a normali considerazioni di meccanica classica, calcolare,
al variare di n, le corrispondenti energie En e le frequenze di rotazione vn
dell’elettrone note la sua carica e e la sua massa m.
Saltando da un livello di energia En a quello adiacente En-1, l’atomo emette un
quanto di luce di frequenza $bar(v)n$ = (En - En-1)/h. In che relazione stanno $bar(v)n$ e vn?
(Come si mettono i pedici?)
Sapendo che il momento angolare è $L = omega*I$, posso ottenere la relazione $(h*n)/(2*pi) = omega*I$, ma essendo l'energia totale di un elettrone $Et = -1/(8*pi*epsilon) * e^(2)/r$, dovrei ottenere una relazione tra il raggio e il momento angolare dato, ovvero tra il raggio e $omega*I$, ovvero tra raggio e $I*f$ con f la frequenza; ma se I, il momento d'inerzia, è una proprietà intrinseca dei corpi e definita come il rapporto tra il momento angolare applicato e l'accelerazione angolare ottenuta, sono al punto di partenza... o qualche passaggio è errato?
sufficientemente grandi, il momento angolare dell’elettrone rispetto al protone
assume valori discreti di modulo $Ln = h/(2*pi)*n$, dove h è la costante di Planck
ed n un intero abbastanza grande.
Applicando questa condizione a normali considerazioni di meccanica classica, calcolare,
al variare di n, le corrispondenti energie En e le frequenze di rotazione vn
dell’elettrone note la sua carica e e la sua massa m.
Saltando da un livello di energia En a quello adiacente En-1, l’atomo emette un
quanto di luce di frequenza $bar(v)n$ = (En - En-1)/h. In che relazione stanno $bar(v)n$ e vn?
(Come si mettono i pedici?)
Sapendo che il momento angolare è $L = omega*I$, posso ottenere la relazione $(h*n)/(2*pi) = omega*I$, ma essendo l'energia totale di un elettrone $Et = -1/(8*pi*epsilon) * e^(2)/r$, dovrei ottenere una relazione tra il raggio e il momento angolare dato, ovvero tra il raggio e $omega*I$, ovvero tra raggio e $I*f$ con f la frequenza; ma se I, il momento d'inerzia, è una proprietà intrinseca dei corpi e definita come il rapporto tra il momento angolare applicato e l'accelerazione angolare ottenuta, sono al punto di partenza... o qualche passaggio è errato?
Risposte
Io farei così:
$E=\frac{L^2}{2I}=\frac{L^2}{2mr^2}=\frac{h^2}{8 \pi^2 m}\frac{n^2}{r^2}$
E quindi hai già l'espressione per l'energia.
Uguagliando questa energia all'energia totale trovi $r=\frac{\hbar^2}{m}\frac{4 \pi \epsilon}{e^2}n^2$ dove $\hbar=\frac{h}{4 \pi}$
Dall'altro tuo post sulla velocità dell'elettrone, legavi la frequenza all'inverso del raggi al cubo, quindi una volta noto il raggio puoi risalire alla frequenza.
Per la frequenza ti verrà una formula un po' complessa... cmq per controllo tieni conto che la velocità dovrebbe venirti:
$v=\frac{e^2}{4 \pi \epsilon}\frac{1}{\hbar n}$
$E=\frac{L^2}{2I}=\frac{L^2}{2mr^2}=\frac{h^2}{8 \pi^2 m}\frac{n^2}{r^2}$
E quindi hai già l'espressione per l'energia.
Uguagliando questa energia all'energia totale trovi $r=\frac{\hbar^2}{m}\frac{4 \pi \epsilon}{e^2}n^2$ dove $\hbar=\frac{h}{4 \pi}$
Dall'altro tuo post sulla velocità dell'elettrone, legavi la frequenza all'inverso del raggi al cubo, quindi una volta noto il raggio puoi risalire alla frequenza.
Per la frequenza ti verrà una formula un po' complessa... cmq per controllo tieni conto che la velocità dovrebbe venirti:
$v=\frac{e^2}{4 \pi \epsilon}\frac{1}{\hbar n}$
Grazie mille per la risposta.. solo un paio di domande: la formula iniziale da dove si deriva? Inoltre il momento angolare come si definisce? Perché su alcuni libri di fisica è dato come prodotto di velocità angolare e momento d'inerzia, come anche su molti siti internet, mentre Wikipedia lo definisce come prodotto vettoriale tra vettore posizione e vettore quantità di moto; sicuramente a monte della differenza c'é una differenza a livello di studi, ma queste due formulazioni sono equivalenti? se sì come si giunge alla loro equivalenza (la quale implicherebbe che $E = pi*I*f$)?
Inoltre, la costante di Planck ridotta non era definita come $h/(2*pi)$ ? O quella che hai utilizzato è un'altra costante?
Inoltre, la costante di Planck ridotta non era definita come $h/(2*pi)$ ? O quella che hai utilizzato è un'altra costante?
Dunque, il momento angolare è definito come $\vec L=\vec r \times \vec p$
Ora considera la velocità di un corpo, questa può essere scomposta in una componente parallela al raggio vettore $\vec r$ e in una componente perpendicolare (o tangenziale). La componente perpendicolare la trovi così: $v_\bot = r\cdot v \cdot sin(\theta)$ dove $\theta$ è l'angolo tra la velocità e il raggio vettore (purtroppo non posso disegnare, perchè con i disegni sarebbe molto più semplice).
Adesso consideriamo il modulo del momento angolare: $L=m|r|\cdot |v| \cdot sin\theta = mrv_\bot$. Da questa formula e tenendo presente che $\omega=\frac{v_\bot}{r}$ e per una particella puntiforme: $I=mr^2$ ottieni:
$L=I \omega$
Per quanto riguarda l'energia:
$E=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(v_p+v_\bot)^2=\frac{1}{2}m(v_p^2+v_\bot^2+2\vec v_p \cdot \vec v_\bot)=\frac{1}{2}mv_p^2+\frac{1}{2}mv_\bot^2=\frac{p_p^2}{2m}+\frac{L^2}{2I}$
Nella formula qui sopra tieni presente che $v_p$ è la componente parallela al raggio vettore della velocità (è la velocità radiale) e $\vec v_p \cdot \vec v_\bot=0$ perchè sono perpendicolari.
Nell'atomo di idrogeno classico l'elettrone non ha una componente radiale della velocità, quindi si ha solo:
$E=\frac{L^2}{2I}$
Per quanto riguarda la costante di Plank, sì, hai ragione tu: è h diviso doppio pi. Quindi nei calcoli che ho scritto devi tener conto che ho diviso per un 2 in più
Ora considera la velocità di un corpo, questa può essere scomposta in una componente parallela al raggio vettore $\vec r$ e in una componente perpendicolare (o tangenziale). La componente perpendicolare la trovi così: $v_\bot = r\cdot v \cdot sin(\theta)$ dove $\theta$ è l'angolo tra la velocità e il raggio vettore (purtroppo non posso disegnare, perchè con i disegni sarebbe molto più semplice).
Adesso consideriamo il modulo del momento angolare: $L=m|r|\cdot |v| \cdot sin\theta = mrv_\bot$. Da questa formula e tenendo presente che $\omega=\frac{v_\bot}{r}$ e per una particella puntiforme: $I=mr^2$ ottieni:
$L=I \omega$
Per quanto riguarda l'energia:
$E=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(v_p+v_\bot)^2=\frac{1}{2}m(v_p^2+v_\bot^2+2\vec v_p \cdot \vec v_\bot)=\frac{1}{2}mv_p^2+\frac{1}{2}mv_\bot^2=\frac{p_p^2}{2m}+\frac{L^2}{2I}$
Nella formula qui sopra tieni presente che $v_p$ è la componente parallela al raggio vettore della velocità (è la velocità radiale) e $\vec v_p \cdot \vec v_\bot=0$ perchè sono perpendicolari.
Nell'atomo di idrogeno classico l'elettrone non ha una componente radiale della velocità, quindi si ha solo:
$E=\frac{L^2}{2I}$
Per quanto riguarda la costante di Plank, sì, hai ragione tu: è h diviso doppio pi. Quindi nei calcoli che ho scritto devi tener conto che ho diviso per un 2 in più
tutto chiaro, grazie mille!
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